UMLE6-106_F

143

в пересечении с х′ точки 1, 2 … Прямая х′ с отмеченными на ней точками 1, 2 … является масштабом широт (см. рис. 144). Далее, на той же прямой k, от точки О2 отложим отрезки О212, 1222 …, также равные единице, и соединим точки 12, 22 … с D прямыми. В пересечении этих прямых с у′ получим точки 1, 2 … Это масштаб глубин (см. рис. 145). На прямой m1 отложим отрезки О113, 1323 … равные единице и найденные точки 13, 23 … соединим прямыми с Р. В пересечении этих прямых с z′ получим точки 1, 2 … Прямая z′ с отмеченными на ней точками 1, 2 … является масштабом высот (см. рис. 146)*. Чтобы построить перспективу N′ точки N, найдем вначале перспективу N1′ ее основания N1 (2, 4, 0). Для этого на х′ найдем точку А′ ≡ 2, а на у′ – точку В′ ≡ 4 и через последнюю проведем прямую, параллельную х′ до пересечения с А′Р в искомой точке N1′. Теперь построим перспективу N2′ проекции точки N на плоскость уОz, т.е. точки N2 (0, 4, 8). Для этого через точку В′ проведем прямую, параллельную z′ до пересечения с прямой, соединяющей точки С′ ≡ 8 и Р. Точка пересечения этих прямых и есть N2′. Через N1′ проведем прямую, параллельную z′, а через N2′

– параллельную х′. Точка N′ их пересечения и будет перспективой заданной точки N.

Если требуется построить этим способом перспективу предмета, то нужно аналогичными построениями найти перспективы всех его характерных точек и в должном порядке соединить их.

§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ

ПО ЕГО ПЕРСПЕКТИВЕ

Решение этой задачи, имеющей большое практическое значение, рассмотрим на примере.

ПРИМЕР 64. Найти натуральную величину отрезка АВ, занимающего в пространстве общее положение и заданного на картине перспективами: А′В′ – самого отрезка и А1′В1′ – его основания (рис. 148).

Решение. Заданная прямая АВ, ее основание А1В1 и две горизонтально проецирующие прямые АА1 и ВВ1 образуют в пространстве прямоугольную трапецию**. На картине дан четырехугольник А′В′В1′А1′, являющийся пер-

*Отрезки 011, 12, 23 …, отложенных на х′, у′ и z′ обозначены одинаково, потому что они представляют перспективу одинаковых отрезков, равных единице длины, отложенных на осях х, у и z в пространстве.

**Прямые углы – при вершинах А1 и В1.

144

спективой этой трапеции. Найдем вначале натуральные величины трех сторон трапеции: А1В1 , А1А и В1В и построим их совмещенными с плоскостью перспективного эпюра, после чего замкнем трапецию недостающей стороной А0В0. Эта сторона и будет представлять натуральную величину заданного отрезка АВ.

h	D		P
		A'		B'
	A2
				B'	B2
		A'
				1
		1
k	1	3		2		4
	A 0		н. в. А В
	1		1	1
					B	0
					1
		н. в. АВ
	A0	a		B0	b

Рис. 148

Для определения натуральной величины отрезка А1В1 полностью повторены построения, приведенные на рис. 141, и найден отрезок A10 B10 =

= А1В1. Для определения натуральной величины 1А2 отрезка А1А, перспектива А1′А′ которого дана на картине, произведем построения, аналогичные приведенным на масштабе высот (см. § 43, п. 3, рис. 146), точку Р соеди-

ним с А1′ и А′ и найдем точки 1 = А1′Р k и А2 = А′Р а, где а k и проходит через точку 1*. Отрезок 1А2 – искомый. Аналогичные построения про-

изведем для отыскания отрезка 2В2, выражающего натуральную величину отрезка В1В. Построение трапеции A10 B10 В0 А0 понятно из рисунка.

* Часть этих построений уже выполнена при определении натуральной величины

А1В1.

145

§ 45. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПРЯМОЙ

При построении перспективы часто приходится изображать отрезки прямых, разделенных на равные или пропорциональные части, например, при нанесении окон, балконов на фасад здания, при изображении колоннад, мостовых ферм и других частей сооружения, имеющих закономерное расположение.

Вспомним известное построение на плоскости, применяемое для деления в данном отношении отрезка прямой. Если требуется отрезок АВ разделить в отношении m : n (рис. 149а), то нужно через один его конец (например, А) провести произвольную прямую, на ней отложить отрезки АС и СD, соответственно равные или пропорциональные отрезкам m и n, соединить точки В и D и провести прямую СЕ ВD. Точка Е разделит заданный отрезок в нужном отношении, т.е. АЕ : ЕВ = m : n. Аналогично поступают и при построении перспективы.

