Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
40
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
2.56 Mб
Скачать

МЕТОДЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Целью научных исследований является получение новой информации (знания) о свойствах объекта исследования. Объектами исследования могут быть процессы и результаты практической деятельности человека - реальные (натурные) промышленные и производственные установки, физические модели установок, биологические объекты или другие явления, в том числе недра земли, астрономические объекты, живые организмы, общественные явления и т.д. Объекты исследований могут представлять собой сложные многосвязные системы с множеством внутренних обратных связей, что требует от исследователя знаний основ теории систем (или системного подхода). В таких случаях сложная система изучается в два или более этапов, вначале проводится исследование простых частных явлений (анализ), далее проводится синтез с целью построения общей картины взаимозависимостей сложной системы.

Результаты научных исследований могут быть получены в виде словесных описаний, таблиц именованных чисел, графиков функциональных зависимостей, математической формулы или системы уравнений, описывающие взаимозависимости параметров в статическом или динамическом режимах. Наиболее удобным для практического использования являются математические описания.

Различают три основных метода получения математических описаний:

аналитический, экспериментальный и экспериментальноаналитический.

Аналитический метод основан на количественной и качественной оценке процессов, происходящих в моделируемом объекте. При выводе уравнений используются математические записи основных физикохимических процессов: химической кинетики, теплообмена и теплопередачи, гидродинамики. При составлении аналитических математических моделей нет необходимости в проведении экспериментов на объекте. Это свойство в сочетании с общностью, является достоинством аналитических моделей и позволяет их использовать при моделировании ряда подобных процессов и, что особенно ценно, на стадии проектирования. Однако сложные процессы не всегда удается описать замкнутой системой (число неизвестных не превышает число уравнений), что является недостатком метода.

Экспериментальные методы используются тогда, когда невозможно использовать аналитические способы исследования. Экспериментальные способы определения математических моделей делятся на активные и пассивные. При активных методах на вход исследуемого объекта подаются сигналы определенного вида и фиксируются изменения выходных переменных. Динамические характеристики определяются в виде переходных функций, частотных и импульсных характеристик, а статические – по значениям входных и выходных переменных после окончания переходных процессов. Полученные экспериментальные данные аппроксимируются аналитическими ма-

1

тематическими выражениями. При пассивных методах используются детерменированные и (или) случайные изменения параметров, имеющие место в процессе нормальной эксплуатации исследуемого объекта. В последнем случае применяются статистические приемы обработки экспериментальных данных. Обработка экспериментальных данных сводится к определению статистических характеристик случайных сигналов входа и выхода и к вычислению по ним характеристик исследуемого объекта. Недостатком экспериментальных (эмпирических) моделей является ограниченный (в пределах изменения параметров проведенных опытов) диапазон использования.

При использовании экспериментально-аналитического метода вна-

чале составляется аналитическая математическая модель исследуемого объекта, в дальнейшем проводится серия экспериментов на конкретном объекте с целью определения коэффициентов уравнений. Рассматриваемый метод обладает рядом достоинств, которые присущи экспериментальному и аналитическому методам.

2

ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Математическое моделирование процессов 1.1. Основные понятия и определения математического моделиро-

вания

Математическое моделирование – один из методов технической кибернетики, который позволяет выразить свойства исследуемых процессов с помощью математического описания моделируемого объекта. Методы математического моделирования позволяют описывать одинаковыми формулами различные по своей природе явления и использовать для исследования и решения задач оптимизации и синтеза автоматических систем регулирования (АСР) вычислительные машины. Эффективность использования математических моделей определяется тем, насколько правильно они отражают количественные и качественные характеристики моделируемых объектов, т.е. адекватностью моделей реальным закономерностям. Метод математического моделирования позволяет изучать процессы по их математическим описаниям, что важно при проектировании новых процессов и исследовании существующих, когда вследствие каких-то причин невозможно выполнить эксперименты на действующем объекте.

Метод математического моделирования дополняет метод физического моделирования возможностью количественной априорной (до опытной) оценки исследуемых явлений.

