Glava_9
.pdf9. ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.
Определение 9.1. Матрица
(неотрицательной), если aij |
0 |
aij |
A 0
a |
|
ij |
|
. |
|
называется положительной
В первом случае пишут
A
0
, во втором
A
0
.
Определение |
9.2. Вектор |
x |
называется |
положительным |
|||||
(неотрицательным), если его координаты |
xi 0 |
xi 0 . |
|
|
|
||||
Пусть |
A неотрицательная квадратная матрица и |
A максимальное |
|||||||
по модулю собственное значение, |
xA неотрицательный собственный вектор |
||||||||
соответствующий A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9.1. (Фробениуса |
|
Перрона). |
Положительная |
матрица |
A |
||||
всегда имеет положительный характеристический корень A . |
|
|
|||||||
Все |
остальные |
корни по |
модулю |
меньше |
A . |
Существует |
положительный собственный вектор, соответствующий A .
Определение 9.3. Максимальное по модулю собственное значение
неотрицательной матрицы |
A |
называется числом Фробениуса матрицы |
A , а |
соответствующий ему неотрицательный собственный вектор |
xA |
вектором |
Фробениуса.
Пример 9.1. Найти число Фробениуса и вектор Фробениуса
положительной матрицы
|
4 |
A |
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
.
|
Решение. Найдем число Фробениуса. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Характеристическое |
|
уравнение |
матрицы |
|
A E |
|
0 , |
т. е., |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
4 |
4 2 4 2 0 , |
1 |
2 , |
2 6 . |
Значит, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A AE xA 0 . |
||||
|
Найдем вектор Фробениуса из однородной системы: |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A 6E |
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
, r 1. x1 |
базисная |
неизвестная, свободная |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
неизвестная x2 c . Тогда x1 |
c . xA c,c c 1;1 , c 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
n |
|
Пусть дана квадратная матрица A a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|||||||||||
|
. Пусть ri |
aij |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|
,si aij . i 1n
80
Пусть также, |
r min ri |
, R max ri , s min si , S max si . |
Теорема 9.2. |
Число |
Фробениуса A неотрицательной матрицы А |
удовлетворяет следующим неравенствам:
|
r A R , |
|
|
|
s A S . |
|
|
Если матрица A 0, то неравенства строгие: |
|
||
r A R , s A S |
, кроме случая, когда |
r R и s S . |
|
Следствие 9.1. Если |
s1 s2 ... sn или r1 |
r2 ... rn неотрицательной |
|
матрицы A равны одному и тому же числу , т.е. r R или |
s S , то |
число Фробениуса A равно этому числу.
Пример 9.2. Найти число Фробениуса матриц:
|
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
2 |
|
||||||
A |
|
и B |
1 4 |
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
3 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|||
1 |
5 |
0 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Т. к., для матрицы |
A |
r1 |
r2 r3 r4 |
||||||||
Для матрицы B s1 |
s2 s3 9, |
то |
B 9 . |
9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:
|
2 |
0 |
|
|
3 |
2 |
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
3 |
1 |
2 |
в) |
2 |
4 |
1 |
|
г) |
0 |
||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. Найти число Фробениуса матриц:
1 1 0
6
, то
0 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
6
.
а)
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
||
|
6 |
|
|
3 |
5 |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
6 |
5 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
б) |
|
|||
|
7 |
1 |
1 |
|
|
|
в)
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
3 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
|
г)
|
0,1 |
0 |
0, 2 |
|
|
0, 2 |
0,3 |
0, 2 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
0,3 |
0, 2 |
0 |
|
|
0,1 |
0, 2 |
0,3 |
|
|
0,1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
||
0,3 |
|
|
0,3 |
|
|
|
.
Определение 9.4. |
Вектор X |
называется вектором валового выпуска, |
||||
вектор Y вектором |
конечного |
потребления, а |
матрица |
A |
матрицей |
|
прямых затрат, а соотношение |
X AX Y |
называется |
уравнением |
|||
линейного межотраслевого баланса или моделью Леонтьева. |
|
|||||
Определение 9.5. Матрица |
A 0 называется продуктивной, если для |
|||||
любого вектора Y 0 существует решение X 0 уравнения |
X AX Y . |
|||||
Теорема 9.3. (первый критерий продуктивности). |
|
|
||||
Матрица A 0 продуктивна |
тогда и только тогда, |
когда матрица |
E A 1 существует и неотрицательна.
