Лабораторные работы 5 симестр / Атомная и ядерная физика / 8

-16-

Работа 8. Уширение спектральных линий.

Цель работы. Изучение механизмов уширения спектральных линий. Получение контуров спектральных линий ртути и оценка вклада в уширение линий различных физических механизмов.

Естественная ширина спектральных линий. Классическое рассмотрение. Движение связанного электрона в атоме, согласно классической механике, можно рассматривать как наложение гармонических движений, представляя проекции вектора перемещений r(t) в виде ряда Фурье, например:

(r_x)=x(t)=

При этом, согласно классической электродинамике, движущийся по гармоническому закону с частотой =/2 и амплитудой а_i: x_i=a_icos(t+)=a_icos(2t+) заряд e непрерывно испускает монохроматическое излучение той же частоты, уносящее за единицу времени энергию

W_i=4³e²a_i²⁴/(3c³_o),

где c – скорость света; _o – электрическая постоянная. Для линейного гармонического осциллятора, обладающего в начальный момент времени энергией E₀ и не подверженного действию внешних сил, это приводит к затуханию колебаний по закону

E(t)=E₀exp(-₀t)=E₀exp(-t/₀).

Коэффициент затухания ₀ и характерное время затухания ₀ выражаются следующим образом: ₀=1/₀=2e²²/(3m_oc³), где e – величина электрического заряда, m – его масса.

Затухающие колебания не являются гармоническими, и, следовательно, излучение оказывается не строго монохроматическим, а характеризуется непрерывным набором частот в некотором интервале. В результате спектральная линия, соответствующая такому осциллятору, имеет некоторую ширину, называемую естественной.

Для интенсивности излучения, отнесенной к единичному интервалу частот W_, вводимой согласно соотношению dW_=W_d, (dW_ - мощность излучения, приходящегося на интервал частот от  до +d), можно получить формулу

.

₍₁₎

Г рафик этой зависимости W_() (рис. 1) представляет собой естественный контур линии. Полушириной линии называется ширина ее контура при ординате, равной половине максимального значения W_(). Легко проверить, что максимум интенсивности W_, равный W₀, достигается при =₀, а ее половинное значение W_= W₀/2 – при =₀₀/4. Таким образом, для естественной полуширины имеем

.

Переходя к длинам волн согласно соотношению /=/, получаем ₀=e²/3m_oc², т.е. естественная полуширина в шкале длин волн по классической теории оказывается постоянной.

Элементы квантовой теории. Согласно квантовым представлениям, при переходе атома из стационарного состояния с энергией E_i в стационарное с энергией E_к испускается (при E_i> E_к) квант энергии E_i- E_к=h_ik, где _ik – частота излучения, соответствующая данному переходу (рис. 2)

Спонтанные (самопроизвольные) переходы с i-уровня на k-уровень характеризуются коэффициентом Эйнштейна A_ik – вероятностью перехода в единицу времени, так, что число спонтанных переходов в единице объема за время dt равно dZ_ik=A_ikn_idt, где n_i – заселенность i-уровня (число атомов с энергией E_i в единице объема). Отсюда следует, что убыль населенности за время dt в результате спонтанных переходов на все нижележащие уровни определяется суммой –dn=. Интегрируя, получаем n_i(t)=n_i(0)exp(-A_it)=n_i(0)exp(-t/_i), причем среднее время жизни атома на i-уровне _i=1/A_i; здесь введено обозначение: A_i=A_ik.

Согласно соотношению неопределенностей, неопределенность энергии системы и среднее время ее существования связаны между собой следующим образом:

Et

(2)

Отождествляя t со временем жизни стационарного состояния _i, а Е – с шириной уровня энергии, получаем

,

так что все уровни, за исключением основного, имеют отличную от нуля ширину. Соответственно для перехода между уровнями получится не строго определенная частота _ik, а интервал частот, характеризуемый величиной

_ik=(E_i+E_k)/h=(A_i+A_k)/2=(1/_k)/2.

