Скачиваний:
19
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
252.5 Кб
Скачать

Министерство образования и науки РФ ФБГОУ ВПО ¾Сыктывкарский государственный университет¿

ИТНИТ, кафедра радиофизики и электроники

Физика атомов и атомных явлений

Методические указания для студентов 3 курса специальности ¾радиофизика¿

Макаров П. А.

Сыктывкар, 2012

Содержание

1

Тепловое излучение абсолютно черного тела

3

2

Рассеяние Резерфорда

4

3

Строение атома водорода по Бору

6

4

Корпускулярные свойства света. Фотоэффект. Эффект Комптона

8

5

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля. Соотношение

 

 

неопределенностей

9

6

Векторная модель атома

11

Приложение. Основные постоянные

14

2

1Тепловое излучение абсолютно черного тела

испускательная способность тела: спектральная характеристика, определяющая энергию испускаемую единицей поверхности тела, нагретого до абсолютной температуры T , в единицу времени.

[ (!; T )] =

Дж

 

 

Дж

 

 

;

[ ( ; T )] =

 

;

м2

c м3

! циклическая частота, длина волны излучения.

 

 

 

 

2 c

 

(1)

( ; T ) =

 

(!; T );

 

2

 

где c скорость света в вакууме.

d энергия излучения, испускаемая единицей поверхности тела в единицу вре-

мени (плотность потока энергии) в интервале частот [!; ! + d!]:

 

d = (!; T )d! = ( ; T )d :

(2)

A(!; T ) поглощательная способность тела: величина, равная отношению плотности потока энергии, поглощенного телом, к плотности падающего потока.

Абсолютно черным называется тело у которого A(!; T ) 1 для любых частот

! и температур T .

 

 

 

 

Закон Кирхгофа:

 

 

 

 

 

(!; T )

'(!; T );

(3)

 

 

 

 

A(!; T )

'(!; T ) испускательная способность абсолютно черного тела.

 

Закон Стефана-Больцмана:

 

 

 

 

1

 

 

 

'(T ) = Z0

'(!; T )d! = T 4;

(4)

'(T ) энергетическая светимость абсолютно черного тела (энергия, испускаемая в единицу времени с единицы поверхности абсолютного черного тела во всем диапазоне частот), постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина:

mT = b; (5)

m длина волны, соответствующая максимуму функции '( ; T ), b постоянная Вина.

Общая формула Вина:

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

'(!; T ) = !3F

 

:

 

(6)

 

 

T

 

Связь между испусктельной способностью тела и '(!; T ) и объёмной плотностью

излучения (!; T ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'(!; T ) =

c

 

(!; T ):

 

(7)

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Формула Планка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(!; T ) =

~!3

 

 

1

;

(8)

 

 

 

 

~!

 

1

 

h

 

2c3 ekT

 

 

 

~ =

постоянная Планка, k постоянная Больцмана.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

1.Преобразовать формулу Планка для объёмной спектральной плотности излучения (!; T ) от переменной ! к переменным (линейная частота) и (длина волны).

2.Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объёмной плотности излучения (!; T ):

(a)в области, где ~! kT (формула Рэлея Джинса);

(b)в области, где ~! kT (формула Вина);

3.Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1% (масса Солнца M = 1;97 1030 кг, радиус Солнца R = 6;95 108 м).

4.Медный шарик диаметра d = 1;2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика T0 = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в 2 раза (плотность меди Cu = 8;9 г/см3, удельная теплоёмкость меди cCu = 0;39 Дж/(г К)).

5.Показать, что максимум испускательной способности абсолютно черного тела '( m; T ) растет пропорционально T 5.

Домашнее задание

1.Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн= 1;0 нм вблизи максимума объёмной плотности излучения при температуре T = 3000 К.

2.Энергетическая светимость абсолютно черного тела '(T ) = 3;0 Вт/см2. Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.