			A'
				E'	B'
		B	h
			T
	E		E'		B'
					1
			1
			D
		C	n
	m		a'
A
					n
			A'	C'		D'
			1	1		1
	а)				б)
			Рис. 149

Пусть в пространстве дан отрезок прямой АВ. На картине (рис. 149б) построена перспектива А′В′ этого отрезка и А1′В1′ – его основания*. Требуется заданный отрезок разделить в пространстве в отношении m : n и точку деления показать в перспективе. Проведем на картине через один из концов отрезка А1′В1′ (например, через А1′) прямую а′ h**. На а′ отложим отрезки А1′С1′ и С1′D1′, равные или пропорциональные m и n***. Точку D1′

*Отрезок АВ и построения в пространстве и на пл. на рис. 149 не показаны, так как они нужны только для понимания построений, производимых на картине.

**Прямая а′ является перспективой прямой а h, проведенной в предметной

плоскости через точку А1. Прямая а берется параллельной h для того, чтобы отрезки, отложенные на этой прямой, проецировались на картину пропорционально (см. § 43, п.

1:масштаб широт, рис. 144).

	146
*** Отрезки А1′С1′ и С1′D1′ являются перспективами отрезков А1С1 и С1D1, про-
порциональных соответственно m и n и отложенных на прямой а, лежащей на пл. .
соединим с В1′ и получим треугольник А1′В1′D1′, являющийся перспективой
треугольника А1В1D1, лежащего в предметной плоскости и аналогичного
треугольнику, показанному на рис. 149а.
Чтобы найти точку Е, делящую отрезок АВ в заданном отношении,
нужно в треугольнике А1В1D1 в пл.		провести прямую С1Е1				В1D1 (анало-
гично СЕ на рис. 149а). Так как прямые С1Е1			и D1В1	лежат в пл.			и взаим-
но параллельны, то на картине они имеют общую точку схода на линии го-
ризонта h. Продлим В1′D1′ до пересечения с h в точке Т и соединим эту
точку с С1′. Прямая С1′Т является перспективой прямой С1Е1, а точка Е1′ =
= С1′Т А1′В1′ – перспективой основания Е1			искомой точки. Проведем че-
рез Е1′ прямую, перпендикулярную линии горизонта h, и найдем точку пе-
ресечения Е′ этой прямой с А′В′. Точка Е′ – перспектива искомой точки. В
пространстве АЕ : ЕВ = m : n. При практическом решении данной задачи
все построения выполняются только на картине.
ПРИМЕР 65. На картине дана перспектива А′В′ отрезка прямой АВ и
А1′В1′ – его основания, а также линия горизонта h (рис. 150). Требуется
разделить отрезок АВ в пространстве на три равные части и показать их на
перспективе этого отрезка.
Решение. Через один из
концов отрезка А1′В1′ (например,							B'
В1′) проведем прямую b′ h и на				2'	1'
			A'
этой прямой отложим три, рав-
ных произвольной длине, отрез-	h
ка В1′С1′, С1′D1′ и D1′Е1′. Соеди-							T
ним точки Е1′ и А1′ прямой и
продолжим ее до пересечения с			A'
			1
h в точке схода Т. Точки С1′ и				2'		1'
		b'				1
D1′ также соединим с Т. Прямые				1			B'
							1
С1′Т и D1′Т пересекут А1′В1′ в	k	E'	D'	C'
		1	1	1
точках 11′ и 21′, являющихся
перспективами оснований иско-
мых точек 1 и 2, а перспективы
1′ и 2′ этих точек найдем на А′В′			Рис. 150
в пересечении ее с прямыми, проведенными через 11′ и 21′ перпендикуляр-
но h. Точки 1 и 2 делят отрезок АВ в пространстве на три равные части.

114

G		H	E2			J2
2	2

h2				12
B2			C2	A2		D2
C			H		D			J
				1				1
1		1

	G3			E'
					J'
		G'
h	1	B	A	D	F1
	0	0	0	0
k		B'			D'
	B3			A'

					F1
B	G	A	E		D
1	1	1	1	D
			A
				0
			0
		B0	P1
		B			f1
k		11

f2

F2 S1

Рис. 151

115

U

2

U'

2

R2

Q2

Q'2

U' Q'

R'

T'

h

2

F'

h

F'

1

2

W'

P

2

j'

G'

L'

J'

H'

N'

L2

J

E

J'

G2

2

2

2

E'

D'

B2

A2

3

B'

x

k

O

A'

C1

D

C'

M1

N1

1

1

T1

F2

R1

Q

U'

1

D'