81
Пример 9.3. Исследовать на продуктивность матрицу
|
|
|
|
|
0,7 |
0,8 |
|
|
|
Решение. |
|
E A |
0, 4 |
0,5 |
|
, |
тогда |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T |
|
0,1 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
(E A) |
|
0, 4 |
0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
A |
|
|
0,4 |
|
|
|
E |
0,8 |
|
0,5 |
. |
|
|
A 0,03 |
.
|
|
|
|
|
1 |
8 |
|
|
10 |
|
|
1 |
|
100 |
|
10 |
10 |
|
|
3 |
|
(E A) |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
4 |
5 |
40 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
критерию.
80 |
|
|
3 |
|
|
0 |
||
50 |
||
|
||
3 |
|
|
|
A продуктивна по первому
Теорема 9.4. (второй критерий продуктивности)
Неотрицательная квадратная матрица A продуктивна тогда и тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.
только
|
|
0,5 |
0,5 |
|
|
Пример 9.3. Продуктивна ли матрица |
A |
0,6 |
0,3 |
|
? |
|
|
|
|
Решение. Найдем |
s1 1,1;s2 0,8;r1 |
1;r2 0,9 . |
Тогда |
0,8 A 1,1 и |
|||
0,9 A 1. Решая неравенства, |
получим |
0,9 A 1. По второму критерию |
|||||
матрица A продуктивна. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 9.6. |
Пусть |
A 0 |
продуктивная матрица. |
Запасом |
|||
продуктивности матрицы A называется такое число |
0 , что все матрицы |
||||||
A , где 1 1 , продуктивны, а матрица (1 ) A |
не продуктивна. |
|
|||||
|
|
|
|
|
0,2 |
0,6 |
|
Пример 9.4. Найти запас продуктивности матрицы A |
0,9 |
0,3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Воспользуемся |
первым |
критерием |
1 0, 2 |
0,6 |
|
|
E A |
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
1 0,3 |
E A 0,48 |
2 |
0,5 1 0, |
|
|
отсюда
|
|
|
|
|
1 0,3 |
|
|
0,6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,015 . Тогда E A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 2,06; 2 |
|
|
|
|
|
. Надо, чтобы все |
|||||||
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 0,2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
элементы |
этой |
матрицы |
|
были |
неотрицательны. |
Тогда |
0;1 0,2 0;1 0,3 0 . Иначе,
2,06
1,015;
5;
10 3
. Решая
неравенства, получаем 1,015. При 2 матрица продуктивна; при2 нет. Найдем запас продуктивности 1 1,015; 0,015 . Матрица A малопродуктивна.
82
Обычно матрицы межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности.
Определение 9.7. Обратная матрица Леонтьева
B E A |
1 |
|
называется матрицей полных материальных затрат, а ее элементы |
bij |
коэффициентами полных затрат. |
|
Коэффициенты |
bij |
aij |
. Равенство теоретически возможно лишь когда |
продукция i -ой отрасли не используется ни в одной из отраслей, т.е. |
aij |
0 . |
Определение 9.8. Числа |
cij bij |
aij |
называются коэффициентами |
косвенных затрат, а матрица C (cij ) |
матрицей косвенных затрат. |
Косвенные затраты это затраты продукции каждой отрасли, которые обеспечивают процесс производства в данной системе отраслей.
Пример 9.5. Для |
трех отраслевой экономической системы задана |
матрица коэффициентов |
прямых затрат A и вектор конечного потребления Y |
.
|
|
0 |
0,1 |
|
A |
|
0,1 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
0 |
0, 2 |
|
|
|
0 |
|
|
0, 2 |
|
|
|
||
|
||
0,1 |
|
|
|
и
Y
160,152,95 T
.
1. |
Составить систему уравнений межотраслевого баланса. |
2. |
Найти решение системы валовой выпуск продукции. |
Решение. Уравнение межотраслевого баланса в матричном виде:
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
, т. е., |
x2 |
|
0,1 |
0 |
||||
X AX Y , где X (x1, x2 , x3 ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
0, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
Тогда |
система |
уравнений |
межотраслевого |
||||||||
x 0,1x |
160 |
|
x 0,1x |
160 |
|
|||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 |
0,1x1 0, 2x2 152 |
или 0,1x1 |
0, 2x3 152 . |
|||||||||
x |
0, 2x 0,1x 95 |
|
0, 2x |
0,9x |
|
95 |
|
|||||
3 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
x |
|
||
|
|
1 |
|
|
0, 2 |
x |
|||
|
|
|||
|
2 |
|||
0,1 |
|
x |
|
|
|
|
|||
|
3 |
баланса
152
95
160
имеет
.
