Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
35
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
612.25 Кб
Скачать

Задание

Реализовать в системе МВТУ анимацию движения физического маятника.

Описание варианта реализации решения поставленной задачи в системе МВТУ

Моделирование колебаний физического маятника в системе МВТУ

1. Математическая модель физического маятника. Рассмотрим физический маятник в виде однородного тонкого стержня, совершающего колебания под действием силы тяжести относительно оси качаний, не проходящей через центр масс маятника (Рис. 1).

L/2

a

O

ϕ

C

L

Рис. 1. Схема физического маятника.

Ось качаний проходит через точку O и перпендикулярна плоскости рисунка. Центр масс находиться в точке C. Маятник будет характеризоваться следующими параметрами: длиной L; расстоянием от оси качаний до центра масс – a; углом отклонения от положения равновесия ϕ.

Дифференциальное уравнение, определяющее свободные незатухающие колебания маятника записывается следующим образом:

d 2ϕ

2

,

(1)

 

+ ω0 sin ϕ=0

dt 2

 

 

 

где ω0 - собственная циклическая частота гармонических колебаний маятника. Для случая тонкого стержня она определяется по следующей формуле:

ω =

12g a

,

(2)

 

0

L2 +12a2

 

 

 

 

 

где g=9.8 м/с2 – ускорение свободного падения.

Для моделирования колебаний маятника удобно преобразовать уравнение (1), которое является дифференциальным уравнением второго порядка, к системе из двух уравнений первого порядка. Для этого введем

новую функцию: ψ = ddtϕ . Функция ψ соответствует угловой скорости

вращения стержня. Уравнение (1), с использованием функции ψ , сводится к следующей системе уравнений:

dϕ

=ψ

 

 

 

 

.

(3)

 

dt

 

dψ

2

sinϕ

 

 

= −ω0

 

dt

 

 

 

Система уравнений (3) описывает математическую модель физического маятника. Её нужно дополнить начальными условиями. Начальные условия мы возьмем в следующем виде:

ϕ(0)=ϕ0, ψ(0)=0,

(4)

где ϕ0 – угол, на который мы отклонили стержень до момента начала колебаний. Это условие соответствует маятнику, отклоненному на заданный угол, и отпущенному без толчка в начальный момент времени.

Мы будем использовать эту модель при последующем моделировании

всистеме МВТУ.

2.Программная реализация модели физического маятника в системе МВТУ. Составим структурную схему модели в системе МВТУ. Она имеет вид изображенный на Рис. 2.

Рис 2. Структурная схема модели физического маятника.

В блоке под названием «интегрирование уравнений колебаний маятника» наберем программный код, соответствующий задаче для системы

уравнений (3):

 

init fi=3, psi=0;

{Задание начальных условий}

{Система дифференциальных уравнений в форме Коши}

fi'=psi;

{1-е дифф. уравнение}

psi'=-om2*sin(fi);

{2-е дифф. уравнение}

y[1]=fi;

 

y[2]=(0.5-a/l);

 

output fi, y[2];

{Описание выходного сигнала}

Второй элемент вектора y[2] нужен для организации последующей анимации процесса колебаний маятника и определяет вектор смещения центра вращения маятника от точки соответствующей верхнему концу стержня.

Значение переменной om2 определяется в редакторе глобальных параметров (Рис. 3).

В редакторе глобальных параметров также задаём основные константы задачи.

Далее в анимационном блоке создадим рисунок соответствующий физическому маятнику в виде тонкого стержня (Рис. 4).

Рис 3. Содержимое редактора глобальных параметров.

Рис. 4. Анимированный рисунок маятника.

Рисунок стержня состоит из пяти линий. Нарисованные линии имеют имена: Li1, Li2, Li3, Li4, Li5. В дальнейшем в скрипте обращение к линиям происходит именно по этим именам. Структура нарисованного стержня, состоящего из отдельных линий, представлена на Рис. 5.

Зададим в блоке сигналов, графического редактора два сигнала: fi, S1. Сигналы соответствуют выходным сигналам блока «интегрирование уравнений колебаний маятника» y[1] и y[2]. Сигнал fi соответствует углу отклонения стержня относительно вертикальной оси. Сигнал S1 определяет относительную длину вектора смещения центра вращения маятника от точки соответствующей верхнему концу стержня.

Рис. 5. Увеличенный рисунок маятника.

Используя скрипт и команду “rotate” свяжем решение системы с углом отклонения маятника от равновесного положения (Рис. 6). Текст скрипта выглядит следующим образом:

mp.center=Li5.Points[1];

move((0,S1*V1),mp);

rotate(mp.center, fi, Li5,Li1,Li2,Li3,Li);

где mp – имя точки, относительно которой вращается система линий образующих изображение физического маятника.

Рис. 6. Окно редактирования скрипта, и его код.

Получим динамическую модель колеблющегося маятника. Для запуска модели зайдем в пункт меню «Моделирования»-> «Параметры расчета». Установим нужные параметры расчета и запустим модель.