3.Нить лампы накаливания излучает как абсолютно черное тело при температуре 2400 К. Вычислить сколько фотонов испускается с 1 см2 поверхности нити в 1 c, если среднюю энергию кванта излучения можно считать равной 2;75 kT .

4.С помощью формулы Планка аналитически выразить постоянные СтефанаБольцмана и Вина b.

2Рассеяние Резерфорда

Угол , на который рассеивается заряженная частица кулоновским полем неподвижного ядра, определяется формулой

tg

 

2

 

=

21bT2

;

(1)

 

 

 

 

 

q q

 

 

4

q1 и q2 заряды частицы и ядра; b прицельный параметр; T кинетическая энергия налетающей частицы.

Дифференциальное сечение рассеяния:

d =

dN[;+d ]

= 2 b db;

(2)

N

 

 

 

dN[;+d ] число частиц, рассеяных в единицу времени в интервале углов от до+ d ; N число частиц, падающих нормально на единицу площади фольги в единицу времени (плотность потока частиц).

Полное эффективное сечение рассеяния:

dNполное

2

 

(3)

=

 

= b

;

N

 

 

 

 

dNполное число частиц, рассеяных в единицу времени во всёх направлениях.

Формула Резерфорда:

N

= n

q1 q2

 

2

 

 

 

d

 

 

d

;

(4)

N

4T

 

sin4 ( =2)

dN число частиц, рассеяных в единицу времени в телесный угол d под углом к первоначальному направлению; n число ядер фольги на единицу её поверхности.

dS

d = R2 = 2 sin d ; (5) dS площадь элемента сферы; R её радиус.

Задачи

1.Неподвижный шар радиуса R облучают параллельным потоком частиц, радиус которых r. Считая столкновение частицы с шаром упругим, найти:

(a)угол отклонения частицы в зависимости от её прицельного параметра b;

(b)относительную долю частиц, которые после столкновения с шаром рассеялись в интервале углов от до + d ;

(c)вероятность того, что частица, испытавшая соударение с шаром, рассеется в переднюю полусферу ( < =2).

2.Узкий пучок частиц с кинетической энергией 1,0 МэВ падает нормально на

платиновую фольгу толщины 1,0 мкм. Наблюдение рассеяных частиц ведётся под 60 к направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади 1,0 см2, которое расположено на расстоянии 10 см от

рассеивающего участка фольги. Какая доля рассеяных частиц падает на отверстие счетчика? (Плотность платины Pt = 21;5 г/см3, её относительная атомная масса mPt = 195;1 а. е. м., порядковый номер ZPt = 78).

3.Узкий пучок протонов с кинетической энергией T = 1;4 МэВ падает нормально на латунную фольгу, моссовая толщина которой d = 1;5 мг/см2. Весовое отно-

шение меди и цинка в фольге равно соответственно 7 : 3. Найти относительное число протонов, рассеивающихся на углы свыше 0 = 30 (порядковый номер меди ZCu = 29, цинка ZZn = 30; относительная масса меди mCu = 63;5 а. е. м., цинка mZn = 65;4 а. е. м.).

5

4. Найти эффективное сечение ядра атома урана, соответствующее рассеяниючастиц с кинетической энергией T = 1;5 МэВ в интервале углов свыше0 = 60 (порядковый номер урана ZU = 92).

Домашнее задание

1.Узкий пучок частиц с кинетической энергией T = 0;50 МэВ и интенсивностью I = 5;0 105 частиц/с падает нормально на золотую фольгу. Найти её толщину, если на расстоянии r = 15 см от рассеивающего участка

под углом = 60 к направлению пучка плотность потока рассеяных частиц J = 40 частиц/с см2 (порядковый номер золота ZAu = 79, относительная масса mAu = 197 а. е. м., плотность Au = 19;3 г/см3).