Математическая модель исследуемого объекта включает:

математическое описание связей между переменными входа и выхода для установившегося и неустановившегося состояний, т.е. модели статики и динамики объекта;

граничные условия и допустимые диапазоны изменения переменных процесса.

Как правило, математические модели статики – это нелинейные уравнения, корректные в широком диапазоне изменения переменных, необходимом для оптимизации статического режима. Динамические модели – линеаризованные математические соотношения, точность которых ограничена областью оптимальных статических режимов.

Если переменные математического объекта изменяются только во времени, то модели, описывающие свойства таких объектов, называются моделями с сосредоточенными параметрами. Модели объектов, переменные которых изменяются как во времени, так и по линейным координатам аппарата, называются моделями с распределенными параметрами.

Форма записи математической модели может быть различной: алгебраические и трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. В некоторых случаях используются специальные формы записи, такие как переходные и передаточные функции, частотные характеристики.

3

1.2. Математические описания простейших физико-химических процессов

Производственные технологические процессы можно представлять как совокупность простейших физико-химических процессов. Гидродинамические процессы характеризуют условия протекания простейших процессов в аппаратах; тепловые определяют изменение энтальпии в технологических аппаратах, а процессы массопередачи – изменение концентрации во взаимодействующих в аппарате фазах веществ, химические определяют химическое превращение веществ.

Математическими описаниями простейших процессов являются математические формулы, определяющие количественные и качественные закономерности протекания рассматриваемых простейших процессов.

1.2.1. Гидродинамические процессы

Уравнения, описывающие характер движения потоков внутри технологических аппаратов, являются основными при составлении математических моделей. Гидродинамические модели позволяют построить поля распределения концентрации и температуры, что необходимо при математическом моделировании тепло- и массообменных процессов, происходящих в аппаратах. Использовать для этой цели «классические» уравнения гидродинамики Навье – Стокса в сочетании с уравнениями неразрывности потока не представляется возможным вследствие, сложности или отсутствия их решения. В настоящее время для описания внутренней структуры гидродинамических потоков используют типовые гидродинамические модели технологических аппаратов: модель идеального смешения, модель идеального вытеснения, однопараметрическую и двухпараметрическую диффузионные модели, ячеечную модель,

комбинированную модель. При составлении математических описаний для двухфазных потоков принимаются отдельно модели для каждого потока. Модели потоков отдельных фаз могут быть одинаковыми и различными.

Модель идеального смешения. В аппаратах отсутствуют градиенты концентрации и температуры. Зависимость между концентрациями на входе и выходе определяется уравнением:

dC

=

G

(Cвх - С) ,

(1-1)

dt

 

V

 

 

где G – подача реагентов; V – объем зоны идеального смешения; С, Свх – текущая и начальная концентрации.

Модель идеального вытеснения. Принимается поршневое движение потока, перемешивание в направлении движения отсутствует, а в направлении перпендикулярном движению – полное. Математическое описание модели:

4

C

= v

C

,

(1-2)

t

x

 

 

 

здесь v – линейная скорость потока; х – пространственная координата.

Однопараметрическая диффузионная модель. Используется модель идеального вытеснения при наличии перемешивания в направлении движения потока, которое подчиняется закону диффузии. Математическая модель имеет вид:

С

= -v

C

+ DL

2C

,

(1-3)

t

x

x2

 

 

 

 

где DL – коэффициент продольного перемешивания.

При использовании данной модели принимается ряд допущений: изменение концентрации является непрерывной функцией координаты х; концентрации в сечениях постоянны; объемная скорость и коэффициент продольного перемешивания DL постоянны по длине и сечению потока.

Двухпараметрическая модель. В этой модели учитывается перемешивание в потоке в продольном и радиальном направлениях. При движении потока в аппарате цилиндрической формы радиуса R с постоянной по длине и сечению скоростью, математическое описание рассматриваемой модели имеет вид:

С = -v

C

+ DL 2C

+

DR

×

(R

C )

(1-4)

x

 

 

t

x2

 

R

R

R

 

где DR – коэффициент радиального перемешивания.

