Сборник задач-Пономаренко ВН

1) lim f (x)+ϕ(x) ;			2) lim f (x)ϕ(x) ?
x → x			x → x
	0		0

Рассмотреть в качестве примера предел lim xsin(1 x).

x → 0

5.3.f (x)= 3x − 5 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) =1.

x→2

5.4.f (x)= 3x2 − 2 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) =10.

x→2

5.5.f (x)= 3xx−+12 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) = 1.

x→∞ 3

5.6. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

1) lim f (x) =b ;	2) lim f (x) =∞;
x→a	x→a

3) lim f (x) =+∞;	4) lim f (x) =−∞.
x→a	x→a
5.7. Найти пределы:

1)

lim

x3

− x2 +2x

;

2)

lim

x2 −4

;

x2 + x

x + 2

x→0

x→−2

3)

lim

3

− x

;

4)

lim

x2 − 4x +5

;

3

− 27

x→3

x

x→−1 x2 −2x −3

5)

lim

2x2 − x −3

;

6)

lim

3x2 +2x −1

;

3

−x2 + x +2

x→1,5 2x2 −5x +

x→−1

7)

lim

2x2 −7x −4

;

8)

lim

3x2 −11x +6

;

−2x2 +5x +3

2x2 −5x −3

x→−0,5

x→3

9)

lim

16 − x2

;

10) lim

x3 −8

;

x3

−64

x2 + x −

6

x→4

x→2

11) lim

3x2 + 2x −1

;

12) lim

z3 + a3

;

27x3 −1

x→1/ 3

z→−a a2 − z2

13) lim

z2

−a2

;

14) lim

x

;

a4

− z4

z→a

x→0

x +4 −2

20

15) lim

2x +3 −3

;

x→3

3 − x

17) lim 2 −

6 + x ;

x→−2

7 − x −3

19) lim

x +1

;

x +

2

x→−1 x +

21) lim

3

x −1

;

x −1

x→1

23) lim

3

1 − x −

3 1 + x

;

x

x→0

25) lim

1

−

6

;

3

9 − x

2

x→−3

x +

27) lim

1

−

12

;

x

3

x→2

x − 2

−

8

29) lim

ctg 2x −

2

;

x→0

sin 4x

31) lim1−cos x ;

x→0 3cos2

x

2

33) lim

1− tg x

;

x→π

/ 4 sin x −cos x

35) lim sin x −tg x ;

x→0

4sin

2 x

2

37) lim

tg 6x

;

sin8x

x→0

39) lim sin10πx

;

x→0

tg 5x

41) limctg2

x

tg2 5x ;

x→0

8

4

43) lim arctg6x ;

x→0

sin3x

16) lim

x −

2 − x

;

x −1

x→1

18) lim

4x +1 −3

;

x→2

x + 2 − 2

20) lim

x −

3x + 4

;

x→4

16 − x2

22) lim

x −8

;

x

x→64 4 − 3

24) lim

1

−

2

;

x

2

x→1

x −1

−1

26) lim

3

−

1

;

3

x→1

x

−1

x −1

1

28) lim

tg x −

;

x→π

/ 2

cos x

30)

lim

1+sin 2x

;

x→−π / 4 sin x +cos x

32)

lim

cos x

;

x

x

x→π

/ 2 cos

−sin

2

2

34) lim sin 7x

;

x→0

sin 3x

36)

lim

1+ctg x

;

1

+

1

x→−π / 4

sin x

cos x

38) lim

tg10x

;

x→0

sin2 2x

40) lim

1 −cos3x

;

x→0

tg2 6x

42) lim sin(1− x)

;

x→1

x2 −1

44) lim

4x

;

arcsin12x

x→0

21

45) lim arcsin 5x				;
x→0		tg 2x
47) lim		x2 −1				;
					1)
x→1 arcsin(x −
					π
		sin x −			6
49) lim							;
		3
x→π / 6			−cos x
		2

	51) lim	x2	−2x +5						;
			+	3x +7
	x→∞ x3
	53) lim	2x2 +7x −1									;
		3x2 −5x +6
	x→∞
	55) lim	x −				x3			;
					x	2
	x→∞					+1

57) xlim→+∞(	x +5 −	x );
59) xlim→+∞(	2x +1 −	x +2 );
61) xlim→±∞(	x2 +10x − x);
63) xlim→±∞(	4x2 +3x −2x);
65) xlim→±∞ x(	x2 +1 − x);

