3. Матрицы. Определители.

МАТРИЦЫ

Определение 3.1. Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов и содержащаястрок истолбцов.. Таблицу заключают в круглые или квадратные скобки, либо ограничивают двойными чертами..

Определение 3.2. Число называютразмером матрицы. Матрица называется:

1) прямоугольной, если ;

2) квадратной, если .

Определение 3.3. Число называютпорядком квадратной матрицы.

Определение 3.4. Матрицу, имеющую одну строку, называются строкой, а число элементов в строке – длиной строки.

Определение 3.5. Матрицу, имеющую один столбец, называют столбцом.

Определение 3.6. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Определение 3.7. Элементы квадратной матрицы составляют главную диагональ матрицы. Элементы составляютпобочную диагональ квадратной матрицы.

Определение 3.8. Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, т. е. матрица вида:

− называется диагональной.

Определение 3.9. Диагональная матрица, у которой , называетсяединичной, и обозначается или, т. е.

Определение 3.10. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие под (над) главной диагональю, равны нулю, называют верхней (нижней) треугольной матрицей.

Операции над матрицами и их свойства

1. Равенство матриц

Две матрицы равны, если равны:

1) размеры матриц;

2) элементы матриц, стоящие на одинаковых местах.

2. Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров.

Определение 3.11. Суммой матриц иназывается матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

, , (;).

Свойства операции сложения:

1) ;

2) .

3. Умножение матрицы на число

Определение 3.12. Произведением матрицы на числоназывается матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицыумноженных на число.

, .

Свойства операции:

1) ;

2) ;

3) .

4) Разность матриц одинаковых размеров определяется равенством.

4. Умножение матриц

Определение 3.13. Произведением двух матриц и, причём число столбцов матрицыравно числу строк матрицы, называется матрица, у которой элемент

.

В общем случае .

Пример 3.1. Найти и, если.

Решение. . Тогда. В обратном порядкеперемножить нельзя, т. к. число строкне равно числу столбцов.

Свойства операции:

1) ;

2) ;

3) .

Определение 3.14. Матрицы, для которых выполняется равенство , называютсяперестановочными (коммутирующими).

5. Транспонирование матриц

Определение 3.15. Замена строк столбцами в матрице называется транспонированием.

Определение 3.16. Матрица получающаяся иззаменой строк столбцами, называетсятранспонированной по отношению к .

Операция транспонирования обозначается символом или.

Свойства операции:

1) ;

2) ;

3) .

Квадратная матрица называется

1) симметрической, если ;

2) кососимметрической, если ;

3) ортогональной, если .

Пример 3.2. Является ли матрица симметрической?

Решение. Найдём , т. к., то матрицасимметрическая.

6. Обращение матриц

Определение 3.17. Квадратная матрица называетсяобратимой, если существует квадратная матрица , удовлетворяющая условиям.

Матрица называетсяобратной к и обозначается.

Свойства операции:

1) ;

2) .

Пример 3.3. Найти матрицу обратную к матрице .

Решение. По определению ,, тогдаОтсюда.

Проверка. По определению . и.

3.1. Вычислить:

1) , 2).

3.2. Вычислить:

1) , 2),

3) , 4).

3.3. Матрица А имеет размер , матрицаС – размера . Существует ли произведение? Каковы размеры матрицB и ABC?

3.4. Проверить существует ли произведение матриц, если да, то вычислить его.

1) , 2),

3) , 4).

3.5. Протранспонировать матрицу:

1) 2)3)4)

3.6. Всегда ли верно матричное тождество . Привести примеры перестановочных матриц.−

3.7. Вычислить , если

1) ,

2) ,

3.8. Вычислить .

1) , 2),

3) , 4),

5) , 6).

3.9. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

1) , 2).

3.10. Найти обратные матрицы для

1) , 2).

3.11. «Следом» квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали. Доказать, что след равен следу.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Определение 3.18. Каждой квадратной матрице -го порядка по некоторому закону может быть поставлено в соответствие число, называемоеопределителем матрицы , или простоопределителем -го порядка.

Определение 3.19. Определителем второго порядка называют выражение: .

Из произведения элементов главной диагонали отнимается произведение элементов побочной диагонали.

Пример 3.4. Вычислить .

Решение. .

Определение 3.20. Определителем третьего порядка называют выражение:

Определение 3.21. Минором элементаопределителя-го порядка называется определитель-го порядка, получающийся извычёркиванием−строки и−столбца.

Определение 3.22. Алгебраическим дополнением элементаназывается его минор, взятый со знаком, т. е..

Определение 3.23. Определителем -го порядка называется сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: и т. д.

Так как определители 2 и 3-го порядка уже определены, то находим определители высших порядков через них.

Пример 3.5. Найти .

Решение.

.

Пример 3.6. Найти .

Решение:

Определитель нижнетреугольной (верхнетреугольной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Нахождение определителей () по определению громоздкая процедура, её можно упростить, если узнать свойства определителей.

Свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании (равноправие строк и столбцов определителя).

Т. к. строки и столбцы равноправны, сформулируем свойства только для строк, для столбцов они будут тоже выполняться.

Свойство 2. Определитель равен нулю, если одна строка состоит из нулей. (Доказать самостоятельно.)

Свойство 3. При перестановке двух строк определитель меняет знак. (Доказать самостоятельно.)

Свойство 4. Определитель, имеющий одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 5. Если элементы некоторой строки умножить на число , то определитель увеличиться враз, и наоборот, из строки можно вынести общий множитель за знак определителя.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 7. Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителейи. В определителеуказанная строка состоит из первых слагаемых, в–из вторых. Остальные элементы вите же, что и в.

Свойство 8. Определитель не меняется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно число.

Свойство 9. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.

Свойство 10. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. (без доказательства).

Если в определителе -го порядка одна из строк имеет один элемент, отличный от нуля, то по определению, данный определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение (т. е. определитель-го порядка).