2 курс / Численные методы / числ_методы / зачёт_числ_мет10
.pdfВарианты зачётных заданий по предмету «Численные методы и математическое моделирование»
1. Решить систему уравнений используя метод Ньютона:
sin(x + y) −1.3x = 0.1
x2 + y2 =1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Решить систему уравнений используя метод Ньютона:
x10 + y10 =1024
ex −ey =1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Решить систему уравнений используя метод Ньютона:
x3 − y2 =1
xy3 − y = 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.Решить систему уравнений используя метод Ньютона исходя из начального приближения x0 = y0 = z0 = 0.5 :
x3 + y2 + z2 =1
2x2 + y2 −4z = 03x2 −4 y + z2 = 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Решите задачу Коши для уравнения y′= y2et sin t −2 y , y(0)=0.5
методом Рунге-Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1. Сравните полученные результаты с результатами, полученными с помощью метода Рунге-Кутты Фельберга 4-5 порядка
(метод rkf).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Используйте метод Ньютона для вычисления комплексного корня уравнения:
х3-2х-5= 0.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Интеграл, определяющий функцию ошибок |
|||
erf (x) = |
2 |
∫x e−t2 dt |
|
π |
|||
|
0 |
||
|
|
очень просто находится с помощью численных квадратур. Напишите программу, которая, используя формулу Симпсона, печатает таблицу значений функции erf(x) для x=0.0, 0.1, 0.2, . . ., 1.9, 2.0. Сравните вашу таблицу со значениями, полученными по встроенной процедуре имеющейся в пакете SciLab.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
8. Функция ошибок определяется обычно посредством интеграла erf (x) = |
∫e−t 2 dt |
но |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|||
она может быть определена и как решение дифференциального уравнения |
|
|||||||
′ |
2 |
|
−x 2 |
|
|
|
|
|
y (x) = |
|
e |
|
, y(0) =0 . Напишите программу, которая, используя метод Рунге- |
|
|||
π |
|
|
||||||
Кутты 2-го порядка при α =0.5 и α =1, печатает таблицу функции erf (x) для x=0.0, |
|
0.1, 0.2 …1.9, 2.0.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. С помощью метода Монте-Карло найдите ∫∫∫(x − y2 + z3 )dV . Область интегрирования
V
– шар единичного радиуса.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. Решите задачу Коши для уравнения
(ln y t3 +2t −1) y′= 2 y , y(0)=0.5
классическим методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Сравните полученные результаты с результатами, полученными с помощью метода Рунге-Кутты Фельберга 4-5 порядка
(метод rkf).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. Вычислить интеграл:
I= 5∫ 5∫e−x 2 −2 xy dxdy . Результат сравнить с «точным» значением I = 0.1453787358 1011 .
−5−5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Найти минимум функции f (x) = (x −3)2 −1+sin x на отрезке (0; 5) методом половинного деления и уточнить его методом парабол.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13. Найти максимумы функции f (x, y) =cos(x y) +sin x2 методом спуска по
координатам.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14.Найти минимумы функции f (x, y) = x2 cos(x y) + y sin x2 методом спуска по координатам.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15. Решите задачу Коши для жесткого уравнения y′= −500 y +1000cos (t) , y(0)=0.5
классическим методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Сравните полученные результаты с результатами, полученными с помощью метода для решения жестких уравнений (метод stiff).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16. Вычислить интеграл:
5 5
I= ∫ ∫e−x2 −y 2 dxdy . Результат сравнить с «точным» значением I =0.7853981634 .
−5−5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17. Решите задачу Коши для уравнения y′+ y sin(t) = e−0.1t , y(0)=0
методом Адамса 4-го порядка. Сравните полученные результаты с результатами, полученными с помощью метода Рунге-Кутты Фельберга 4-5 порядка (метод rkf).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------