67) lim x x ; x→∞ 1+ x

		1	x+1
	+		x		;
69) lim 1
x→∞		x

71) lim x +1 2 x−1 ; x→∞ x −2

73) lim x2 +1 x2 ; x→∞ x2 −1

46) lim

sin2 5x

;

arcsin10x

x→0

48) lim

x2

−4x +3

;

x +5

x→∞

50) lim

1−sin x

;

2

x→π

/ 2

π

− x

2

52) lim

x4

+2x3 −1

;

100x3 +2x2

x→∞

54) lim

3x3 −4x2 +8

;

−5x3 + 2x2 + x

x→∞

56) lim

x

2

;

−x +

x + 3

x→+∞

58) xlim→+∞(x −

2x −3);

60) xlim→+∞(

4x −1 −

x );

62) xlim→±∞(x −

x2 +7x );

64) limx→∞(3 (x +1)2

− 3 (x −1)2 );

66) xlim→±∞(

(x +a)(x +b) − x);

68) lim

−

1

t

1

t

;

t→∞

70) lim

+

k mx

1

;

x→∞

x

x+1

3x − 4 2

72) lim ; x→∞ 3x + 2

74) lim x +1 x ;

x→±∞ 2x −1

22

75) lim 2x −1 x ;

x→±∞ x −1

	+	1 x2
77) lim 1			;
x→±∞		x

79) lim (1 + sin x)cosec x ;

x→0

81) lim ln (1+kx)					;
x→0	x
83) lim	ln x −1			;
x→e	x −e
85) lim	e2 x −1			;
	3x
x→0
87) lim	ex −cos x				;
	x2
x→0
89) lim	xx −1		;
	x ln x
x→1

76) lim 1 + 12 x ;

x→∞ x

	2	−2x +1	x
78) lim	x			;
	2	−4x + 2
x→∞ x

80) limx→0 (1 + tg2	x )1/ x ;
82) lim ln(a + x) −ln a		;
x→0	x

	84) lim	ah −1	;
		h
	h→0
	86) lim	ex −e	;
		x −1
	x→0
	88) lim	ex −e−x		;
		sin x
	x→0

90) lim(ln(x +5) −ln x).

x→∞

5.8.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x = 0 по отношению к функции β (x)= x :

1)	α (x)= x5 ;	2)	α(x)=2 sin x ;
3)	α (x) = x2 + x4 ;	4)	α (x)=1 − cos x ;
5)	α (x)= tg x + x2 ;	6)	α (x) = x tg x + sin x .

5.9. Доказать эквивалентность бесконечно малых функций при x → 0 :

		x2				2)	1+ x −1 ~	x
1)	1−cos x ~			;					;
								2
		2
3)	sin x + tg x ~2x ;					4)	tg x −sin x ~ x3 ;
5)	3 x +8 −2 ~		x		;	6)	ax −1 x ln a .
	12

5.10.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x =1 по отношению к функции β (x)= x −1:

23

1) α (x)= 4(x −1); 3) α(x)=(x −1)2 ;

2) α (x) = x3 −1; 4) α(x)= 3 x −1.

5.11. Применяя принцип замены эквивалентными, найти следующие пределы:

1)

lim sin15x ;

x→0

tg10x

3)

lim

arcsin (x / 3)

;

x→0

tg2x

5)

lim

x3 +2x2

;

x→0 sin2 (x / 4)

7)

lim

4x −arctg x

;

x→0

4x + arctg x

9)

lim

ln2 (1+2x)

;

sin2 6x

x→0

11) lim

sin2 2x3

;

x2arctg2 4x2

x→0

ln(1 +8x)sin2

x

13) lim

2

;

x

x→0

tg2

sin 6x

4

15) lim

2(eπx −1)

;

x→0 3(3 1+ x −1)

17) lim			arctg (x2 − 2x)						;
	x→2			sin 3π x
19)	lim			1 − 2 cos x			;
	x→π	/ 3		π −3x
21) lim		1−e−2 x			ctg		x	;
				3			4
	x→0
23)	lim			ln tgx		;
	x→π	/ 4 cos2x

2)

lim

sin2 3x

;

1−cos5x

x→0

4)

lim

arctg2 5x

;

xsin 2x

x→0

6)

lim

arcsin

3

x4

;

x

x

x→0

8)

lim ln(1+αx)

;

x→0

βx

10) lim

tg5x

;

2x − x2

x→∞

12) lim

arcsin

x

;

1 6 tg x

x→0 3 ex −

arcsin 9x2 tg

x2

14) lim

;

2

x

x→0

sin3 x

e4 −

1

16) lim

eπ

− ex

;

sin 5x −sin 3x

x→π

18) lim

ln (9 − 2x2 )