2.Узкий пучок частиц падает нормально на серебряную фольгу. За ней установлен счетчик, регистрирующий частицы, рассеяные в соответствии с формулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени частиц возросло

в1,52 раза. Найти порядковый номер платины, считая, что порядковый номер серебра и массовые числа обоих элементов известны (порядковый номер серебра ZAg = 47, относительная атомная масса серебра mAg = 107;9 а. е. м., относительная атомная масса платины mPt = 195;1 а. е. м.).

3.Эффективное сечение ядра атома золота, отвечающее рассеянию моноэлектрических частиц в интервале углов от 90 до 180 , равно = 0;5 кб (кило-

барн). Определить:

(a)кинетическую энергию частиц;

(b)дифференциальное сечение рассеяния d =d (кб/ср), соответствующее углу = 60 (порядковый номер золота ZAu = 79, 1 барн = 10 24 см2).

3Строение атома водорода по Бору

Условия квантования круговых орбит по Бору:

L = n~; n = 1; 2; 3; : : : (1) Момент импульса электрона:

L = mev rn;

(2)

me масса электрона; v его скорость; rn радиус орбиты; n номер орбиты (главное квантовое число).

Радиусы круговых орбит:

 

 

 

~2

 

 

n2

 

n2

(3)

 

 

 

 

rn =

 

 

 

 

= a0

 

 

 

 

 

 

 

mee2

Z

Z

Z порядковый номер водородоподобного атома в периодической системе элементов,

e заряд электрона,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

~2

 

первый Боровский радиус.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mee

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уровни энергии водородоподобного атома:

 

 

 

 

 

 

mee4

 

Z2

 

 

Z2

(4)

 

 

 

 

En =

 

 

 

 

= Rch

 

;

 

 

 

 

2~2

n2

n2

6

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

R =

mee

 

постоянная Ридберга.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ~

c

 

 

 

 

 

 

Спектральные термы:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

En

 

RZ

 

(5)

 

 

 

 

 

Tn =

 

=

 

 

:

 

 

 

 

 

hc

n2

 

 

Комбинационный принцип:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

enm = Tm Tn;

 

 

(6)

nm =

 

 

спектроскопическое волновое число.

 

e

 

 

nm

 

 

 

 

 

Обобщённая формула Бальмера

 

 

 

 

 

 

enm = RZ2

1

1

 

(7)

 

 

 

 

; n = m + 1; m + 2; : : :

 

m2

n2

m = 1

серия Лаймана,

 

 

 

 

 

m = 2

серия Бальмера,

 

 

 

 

 

m = 3

серия Пашена,

 

 

 

 

 

m = 4

серия Брэкета.

 

 

 

 

 

Задачи

1. Частица массой m движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциальном поле U(r) = kr2 2 (гармонический осциллятор с собственной час-

q

тотой !0 = mk ). Найти с помощью условий квантования Бора возможные радиусы орбит и уровни энергии этой частицы.

2.Рассчитать и изобразить в шкале длин волн спектральные интервалы, в которых заключены серии Лаймана, Бальмера и Пашена для атомарного водорода. Выделить в этой шкале видимую область спектра.

3.Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на n-й энергетический уровень?

4.Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 94,5 до 130,0 нм?

5.Вычислить расстояние между частицами системы в основном состоянии, соответствующую энергию связи и длину волны головной линии серии Лаймана, если системой является:

(a)мезоатом водорода, ядром которого служит протон (в мезоатоме вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую);

(b)позитроний, который состоит из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс.

Домашнее задание

1.Вычислить для атома водорода и иона He+:

(a)радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней;

(b)кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном состоянии;

7

(c)потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны резонансной линии (n = 2 ! m = 1).

2.Какой серии принадлежит спектральная линия атомарного водорода, волновое число которой равно разности волновых чисел следующих двух линий серии Бальмера: 486,1 и 410,2 нм? Какова длина волны этой линии?

3.Найти для атомов легкого и тяжелого водорода (H и D) разность:

(a)энергий связи их электронов в основном состоянии;

(b)длин волн головных линий серии Лаймана.