 

 

При использовании

двухпараметрической модели

принимается, что

скорость потока и коэффициенты перемешивания DL и DR постоянны. Решение уравнения (1-4) достаточно сложное, и потому двухпараметрическая модель используется редко.

Ячеечная модель. Гидродинамический поток в аппарате условно разбивается на т ячеек идеального перемешивания, соединенных в последовательную цепочку. Перемешивание между ячейками отсутствует. Количество ячеек является параметром, характеризующим модель потока: при m → ∞ – модель идеального вытеснения; когда m → 0 – модель идеального перемешивания. Ячеечная модель описывается системой уравнений:

Сi

=

G

(C

i -1

- C

);i = 1,2,3,...., m .

(1-5)

 

V

t

 

i

 

 

При этом принимаются условия, что объемы всех ячеек одинаковы и их сумма равна объему аппарата и скорость потока постоянна.

Комбинированные модели. При описании гидродинамики реальных технологических аппаратов могут встретиться условия, когда ни одну из рассмотренных моделей нельзя применить. С их помощью невозможно представить байпасирование, циркуляцию части потока, застойные зоны и другие явления. В подобных случаях используют комбинации из нескольких моделей: гидродинамический поток в аппарате представляют как комбинацию из

5

нескольких зон и локальных потоков – зон идеального и частичного перемешивания, идеального вытеснения, застойной зоны, байпасирующих и рециркуляционных потоков. Отдельные зоны и локальные потоки можно рассматривать как элементы общей структурной схемы гидродинамики моделируемого аппарата. Подобный подход позволяет моделировать гидродинамику любого сложного технологического аппарата путем усложнения структурной схемы и увеличения числа ее элементов.

Определение параметров моделей. Ввиду разнообразия используемых в химических производствах аппаратов и существенного отличия их гидродинамических режимов, параметры рассмотренных моделей определяются экспериментально. Задачей при этом является определение численных значений параметров и проверка адекватности принятой модели потоков.

1.2.2. Тепловые процессы

В энергетической аппаратуре распространен перенос тепла конвекцией, лучеиспусканием и теплопроводностью. В основу математических моделей этих процессов положены следующие уравнения:

Общая форма уравнения для переноса тепла:

QT = KFTDT.

(1-6)

Уравнение теплопроводности:

T

 

 

Q = -l

.

(1-7)

 

T

l

 

 

 

Уравнение конвективного переноса тепла в движущемся потоке:

 

 

T

 

 

T

 

 

T

 

l æ

2T

 

2T

 

2T ö

 

v

x

 

+ v

y

 

+ v

z

 

=

 

ç

 

2

+

 

2

+

 

2

÷ .

(1-8)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

ç

x

 

y

 

z

÷

 

 

 

 

 

 

 

z cr è

 

 

 

 

 

ø

 

Уравнение для определения коэффициента теплопередачи через стен-

ку:

æ

1

 

di

 

1

ö-1

 

ç

 

÷

 

 

 

+ a

 

(1-9)

K = ç a

+ å l

i

2

÷ .

è

1

 

 

 

 

ø

 

Соотношение для определения среднелогарифмической разности температур:

DT =

D

T1 - DT2

,

(1-10)

 

 

cp

ln

DT1

/ DT2

 

 

 

 

 

где α1 и α2 – коэффициенты теплоотдачи от стенки к потоку; Fт – площадь

теплообмена; δ – толщина стенки; λi – коэффициент теплопередачи материала стенки; ρ, с – плотность и удельная теплоемкость среды.

Приведенные соотношения дополняются при составлении математиче-

6

ских описаний тепловых процессов уравнениями теплового баланса. Условия существования тепловых потоков определяются уравнениями (моделями) гидродинамики, которые устанавливают закономерности построения температурных полей в технологическом аппарате. Системы уравнений, описывающих процесс конвективного теплообмена, уравнения вида (1-8) и уравнения неразрывности потока, не имеют аналитического решения. Поэтому для инженерных расчетов используются критериальные уравнения, позволяющие использовать экспериментальные результаты, полученные на подобных аппаратах.