(3)

В квантовой электродинамике доказывается, что при этом контур линии выражается формулой, совпадающей по виду с классической формулой (1), в которую, однако, вместо ₀ следует подставлять величину _ik=1/_i+1/_k=A_i+A_k; таким образом,

,

а формула (3) дает как раз естественную полуширину спектральной линии в шкале частот.

Уширение спектральных линий за счет эффекта Доплера и столкновений. Изложенная выше теория относится к изолированному покоящемуся атому. Наблюдаемая на опыте ширина спектральных линий, как правило, значительно больше естественной ширины. Рассмотрим причины дополнительного уширения, вызванного тепловым движением атомов.

Доплеровское уширение. Тепловое движение приводит к тому, что у одной части атомов имеется составляющая скорости ₁, направленная к наблюдателю, а другая – от наблюдателя. В первом случае будет наблюдаться увеличенная частота, а во втором – уменьшенная. По величине этот (доплеровский) сдвиг частоты равен

.

Исходя из средней кинетической энергии атома 3kT/2, можно принять M₁²/2(1/2)kT и сделать оценку:

.

Здесь k – постоянная Больцмана; T - температура; M – масса атома; N_A – число Авогадро; A_r – относительная атомная масса; R – универсальная газовая постоянная. Более точное рассмотрение дает для доплеровской полуширины следующее выражение:

.

Уширение из-за столкновений. В результате столкновений время жизни атома на некотором уровне будет (в среднем) ограничено величиной _ст – средним промежутком времени между двумя столкновениями, что приводит к эффективному уширению уровней энергии, которое можно оценить исходя из соотношения неопределенностей (2): E_ст/_ст. Вследствие этого произойдет уширение спектральных линий:

_ст=1/(2_ст).

(4)

Для оценки _ст заметим, что внутрь вооброжаемого цилиндра с радиусом основания 2r_эф и высотой dt (рис. 3) попадут 4r_эф²dtN центров атомов (r_эф – эффективный радиус атома, N – число атомов в единице объема). Таким образом, рассматриваемый атом за единицу времени испытает в среднем 4r_эф²N cтолкновений и, следовательно, _ст=1/(4r_эф²N). Для газа при температуре Т и давлении p, используя соотношения p=NkT, <m²/2>=(3/2)kT, можно получить

.

Заметим, что учет движения остальных атомов несколько уменьшил бы _ст. Используя полученную формулу для _ст и соотношение (4), переходя к длинам волн, получаем оценку для ударного уширения спектральных линий в виде

.

₍₅₎

В данной работе давление и температура в ртутной лампе соответственно составляют 1,510⁶ Па и 1000К.

Строгая теория должна принимать во внимание воздействие на процесс испускания света некоторым атомом всех атомов, окружающих его. Это является весьма сложной задачей. При использовании формулы (5) следует учитывать ее приближенный характер и не отождествлять r_эф с газокинетическим размером атома.

Описание экспериментальной установки.

До недавнего времени для регистрации спектров в основном использовали фотопластинки, фотоплёнку или единичный фотоэлемент, по которому сканировали (перемещали) изучаемую область спектра. В последние годы с развитием новых технологий были разработаны различные варианты многоканальных фотоприёмников, используемых в современной технике (видеокамеры, сканеры). Эти приёмники производят либо в виде двумерной структуры – матрицы фотоэлементов, либо одномерной – линейки фотоэлементов со встроенными в эти структуры электронными схемами управления и считывания сигналов с фотоэлементов. При этом электрический сигнал, получаемый с каждого в отдельности фотоэлемента, пропорционален количеству света (энергии, фотонов) попавшему на него. Во многих случаях многоканальные приёмники не только заменили фотоматериалы, но и позволили применять ранее недоступные методы получения и обработки изображения с применением компьютера. Так линейки фотоэлементов стали широко применяться для регистрации спектров в ближней ультрафиолетовой, видимой и ближней инфракрасной областях спектра.