4.Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона He+, если при переходе в основное состояние этот ион последовательно испустил два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

5.Вычислить постоянную Ридберга R, если известно, что для ионов He+ разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана

= 133;7 нм.

4 Корпускулярные свойства света. Фотоэффект. Эффект Комптона

Энергия и импульс фотона:

 

 

E = ~!;

 

 

(1)

 

 

p = ~k;

 

 

(2)

где jkj =

2

волновое число.

 

 

 

 

 

 

 

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

 

 

 

 

mv2

(3)

 

 

h = Aвых +

 

;

 

 

2

 

 

 

 

 

Aвых работа выхода электрона из металла.

Коротковолновая граница тормозного рентгеноского спектра излучения:

min =

hc

;

(4)

eU

 

 

 

Uнапряжение, приложенное к рентгеновской трубке. Комптоновское смещение длины волны рассеяного фотона:

 

 

= c (1 cos ) = 2 c sin2

 

2

 

;

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

угол рассеяния,

 

 

 

 

 

 

c =

h

комптоновская длина волны электрона.

 

 

 

 

 

 

mec

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи

1.Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны = 18;0 нм из ионов He+, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

8

2.Уединённый медный шарик облучается ультрафиолетовым светом с длиной волны = 200 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик, если работа выхода электрона из меди Aвых = 4;47 эВ? При каких длинах волн облучающего света шарик заряжаться не будет?

3.Фотон с энергией ~! = 250 кэВ рассеялся под углом = 120 на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить энергию рассеяного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.

4.Фотон с энергией ~! = 0;15 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны изменилась на = 0;3 нм. Найти угол, под которым вылетел комптоновский электрон.

5.Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеи-

вающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеяного под углами1 = 60 и 2 = 120 , отличаются друг от друга в 2 раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

Домашнее задание

1.При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в 1,5 раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на= 26 пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.

2.Фотон с длиной волны = 6;0 пм рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти:

(a)частоту рассеяного фотона;

(b)кинетическую энергию электрона отдачи.

3.Фотон с импульсом p = 1;02 МэВ/c, где c скорость света рассеялся на свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал p = 0;255 МэВ/c. Под каким углом рассеялся фотон?

4.При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн 1 = 0;35 мкм и 2 = 0;54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в 2 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

5Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля. Соотношение неопределенностей

Соотношения де Бройля для энергии и импульса движущейся частицы:

 

E = ~!;

 

 

(1)

 

p = ~k; jkj =

2

;

(2)

 

 

 

 

! частота, = h

длина волны де Бройля.

 

 

 

p

 

 

 

 

9

Соотношения неопределенностей Гейзенберга:

 

 

x px > ~;

(3)

 

E t > ~:

(4)

Стационарное уравнение Шрёдингера:

 

 

~2

+ U = E ;

(5)

2m

m масса частицы; координатная часть волновой функции; E и U полная и потенциальная энергия частицы соответственно; = r2 оператор Лапласа.

Задачи

1.Вычислить длину волны де Бройля электрона, протона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100 эВ.

2.Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины b = 1;0 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума x = 0;36 мм.

3.Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.

4.Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома l = 0;10 нм. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома.

5.Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0;20 нм.

6.Оценить относительную неопределенность импульса и кинетической энергии частицы, у которой неопределенность координаты в 2 103 раз больше её длины волны де Бройля.

7.Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле U = kx22 (гармо-

q

нический осциллятор с собственной частотой ! = mk ). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.

8.Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуются лишь такие состояния её движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

9.Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме

шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < l), координатная часть волновой функции имеет вид: = C sin kx, где k = ln; n = 1; 2; 3; : : : .

q

Пользуясь условием нормировки показать, что C = 2l . Найти вероятность:

10

Соседние файлы в папке Атомная и ядерная физика