L1

J0

L'

R'1

1

N'

J1

B'

1

D

1

1

0

1

B1

P

A1

Q'

1

J0

f2

1

f1

a

d

1

L0

J'

1

j

B0

b

l

L0

k'

O0

F1

L0

B0

L0

P1 J0 A1 D0 J0

F2

F1

S1

Рис. 152

116

			в T '
						10'		3'
						15'	11'	7'		4'
						16'
	в F1
			14'			2'	18'
									12'
							17'			8'	5'
				13'					18'
в T1'		в T1'	9'			6'
					1'
							17'		12'1
							1
							16'1				5'
									8'		1
									1		17'0
			13'	14'1
							3'
			1
							1
			9'			2'
			1
						1
						6'
						1
				1'
				1
											13'
											0
											14'
											0

1'

0

в F2

12'0

		5'
		0
	18'0	8'
		0	11'0
	16'0
		15'0

4'

0

3'

0

2'

Рис. 154

0

114

§ 46. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ СПОСОБОМ АРХИТЕКТОРОВ

Кроме рассмотренного выше способа координат (см. § 43) существует несколько различных приемов построения перспективы. Ниже рассмотрен один из них – так называемый способ архитекторов, имеющий наиболее широкое распространение. При построении перспективы этим способом используются не только проецирующие лучи, но и точки схода основных параллельных между собой горизонтальных прямых, определяющих очертание заданного предмета*. Применение способа архитекторов изложено в следующих примерах.

ПРИМЕР 66. Требуется построить перспективу прямоугольного параллелепипеда (схематизированного здания), показанного в ортогональных проекциях (рис. 151).

Решение. Зададимся: 1) линией горизонта h (обычно она выбирается на высоте, равной примерно человеческому росту 1,7–2,0 м); 2) картинной плоскостью , расположенной под произвольным острым углом к главному фасаду и проходящей (для упрощения построений) через одно из вертикальных ребер (например, АЕ) параллелепипеда; 3) точкой зрения S так, чтобы угол зрения В1S1D1 не превышал 60 **, главная точка картины – Р попала в среднюю треть ширины картины***, а расстояние SР было бы в пределах АВ < SР < 2АВ, где АВ – наибольший горизонтальный размер предмета.

Через S1 проводим две прямые: f1 А1D1 и f2 А1В1. Из них только од-

на пересекается с картиной в пределах чертежа: точка F1 = f1	k. Эта точка
схода перспектив всех прямых, параллельных АD. Точки В1 и D1 соединим
с S1 и отметим на k точки В0 и D0. Найденные точки F1, В0	и D0, а также

точку А0, перенесем на линию горизонта h на картине. Через точки А0, В0 и D0 проведем прямые, перпендикулярные h. На этих прямых должны быть отложены перспективы видимых вертикальных ребер параллелепипеда. Высота ребра АЕ, совпадающего с плоскостью картины, откладывается в

*Обычно пользуются двумя точками схода, но иногда приходится пользоваться только одной, если вторая оказывается за пределами чертежа.

**Предпочтительно этот угол брать равным 28–30 .

***Шириной картины считают расстояние BD между основаниями перпендикуляров, опущенных из крайних точек плана предмета на основание картины.

****Перспектива, построенная с сохранением указанных размеров, получается несколько уменьшенной в сравнении с ортогональными проекциями, поэтому иногда при построении перспективы все исходные размеры увеличивают в 2, 3 … раза и получают изображение соответственно большего размера.

*****Точки В3 и G3 являются следами ребер ВС и GH на картине.

115

натуральную величину****. Для нахождения высоты ребра BG продлим мысленно горизонтальную проекцию ребра G1H1 до пересечения с k в точке 11 и эту последнюю перенесем в точку 10 на картине. Через 10 проведем перпендикуляр к h и на нем отложим отрезки 10В3 = 12В2 и 10G3 = 12G2, в сумме составляющие 10B3 + 10G3 = B3G3 = B2G2 – натуральную величину ребра BG. Точки B3 и G3***** соединим прямыми с F1 и на этих прямых в ересечениях с перпендикуляром, проведенным ранее через В0, найдем точки В′ и G′ – перспективы двух вершин параллелепипеда. Отрезок В′G′ – перспектива вертикального ребра BG, а отрезки А′В′ и Е′G′ – двух горизонтальных АВ и ЕG. Аналогично строится перспектива ребра DJ. Точки A′ и E′ соединим с F1 и найдем D′ и J′ на перпендикуляре, проведенном к h через D0. Отрезок D′J′ – перспектива вертикального ребра DJ, а отрезки А′D′

иЕ′J′ – горизонтальных ребер АD и ЕJ*.