1.2.3. Процессы массопередачи

Массопередача – это переход молекул одной фазы в другую и движение их в пределах каждой из фаз. Массопередача определяется двумя показателями: скоростью протекания обмена веществами между фазами и составом переносимого вещества. В некоторых случаях массопередача сопровождается выделением или поглощением тепла. В условиях производства массопередача встречается в технологических процессах абсорбции, десорбции, кристаллизации, экстракции, ректификации, сушки и т.д. Здесь будет рассмотрен только один процесс – абсорбция газа жидкостью.

Основу процесса (принципиальная схема показана на рис. 1-1) составляет перенос компонента из газовой фазы в жидкость. Для рассматриваемого процесса абсорбции, согласно правилу фаз

Ф + С = К + 2, (1-11)

получаем: число фаз Ф = 2; число параметров (степеней свободы системы), С равно числу компонентов К (С = К = 3). Уравнение линий равновесий при

р = const и Т = const будет:

р = f(Сж),

(1-12)

где р – парциальное давление абсорбируемого компонента в газе; Сж – концентрация в жидкой фазе.

Рис. 1.1. Принципиальная схема массообменного процесса: Gг, Gж подача газа и жидкости в абсорбер;

Сж.нач, Сж.кон, Сг.нач, Сг.кон – начальные и конечные концентрации абсорбируемого вещества в жидкости и газе

7

Для расчетов используют уравнение, записанное в следующей форме:

Сг.равн = -

 

НМ ж

 

,

(1-13)

рМ г [1

+ М к / М г (1 - Н / р)х]

 

 

 

где Н – коэффициент Генри; Мк, Мг, Мж – молекулярные веса абсорбируемого компонента, газа, жидкой фазы.

На рис. 1.2 приведена диаграмма равновесия рассматриваемой системы. Линия равновесия делит область существования системы на две подобласти I и II. Подобласть I соответствует абсорбции, так как в любой точке

выше линии равновесия концентрация Сг > Сг равн и компонент будет переходить в жидкую фазу. Следовательно, рабочая линия должна располагаться

вподобласти I. Для случаев, когда концентрации компонента в жидкой и газовой фазах невелики (ниже 10 %), уравнение рабочей линии можно записать

ввиде:

Сг = Gж/Gг×Сж + (Сг нач - Сж кон Gж/Gг).

(1-14)

Рис. 1.2. Диаграмма равновесия.

Движущей силой процесса служит разность концентраций, которая определяется взаимным расположением рабочей линии и линии равновесия (уравнения (1-13) и (1-14). Следовательно, уравнения, определяющие скорость процесса, можно записать в виде:

- G

dCг

= K

г

a(C

г

- C

г равн

);

 

(1-15)

 

dl

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- G

 

dCж

= K

ж

a(C

ж

- C

ж равн

),

(1-16)

 

 

ж

 

dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где l – длина зоны контакта; Kга, Kжа – объемные коэффициенты массопередачи в фазах; а – удельная поверхность контакта фаз. Математическое описание массопередачи должно определять скорость процесса обмена и состав переносимого вещества. Из приведенных выше уравнений для определения концентраций могут быть использованы соотношения (1-13) и (1-14), а для

8

определения скорости процесса абсорбции – (1-15) и (1-16).

1.2.4. Химические процессы

Математические модели простейших химических процессов состоят из ряда соотношений, которые выражают количественные и качественные характеристики явлений, имеющих место при химических реакциях. К ним относятся:

1)уравнения, описывающие закономерности протекания химических реакций, т. е. кинетические уравнения;

2)балансовые соотношения для исходных реагентов и получаемых ве-

ществ;

3)уравнения физических процессов, которые сопровождают химические реакции: массопередачи и тепловыделения.