вид:
|
1 |
0,1 |
0 |
160 |
|
|
|
0,1 |
1 |
0,2 152 |
|
|
|
Решим систему методом Гаусса: |
|
|||||
|
0 |
0,2 |
0,9 |
95 |
|
|
|
|
|
1 |
0,1 |
||
|
0 |
9,9 |
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
0,2 |
|
|
|||
|
|
0 |
160 |
|
||
2 1680 |
|
|
||
|
||||
|
|
|
||
0,9 |
95 |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
0 |
|
|
||
|
||
|
0 |
|
|
0,1 9,9 0
0 |
160 |
|
|
2 |
1680 |
|
|
|
|||
|
|
||
8,511276,5 |
|
||
|
.
Обратным ходом
метода Гаусса находим |
x3 150, x2 200, x1 |
Решение показывает, что валовой составить 180 ед., второй отрасли − 200 ед.,
180 |
. Итак, |
X (180,200,150)T . |
выпуск первой отрасли должен третьей − 150 ед.
83
Пример 9.6. В условиях предыдущего примера 10.7 найти вектор
конечного потребления Y , зная вектор |
X валового выпуска продукции. |
|
Решение. Вектор конечного |
потребления |
Y (E A)X . Итак, |
|
y |
|
|
|
0 |
0,1 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Y |
y |
|
|
0,1 |
0 |
||||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
0 |
0, 2 |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
180 |
|
|
0, 2 |
|
200 |
|
|
|
|
|||
|
|
|||
0,1 |
|
150 |
|
|
|
|
160 |
|
||
|
152 |
|
|
|
|
||
|
|||
|
95 |
|
|
|
|
.
Пример 9.7. Найти матрицу полных затрат, если дана матрица прямых
|
|
0,1 |
0 |
|
затрат |
A |
0, 2 |
0,3 |
|
|
|
|
Решение. |
Матрица |
|||
B (E A) |
1 |
. |
Найдем |
E |
|
полных затрат вычисляется
A |
|
1 |
0 |
|
|
|
0,1 |
0 |
|
|
|
0,9 |
|
0 |
1 |
|
|
0, 2 |
0,3 |
|
|
0, 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
по
0 |
|
0,7 |
|
|
формуле
. Найдем
E A 0,63 0 , |
следовательно |
матрица |
обратима. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
0,7 |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0,7 |
0 |
|
|
9 |
T |
|
. (E A) |
|
|
|||||||||||
(E A) |
|
0,2 |
0,9 |
|
|
0,63 |
|
0,2 |
0,9 |
|
20 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
0,7 |
|
(E A) |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
|
0,9 |
|
|
,
Пример 9.8. В условиях предыдущего примера 10.9 найти матрицу косвенных затрат.
Решение. Матрица косвенных затрат вычисляется по формуле:
C B
A
. Итак,
|
10 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
9 |
|
|
0,1 |
0 |
|
1,01 |
0 |
|
|
90 |
||
|
|||||||||||||
C |
|
|
|
||||||||||
20 |
10 |
|
0,2 |
0,3 |
|
0,02 |
1,13 |
|
37 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
315 |
0
79 70
.
9.3. Продуктивна ли матрица:
|
0,1 |
0,3 |
|
|
0,3 |
0, 4 |
|
а) |
0, 2 |
0,5 |
|
б) |
0, 2 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0, 2 |
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0, 4 |
|
|
|
д) |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
0,8 |
0,1 |
0 |
0,1 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
0 |
0,5 |
0,1 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
9.4. При каких матрица:
в)
0,1
0,7
0, 2
0,8 |
0,1 |
|
|
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|||
|
|
||
0 |
0,8 |
|
|
|
0, 2 |
0,5 |
0,3 |
|
|
|
0, 4 |
0, 2 |
0, 4 |
|
г) |
|
|||
|
0, 4 |
0,3 |
0,3 |
|
|
|
84
а)
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
А |
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
7 |
6 |
9 |
|
|
|
|
|
б)
|
|
7 |
0 |
|
А |
|
5 |
4 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
4
будет продуктивной?
9.5. Найти запас продуктивности матрицы:
|
0,1 |
0, 2 |
|
|
0,3 |
0, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
0,1 |
0,5 |
|
б) |
0,3 |
0, 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0, 2 |
0,1 |
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0 |
0,3 |
|
|
43 |
|
. Найти решение |
|
9.6. Дана матрица А |
|
и вектор Y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
0 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
системы X АX Y .
9.7. Дана матрица
|
|
0,1 |
0 |
|
А |
|
0,3 |
0,1 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
0 |
0, 2 |
|
|
|
0, 2 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
||
0,3 |
|
|
|
и вектор
X
|
100 |
|
|
|
200 |
|
|
|
|
||
|
|||
|
300 |
|
|
|
|
. Найти вектор Y.
9.8. Найти матрицу полных затрат В, если дана матрица прямых затрат
0, 2
А0
0, 2 |
|
0,3 |
|
|
.
85