Приёмник, используемый в данной работе, включает в себя оптическую камеру, где в качестве светочувствительного элемента используется диодная линейка, интерфейсную плату в компьютере, обслуживающую оптическую камеру, соединительный кабель и програмное обеспечение, ориентированное на работу со спектрами. Оптическая камера состыкована с монохроматором таким образом, что линейка расположена в горизонтальном направлении, а её поверхность точно совмещена с выходной плоскостью прибора (т.е. с фокальной плоскостью выходного объектива).

Оптическая камера – довольно сложное устройство, где кроме линейки имеются схемы питания и управления линейкой и двенадцатиразрядный аналого – цифровой преобразователь считываемого с линейки сигнала. Поэтому данные из камеры идут в компьютер в цифровом виде, что позволяет избежать искажения данных в результате возможных электрических помех.

Основные характеристики диодной линейки. Количество фотодиодов – 1024, размер чувствительной площадки фотодиода –  микрометров, расстояние между центрами чувствительных площадок соседних фотодиодов – 25 микрометров. Это означает, что рабочая длина линейки равна  мкм = 25,6 мм, а высота равна 150 мкм. Область спектральной чувствительности линейки по уровню 0.1 от максимальной простирается от 250 нм до 1100 нм, т.е. охватывает видимую и ближние ультрафиолетовую и инфракрасную области спектра. Предельная чувствительность в максимуме (т.е. для 600 нм) составляет ~ 700 фотонов на один фотодиод.

Основные принципы работы линейки. При освещении фотодиода в его p–n переходе образуется заряд, величина которого пропорциональна количеству света. Регистрацию электрического сигнала, пропорционального этому заряду, называют считыванием фотодиода. Для подготовки фотодиода к приёму света устраняют заряд из p-n перехода путём подачи на него обратного напряжения. Эту процедуру называют стиранием фотодиода. Следует иметь ввиду, что стирание и считывание линейки производится не одновременно для всех фотодиодов, а последовательно, начиная с первого и кончая последним фотодиодом. Соответственно, один полный цикл работы линейки состоит из цикла стирания линейки, а затем, спустя некоторое время, цикла считывания. В нашем случае время, необходимое как на стирание, так и на считывание одного фотодиода, составляет примерно 11 мксек. Поэтому периоды стирания и считывания линейки составляют Т_сч = Т_ст = 11 мксек. = 11.26 мсек., а период полного цикла работы линейки равен:

Т = Т_ст + Т_з + Т_сч (7),

где Т_з – время задержки между концом стирания и началом считывания. Нетрудно убедиться, что в случае освещения линейки непрерывным светом время экспозиции (накопления энергии света) каждого фотодиода до считывания составит:

Т_э = Т_ст + Т_з (8).

Очевидно, что при регистрации малых интенсивностей света необходимо увеличивать время экспозиции путём увеличения времени задержки до необходимой величины. Однако это время не может быть сколь угодно большим и ограниченно сверху примерно 10 сек. Связанно это с тем, что при комнатной температуре заряд, накопленный в p-n переходе фотодиода, постепенно диффундирует в соседние области (“расплывается” ), что искажает сигналы считывания с данного и с соседних фотодиодов.

Програмное обеспечение многоканального приёмника. Программа работает в среде DOS и ориентирована на работу со спектрами. При её включении на экране монитора появляется картинка, показанная на рис.4. Здесь окно служит для визуализации наблюдаемого спектра, при этом в левом верхнем углу окна указанно верхнее значение для интенсивности, а по горизонтали откладывается номер пиксела (pixel) – фотодиода. Справа находится основное меню программы. В нём заключены все возможности работы с приёмником и манипуляций с данными.