Подобный подход объясняется тем, что математические описания простейших химических процессов входят в материальные и энергетические уравнения математических моделей технологических аппаратов и процессов.

В основе большинства промышленных реакторных процессов лежат сложные химические реакции, протекающие в несколько параллельнопоследовательных стадий. Поэтому уравнения промышленной кинетики не отражают истинного механизма реакции, а описывают изменения концентрации тех веществ, которые присутствуют в реакционных растворах в заметных количествах. Подобные кинетические уравнения называются уравнениями формальной кинетики.

Уравнения формальной кинетики корректны в ограниченной области изменения параметров технологического процесса, достаточной для решения задач оптимизации и автоматического управления.

Общая формула записи уравнений кинетики – дифференциальные временные уравнения, описывающие изменения концентрации реагирующих веществ:

dC1

= f

[C(t) ;C(t)

2

...C(t)

; p,T ],

(1-17)

 

dt

i

1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

где С(t)i концентрация i-го вещества; р и Т –давление и температура в зоне реакции.

Скорость гомогенной (протекающей в одной фазе) реакции определяется количеством вещества, реагирующего в единице объема в единицу времени. В гетерогенной (протекающей на границе раздела фаз) реакции процесс взаимодействия реагентов состоит из нескольких последовательных стадий, причем некоторые являются чисто физическими. Скорость такого процесса лимитируется скоростью наиболее медленной стадии. Например, гетерогенная реакция на твердом пористом катализаторе проходит следующие стадии: диффузия реагентов к поверхности катализатора; адсорбция реагентов на поверхности катализатора; химическое взаимодействие реагентов; десорбция продуктов реакции с поверхности; диффузия продуктов реакции в

9

глубь реакционного объема.

Из пяти стадий «чисто химической» является одна, следовательно, в математическое описание процесса, наряду с одним кинетическим уравнением вида (1-17) войдут четыре уравнения физических процессов адсорбции, десорбции и диффузии. Лимитирующей стадией может быть любая из пяти.

Химические реакции можно разделить на простые и сложные. Скорость простых реакций определяется концентрациями исходных реагентов. Сложные реакции протекают в несколько стадий и поэтому их скорость определяется концентрациями как исходных, так и промежуточных веществ, образующихся на отдельных стадиях. Наиболее общей формой кинетического уравнения является следующая:

dC

i=3

l

 

 

i

= k(T )ÕCi

i ,

(1-18)

dt

i=1

 

 

 

 

 

 

 

где λi –порядок реакции по i-му компоненту; Si £ 3; k(T)– константа скорости реакции, характеризующая зависимость скорости от температуры Т; она задается законом Аррениуса:

k(t) = K0 exp(-E / RT ) ,

(1-19)

здесь K0 – предэкспоненциальный множитель (определяется особенностями реакции); Е – энергия активации; R – газовая постоянная. В некоторых случаях зависимость константы скорости от температуры можно аппроксимировать полиномами второй и третьей степеней.

В зависимости от числа взаимодействующих реагентов реакции подразделяются на три класса: одномолекулярные, бимолекулярные, тримолекулярные, а в зависимости от åli – на реакции нулевого, первого и третьего

порядков. В некоторых случаях порядок реакции может быть дробным. Сложные реакции состоят из нескольких параллельно-последовательных простых. Для получения полной информации о сложной реакции необходимо знать концентрацию всех компонентов реакционного раствора. Из-за этого возрастает число кинетических уравнений математического описания моделируемого реакторного процесса и возможны трудности при решении. Чтобы избежать этого, основную группу уравнений необходимо составить только для ключевых компонентов, концентрации которых функционально связаны с концентрациями остальных.

Тепловой эффект химического превращения определяется количеством прореагировавших веществ и удельным тепловым эффектом реакции. Для простой реакции скорость тепловыделения (или теплопоглощения) определяется как

Qb = ±qk(T )ÕСili , i=1, 2, 3;

(1-20)

где q – удельный тепловой эффект реакции.

Для многостадийной реакции тепловой эффект можно определить как

10