Втех случаях, когда проецируемый предмет в плане представляет собой фигуру более сложную, а также в случаях необходимости построения теней целесообразно вначале построить перспективу плана этого предмета. Если заданный предмет стоит на предметной плоскости, то перспектива его плана, построенная обычным приемом, накладывается на перспективу самого предмета и затемняет изображение последнего. Кроме того, при малой высоте точки зрения перспектива плана может оказаться настолько малого размера по глубине, что дальнейшие построения будут крайне затруднительны. Этих обоих недостатков можно избежать, если построение плана предмета произвести в плоскости, параллельной предметной и опущенной ниже нее на некоторое произвольное расстояние. Линию пересечения такой смещенной плоскости с картиной называют опущенным основанием картины, а план, построенный в этой плоскости, – опущенным пла-

ном**.

Впримере 66 положение по высоте перспектив некоторых точек, не лежащих в картинной плоскости (на рис. 151 перспективы В′ и G′), было определено с помощью следов на этой плоскости прямых, которым принадлежат проецируемые точки. Такие построения обычно накладываются на основное изображение или располагаются близко к нему и затемняют чертеж. В связи с этим часто пользуются «боковой стеной», которую можно располагать в любом месте по ширине чертежа и потому не затемнять его.

ПРИМЕР 67. Построить перспективу монумента, изображенного в ортогональных проекциях. Положение картины, линии горизонта, главной точки и точки зрения заданы (рис. 152)***.

*Невидимые ребра в перспективе не показаны.

**С увеличением расстояния между опущенным и нормальным основаниями картины размер опущенного плана по глубине увеличивается.

***На рис. показаны k, h2, Р1 и S1.

116

Решение. Все построения разобьем на три этапа.

1) Подготовительные построения на 1 в ортогональных проекциях: а) Найдем точки F1 и F2 – проекции точек схода прямых, параллельных АВ и АD соответственно; б) Соединим прямыми характерные точки плана В1, D1, L1 … с точкой S1 и отметим точки В0, D0, L0 … пересечения этих прямых с k.

2) Построение опущенного плана: а) Проведем нормальное основание k картины и на произвольном расстоянии ОО0 от него – ее опущенное основание k′ k; б) На опущенное основание k′ перенесем с k все найденные точки: F1, F2, Р1, А1, В0, D0, L0 … и через них проведем прямые f1, f2, а, b, d,

l …, перпендикулярные k′; в) Найдем на картине точки схода F1′ = f1	h и
F2′ = f2 h; г) Соединим точку А1 с F1′ и F2′ и найдем точки B1′ = А1F1′	b

и D1′ = А1F2′ d; д) Точку В1′ соединим с F2′, а точку D1′ – с F1′ и найдем С1′ = В1′F2′ D1′F1′*; е) На опущенном плане построим второй четырехугольник J1′L1′М1′N1′, для этого продлим две любые стороны прямоугольника J1L1M1N1, например, М1L1 и L1J1, до пересечения с k в точках L0

и J0 ** и перенесем эти точки на k′, после чего L0 соединим с F2′, а J0 – с F1′, точка L1′ = L0 F2′ J0 F1′, остальные вершины четырехугольника нахо-

дятся также, как были найдены В1′, С1′ и D1′***; ж) Построим на опущенном плане третий четырехугольник Q1′R1′ … аналогично двум первым и найдем проекцию U1′ – вершины монумента в точке пересечения диагоналей этого четырехугольника.

3)Построение перспективы предмета: а) Так как картинная плоскость

вданном случае проходит через ребро АЕ, то его перспектива А′Е′ изображается в натуральную величину; б) Соединим точки А′ и Е′ с точками F1′ и

F2′ и найдем видимые точки В′ = А′F1′ b, G′ = Е′F1′ b, D′ = А′F2′ d и Н′ = E′F2′ d; в) Для определения положения по высоте перспектив остальных точек проецируемого предмета воспользуемся «боковой стеной», поместив ее между ортогональной проекцией и перспективной. Пусть фронтальным следом «стены» на картине будет О0О k. Горизонтальный след ОWна предметной плоскости может занимать произвольное положение, так как наклон стены к картине не имеет значения для построений. Перспектива этого следа ОW′. Точка W′ является точкой схода перспектив

*Полученный четырехугольник А1В1′С1′D1′ является контуром опущенного плана заданного монумента.

**Эти построения относятся к первому подготовительному этапу.

***Построение точек J1′, М1′ и N1′ на рисунке не показано.

****Следы ОW и О0W обычно называют основаниями «стены» на предметной и опущенной плоскостях соответственно, а ОW′ и О0W′ – перспективой этих оснований.