Р ис.4

При нажатии клавиши из основного меню в нижней части экрана появляется подменю, детализирующее работу с выбранной опцией, при этом основное меню выключается на время работы с подменю. В качестве примера показана картинка монитора при нажатии клавиши ‘C – Cursor’ (курсор) и при наличии данных, полученных с приёмника:

Р ис.5

Здесь в окне, наблюдается жёлтый дуплет спектра ртути. Клавиши ‘R – Right’ и ‘L – Left’ позволяют перемещать подвижный (красный) курсор вправо и влево, при этом в верхней части, над окном, показываются соответствующие положению курсора номер пиксела и значение интенсивности сигнала. Клавиша ‘T – Toggle’ инвертирует положение подвижного курсора справа – налево, слева –направо, при этом предыдущий курсор становится неподвижным (белым). Клавиша ‘W – Window’ (окно) растягивает на всё окно часть кривой, заключённой между подвижным и неподвижным курсорами, что позволяет менять масштаб по горизонтали. Клавиша ‘U - UpperLevel’ служит для выбора цены деления, и тем самым масштаба, по вертикали. И наконец, клавиша ‘E – End’ предназначена для выхода из подменю в основное меню. Вверху также можно видеть имя – 'hg5790’, которое присвоенно демонстрируемому спектру.

Рассмотрим кратко возможности основного меню. Более подробное ознакомление можно легко получить при практической работе.

'W – WaveCalibr' – позволяет выбрать в каких единицах вести отсчёт по горизонтали : либо в пикселах; либо в ангстремах – для этого нужно знать положение двух реперных спектральных линий в пикселах и их длину волны в ангстремах; либо в обратных сантиметрах – для чего следует указать ещё и длину волны, относительно которой идёт отсчёт.

‘N – NameProcess’ – позволяет удалять или изменять имена, присвоеные полученным данным.

‘F – FileProcess’ – позволяет записать на диск или ввести с него полученные данные.

‘G – Graph’ – позволяет выводить на экран одновременно до трёх кривых с выбором их цвета.

‘D – DataProcess’ – позволяет манипулировать с полученными данными: складывать и вычитать две кривые, вычитать или прибавлять константу к кривой.

‘R – RealTimeExp’- эта клавиша запускает работу приёмника в реальном масштабе времени, т.е. постоянно повторяется полный цикл работы диодной линейки с визуализацией получаемых данных. При этом действуют те параметра эксперимента, которые были установлены до этого. Получаемые данные не имеют имени (‘noname’) и поэтому их можно только наблюдать.

‘I – InitExper’ – служит для выбора параметров эксперимента. При включении этой опции появляются последовательно два подменю, показанные на рис.6.

Р ис.6.

Здесь ‘Delay Erase - Read (msec)’ – это время задержки между концом стирания и началом считывания линейки в миллисекундах. Т.е. практически эта величина определяет время экспозиции. Опция ‘Smooth Curve’ позволяет сглаживать кривую, что бывает иногда полезно. ‘BackgroundName’ – эта практически постоянно применяемая при работе приёмника опция позволяет модернизировать данные, получаемые с приёмника, каждый раз перед визуализацией вычитая из них заданную кривую, имя которой указанно в этой опции. Полезность этой опции связанна с тем, что сигнал, считываемый с диодной линейки в отсутствии света, представляет собой сильно изрезанную, но имеющую неизменный вид, кривую, её можно назвать аппаратной функцией диодной линейки. Если же из данных, где вместе с аппаратной функцией присутствует полезный сигнал, вычесть аппаратную функцию, то получим чистый сигнал (см. Рис.7).

Р ис.7

На рис. 7 с помошью опции ‘G –Graph’ показанны аппаратная функция (имя – bgr2) при времени экспозиции, равном 2 сек., и сигнал с линейки с вычетом аппаратной функции в отсутствии света при той же экспозиции (имя – bgr_2). Следует иметь ввиду, что вид аппаратной функции зависит от времени экспозиции. Поэтому время экспозиции при выполнении описанной процедуры должно быть одинаковым как для аппаратной функции, так и для данных с полезным сигналом. ‘ExperName’ – служит для введения имени эксперимента. ‘AverageNumber’ – используется для введени числа реализаций эксперимента с заданными параметрами и именем, по которым производится усреднение полученных данных. Ясно, что это число равно числу полных циклов работы диодной линейки со считыванием данных в каждом цикле, которые и усредняются. В течение эксперимента визуализируется кривая усреднения данных по текущему числу реализаций, при этом в любой момент можно остановить эксперимент с усреднением не дожидаясь окончания и получить кривую усреднения по числу реализаций на момент остановки. Эксперимент с усреднением используется для лучшего выделения слабого полезного сигнала на фоне шумов. Например, очень полезно для получения более точной аппаратной функции провести эксперимент с усреднением (естественно, без засветки) по достаточно большому числу (несколько десятков) реализаций. ‘Period (sec)’ – служит для введения дополнительной задержки в секундах между полными циклами работы линейки в эккспериментах с усреднением, что бывает необходимо при работе с импульсным источником света для синхронизации его с работой линейки.

