2 курс / Вычислительная физика / Выч_физика_зад / зачёт_выч_физ
.pdfВарианты зачётных заданий по предмету «Вычислительная физика»
1.Найти корень уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 1] и уточнить его методом Ньютона с погрешностью 10-10.
x4 +2x3 − x −1 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Решите дифференциальное уравнение y′ = y2et −2 y , y(0)=0.5
методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы прямоугольников, трапеций:
1
∫sin(ex )dx .
0
Сравните полученные результаты.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы
прямоугольников, трапеций ∫4 |
f (x)dx где |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x2 |
, 0 ≤ x |
≤ 2 |
|
|
|
e |
|
|
|
|||
f (x) = |
|
1 |
, 2 |
< x ≤ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
4 −sin16πx |
|
|
|
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Посчитайте значения определенного интеграла, используя формулы
прямоугольников, трапеций ∫4 |
f (x)dx где |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
1, |
|
x = 0 |
|
|||
|
|
x |
|
5 |
|
|
f (x) = |
(e |
−1) |
, x ≠ 0 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
x5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:
dr = 2r −αrf , |
r(0) = r |
|
0 |
dt |
|
df = − f +αrf , |
f (0) = f0 |
dt |
|
где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная |
|
константа. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у |
|
кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают |
|
кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В |
|
результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Исследуйте |
|
поведение этой системы для α =0.01 и различных значений r0 и f0 простирающихся от 2 |
|
или 3 до нескольких тысяч. Начертите графики решений. |
|
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
7.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:
dr = 2r −αrf , |
r(0) = r |
|
0 |
dt |
|
df = − f +αrf , |
f (0) = f0 |
dt |
|
где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная |
|
константа. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у |
|
кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают |
|
кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В |
|
результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Вычислите |
|
решение для r0=300 и f0=150. Вы должны обнаружить из результата, что поведение |
|
системы периодично с периодом, очень близким к пяти единицам времени. Другими |
|
словами, r(5) близко к r(0), a f(5) близко к f(0). |
|
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
8.Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Математическая модель, описывающая эту систему, задается двумя нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка:
dr = 2(1− |
r |
)r −αrf , r(0) = r |
||
|
||||
dt |
|
R |
0 |
|
|
|
|||
df |
= − f +αrf , f (0) = f0 |
|
||
dt |
|
|
|
|
где t — время, r=r(t) — число кроликов, f=f(t) — число лис и α - положительная константа, R - максимально допустимое число кроликов. При α =0 две популяции не взаимодействуют и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α >0 лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис возрастает. Выберите какое-либо разумное значение для R и вычислите решение для r0=300 и f0=150. Будет ли решение периодичным?
9. Полный эллиптический интеграл первого рода: |
|
|
|
|
||
K (m) = π∫2 |
dθ |
. Проверить, что lim K (m) = 0.5ln( |
|
16 |
) |
|
1−m sin 2 θ |
|
−m |
||||
0 |
m→1 |
1 |
|
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. Решите задачу Коши для уравнения
(ln y +2t −1) y′ = 2 y , y(0)=0.5
методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11.Парашютист массой 70 кг прыгает с высоты 5000 метров и через три секунды раскрывает парашют. На какой высоте он окажется через 20 сек? Коэффициент
сопротивления α=0.8 кг/c – без парашюта, α=40 кг/c с парашютом. Считать что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Решите задачу Коши для уравнения y′+ y sin(t) = e−0.1t , y(0)=0
методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, а также методом Эйлера.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13.Парашютист массой 80 кг прыгает с высоты 3000 метров и через три секунды раскрывает парашют. На какой высоте он окажется через 20 сек? Коэффициент
сопротивления α=0.1 кг·с/м – без парашюта, α=20 кг·с/м с парашютом. Считать что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14.Решить задачу с остыванием чашки кофе (Занятие 4) методом Рунге-Кутты 2-го порядка.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15.Определить на какое расстояние улетит ядро, массой 20 кг выпущенное из пушки, находящейся на высоте h=100 м. Ствол пушки составляет угол φ=30° относительно поверхности земли. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна
квадрату скорости движения ядра. Коэффициент сопротивления α=0.1 кг·с/м. Начальная скорость ядра v0=500 м/c.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16. Определить за какое время искусственный спутник Земли упадёт на Землю, если он первоначально вращался по круговой орбите вокруг Земли, которая располагалась на высоте h=40000 м от поверхности. Считать что сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движении спутника.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17. Смоделировать движение планеты в системе двух неподвижных звёзд.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------