Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
32
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
118.79 Кб
Скачать

Варианты зачётных заданий по предмету «Вычислительная физика»

1.Найти корень уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 1] и уточнить его методом Ньютона с погрешностью 10-10.

x4 +2x3 x 1 = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Решите дифференциальное уравнение y′ = y2et 2 y , y(0)=0.5

методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы прямоугольников, трапеций:

1

sin(ex )dx .

0

Сравните полученные результаты.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы

прямоугольников, трапеций 4

f (x)dx где

 

 

 

 

 

0

 

 

x2

, 0 x

2

 

 

e

 

 

 

f (x) =

 

1

, 2

< x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 sin16πx

 

 

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы

прямоугольников, трапеций 4

f (x)dx где

 

 

 

 

0

 

1,

 

x = 0

 

 

 

x

 

5

 

 

f (x) =

(e

1)

, x 0

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:

dr = 2r αrf ,

r(0) = r

 

0

dt

 

df = − f +αrf ,

f (0) = f0

dt

 

где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная

константа. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у

кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают

кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В

результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Исследуйте

поведение этой системы для α =0.01 и различных значений r0 и f0 простирающихся от 2

или 3 до нескольких тысяч. Начертите графики решений.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:

dr = 2r αrf ,

r(0) = r

 

0

dt

 

df = − f +αrf ,

f (0) = f0

dt

 

где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная

константа. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у

кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают

кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В

результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Вычислите

решение для r0=300 и f0=150. Вы должны обнаружить из результата, что поведение

системы периодично с периодом, очень близким к пяти единицам времени. Другими

словами, r(5) близко к r(0), a f(5) близко к f(0).

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Математическая модель, описывающая эту систему, задается двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:

dr = 2(1

r

)r αrf , r(0) = r

 

dt

 

R

0

 

 

df

= − f +αrf , f (0) = f0

 

dt

 

 

 

 

где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная константа, R - максимально допустимое число кроликов. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Выберите какое-либо разумное значение для R и вычислите решение для r0=300 и f0=150. Будет ли решение периодичным?

9. Полный эллиптический интеграл первого рода:

 

 

 

 

K (m) = π2

dθ

. Проверить, что lim K (m) = 0.5ln(

 

16

)

1m sin 2 θ

 

m

0

m1

1

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Решите задачу Коши для уравнения

(ln y +2t 1) y′ = 2 y , y(0)=0.5

методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11.Парашютист массой 70 кг прыгает с высоты 5000 метров и через три секунды раскрывает парашют. На какой высоте он окажется через 20 сек? Коэффициент

сопротивления α=0.8 кг/c – без парашюта, α=40 кг/c с парашютом. Считать что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Решите задачу Коши для уравнения y′+ y sin(t) = e0.1t , y(0)=0

методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13.Парашютист массой 80 кг прыгает с высоты 3000 метров и через три секунды раскрывает парашют. На какой высоте он окажется через 20 сек? Коэффициент

сопротивления α=0.1 кг·с/м – без парашюта, α=20 кг·с/м с парашютом. Считать что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14.Решить задачу с остыванием чашки кофе (Занятие 4) методом Рунге-Кутты 2-го порядка.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15.Определить на какое расстояние улетит ядро, массой 20 кг выпущенное из пушки, находящейся на высоте h=100 м. Ствол пушки составляет угол φ=30° относительно поверхности земли. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна

квадрату скорости движения ядра. Коэффициент сопротивления α=0.1 кг·с/м. Начальная скорость ядра v0=500 м/c.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. Определить за какое время искусственный спутник Земли упадёт на Землю, если он первоначально вращался по круговой орбите вокруг Земли, которая располагалась на высоте h=40000 м от поверхности. Считать что сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движении спутника.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17. Смоделировать движение планеты в системе двух неподвижных звёзд.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Соседние файлы в папке Выч_физика_зад