‘S – StartExper’ – эта клавиша запускает эксперимент с заданными параметрами.

Если какие либо параметры в подменю не вводятся, то нажимается клавиша ‘Enter’, при этом соответствующему параметру присваивается заданное начальное значение.

Порядок выполнения работы №8.

Выполнение лабораторной работы заключается в снятии контуров спектральных линий желтого дублета и определении уширения, используя аппроксимацию в пакете ORIGIN5.0.

1. Включают компьютер. При этом автоматически загружается программа обслуживания оптической камеры. Запускают приемник в реальном масштабе времени (“R-Real TimeExp”) и засекают 10 мин, необходимые для прогрева элементов и выхода на стабильную работу. Пока камера прогревается, вращением барабана перестройки длин волн, выводят монохроматор в положение шкалы в корпусе прибора 20⁰ (это соответствует области расположения желтого дублета). Направить ртутную лампу немного в сторону, вправо от щели монохроматора, и следить, чтобы она не освещалась падающим светом. Подсоединить вилку питания в крайнюю правую розетку возле выключателя сетевого фильтра, расположенного на столе и включить фильтр. Зажечь лампу поворотом регулятора напряжения и прогреть ее в течение примерно трех минут при токе 1,4-1,6 ампера, постепенно увеличивая напряжение. После того как ток перестанет падать выставить стрелку на 1,2 ампера.

2. После окончания времени прогрева остановить процесс считывания сигнала (E- End Experiment). Далее следует зарегистрировать аппаратную функцию приемника (включить ‘I-InitExper’): 'Delay Erase-Read' =200, ‘Smooth Curve’ – Y, ‘ExperName’ =bg, ‘AverageNumber’ =30, параметры ‘BackgroundName’ и ‘Period (sec)’ пропустить (нажать ‘Enter’). Запустите эксперимент посредством опции ‘S-StartExper’. Затем, инициализируйте эксперимент с вычитанием аппаратной функции; для этого установите теже параметры ‘Delay…’ и ‘Smooth…’, далее ‘BackgroundName’ =bg, ‘ExperName’ =Hg, ‘AverageNumber’ =50, ‘Period (sec)’ пропустить (нажать ‘Enter’). Запустите приёмник в реальном масштабе времени (‘R-RealTimeExp’). При этом должен наблюдаться низкий достаточно ровный фоновый сигнал (в случаях неудовлетворительного фона следует заново регистрировать аппаратную функцию приемника).

3. Повернуть вокруг оси ртутную лампу таким образом, чтобы канал разряда (яркая световая полоса) приходился на середину щели. На мониторе должен быть виден желтый дублет, который поворотом барабана монохроматора выводят приближенно на середину экрана.

4. Остановите процесс (E- End Experiment) и нажмите ‘S-StartExper’. По окончании сохраняют полученный спектр: ‘F – FileProcess’, ‘W- Write File’, Write Name=Hg (имя без расширения).

5. С помощью опции ‘C-Cursor’, ‘UpperLevel’ сделайте вертикальный масштаб приблизительно по высоте линий, а затем увеличьте нужную область (как показано на рис. I). Длина волны коротковолновой линии- 5769,60 . Правый длинноволновый максимум (=5790,66) состоит из двух спектральных линий, различающихся по интенсивности приближенно в два раза и отстоящих друг от друга на 1 . Поскольку это должно приводить к некоторому дополнительному уширению, то в последующем полуширину правильней будет определять по коротковолновой линии. С помощью курсора определяют точное положение в пикселах обеих максимумов.

6. С помощью 'E – EndProg' выходят из программы. При этом автоматически загружается оболочка Norton Commander. Переносят сохраненный файл (Hg.dat) с жесткого диска на дискету и вынимают ее (предварительно не забыв перейти с диска А на С). Далее вставляют дискету в дисковод отдельного включенного компьютера, предназначенного для математической обработки. Двойным щелчком левой кнопки мыши на соответствующем значке запускают программу ORIGIN5.0. Затем правой кнопкой щелкают по заголовку А(x) появившейся таблицы. При этом происходит выделение первой колонки и одновременно появляется контекстное меню. Выбирают Set Column Values...Появляется соответствующее окошко, в верху которого вместо row namber from 1 to 30 вводят from 1 to 1024 (соответственно количеству фотодиодов оптической камеры). Далее ниже следует реализовать формулу перехода из шкалы пикселов в шкалу длин волн в ангстремах (вывести самостоятельно): =₁+(₂-₁)*(P-P₁)/(P₂-P₁), где ₁ и ₂- длины волн линий желтого дублета: 5769,60 и 5790,66 ангстрем соответственно, P₁ и P₂ их точные положения в пикселах, а P- произвольный пиксел. В нашем случае P=i, т.е номеру строки таблицы. Например, если P₁=521, а P₂=600, то вводимая формула приобретает вид: 5769,60+(5790,66-5769,60)*(i-521)/(600-521). После щелчка мышкой на кнопке Do It происходит автоматический расчет и заполнение первой колонки.

Рис. I. Увеличение желтого дублета с целью определения точного положения максимумов.

7. Затем вставляем в таблицу снятый спектр. Выбираем меню File, далее Import, ASCII Options и в появившемся окне, в его нижнем правом углу выбираем Import Into Worksheet As New Coloumns и далее Import Now. В новом

Рис. II. Пример оптимального увеличения области спектра с анализируемыми линиями. Также показано как надо ограничивать максимум для последующей аппроксимации. Видно также окошко с результатами вычислений.

окне берем диск 3,5 (А:), выделяем нужный файл (Hg) и Открыть. В результате в таблице появляется вторая колонка.

Левой кнопкой мыши по заголовкам выделяем колонки и выбираем из верхнего меню Plot, затем Line. Автоматически строится график со спектром. Более полно разворачиваем график (средняя кнопка в правом верхнем углу окна со спектрами). С помощью линзы, расположенной вверху, на панели инструментов, оптимальным образом увеличиваем область дублета (последовательно в несколько приемов). Вверху на панели инструментов мышкой нажимаем кнопку в виде двух встречных стрелок (Data Selector). Данные стрелки появляются на графике. Мышкой или с помощью клавиатуры поочередно перетаскиваем их в нужное положение (см. рис.II), тем самым ограничивая область максимума под последующую математическую обработку. Нажимаем Enter. Из верхнего меню выбираем Analysis, Fit Lorentzian. В результате получаем аппроксимацию кривой Лоренца.

Раскрываем на весь экран соответствующей кнопкой окно с графиками и увеличиваем рабочий лист (Сtrl I), чтобы просмотреть появившееся окошко с полученными данными. Переписываем значение параметра w с погрешностью.

Далее показать результаты преподавателю. Выйти из программы (File, Exit), подготовить компьютер к выключению: кнопка Пуск, Завершение работы, Выключить компьютер и щелкнуть выключателем на системном блоке.

Сравнивают полученное значение ширины с , рассчитанным классическим и квантовым методами, с доплеровской шириной, а также с уширением за счет столкновений (в последнем случае r_эф принять равным порядка 1,5 нм). Сделать вывод, какой эффект ответственен за наблюдаемую ширину линий.