;

x→2

sin 2π x

20) lim

cos(π x / 2)

;

x→1

1 −

x

22) lim

13 7 +3x −

40 2x +5

;

x2 − 4x −12

x→2

24) lim

x2 −(a +1)x + a

;

x3 −a3

x→a

24

π

x

;

26) lim

1

− cos x

;

25) lim x

2

− arcsin

1

−cos

x

x2 +1

x→∞

x→0

27) lim

23x −32 x

;

28) lim

3 27 − x −

9 + x

;

sin(ax) +arctg(bx)

x + 2 4

x→0

x→0

x5

29) lim

aax −axa

;

30) lim

13 1 +3x −

40 1 − 2x

;

a

x

− x

a

x

2

+ x + 4x

3

x→0

x→a

31) lim

1+3x − 5 1−7x

;

32) lim

ln (1+ xex )

;

)

x→0

ln (x3 +e−2 x )

x→0 ln (x + 1+ x2

ctg

π

x

x

1−sin

33) lim

1

;

34) lim

2

;

x

cos

x

x

x→∞

m

x→π

cos

−sin

cos

2

4

4

x

1

x

35) lim

(

x + ex

)

x

;

36) lim

m ln(e

+1)

x→0

cos

;

(

)

x→∞

(

x

)

x→0

ctg x ;

x→0

37) lim

2x

+sin x

38) lim

ln

x2 +ex+1

ctg x ;

39) lim

(

4x

−

x +8

)

tg

π x

;

40) lim cos

(sin x)

1

;

2

arcsin2 x

x→1

x→0

41) lim

(th x)sh 2 x ;

42) lim (th x)sh 2 x ;

x→0

x→+∞

43) lim

1+ cos x

;

44) lim

ex2 −1

;

x −π

x→π +

x→0+ arcsin x

45) lim

ex2 cos x −chx

;

46) lim

ex2 cos x −chx + x5

.

x→0

x5 + x3 sin3 x

x→0

x6 + x2 sin3 x

5.12. Определить λ и μ таким образом, чтобы имело место равенство limx→∞(3 1− x3 −λx − μ)= 0 .

5.13. Вычислить lim x3 1 − x +sin x .

x→0

25

§6. Непрерывность и точки разрыва функции

Функция	y = f (x)		называется непрерывной в точке x = a , если
lim f (x)= f	(a) (или lim f (a + h)− f (a) = 0 ).
x→a	h→0

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Точки разрыва первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют и конечны, в остальных случаях точка разрыва второго рода.

6.1.Используя определение непрерывности, показать, что данные функции непрерывны во всей своей области определения:

	1)	y = x2 −2x ;				2)	y =1 − x3 ;
	3)	y =		1	;	4)	y = ex ;
			x2	+1
	5)	y = cos3x ;				6)	y = ln (1 + 2x).

6.2.Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

1)	y =				1				;					2)	y =		1								;
			2		− x												(x + 5)							2
3)	y =				1								;	4)	y =		3					;
				4x − x2 −3													2x −1
5)	y =			sin x					;					6)	y =arctg					1				;
																				x
					x
7)	y = lg						x −3				;						1
														8)	y =3				.
																		x+4

6.3.Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва и построить графики:

1)y = x3 −1 .

x−1

1 − 2x , x ≤ 0,

3)y = 2sin x, 0 < x <π,

4 − x, x ≥π.

x−1

2)y = x −1 .

1 − x , x ≤ 0, 4) y = 0 , 0 < x ≤ 2,

x − 2 , x > 2.

26

	−x −1 , x ≤ −1,
5)		0 , −1 < x < 0,
	y =
		x,	x ≥ 0.
		x3 , x < 0,
						π
7)								,
	y = 2x, 0 ≤ x ≤					2
				π
			>			.
	tg x, x			2
		2 − x, x ≤ 0,
								π
9)							<		,
	y = cos x, 0 < x							2
					π
		0,	x	≥			.
					2

−x, x ≤ 0,

6)y = x3 , 0 < x ≤ 2,x + 4 , x > 2.

2−x+1, x ≤1, 8) y = 2 − x,1 < x ≤3,

tg πx , x >3.

3

	1			, x < 0,
		x
							π
				0 ≤ x <				,
10) y = sin x,							2
					π
	0 ,			x ≥		.
					2

6.4. Исследовать на непрерывность следующие функции:

1)

y = x 1

;

2)

y = lim

x

;

2n

n→∞

1+(2sin x)

x

))

3)

y =[x]sin π x ;

4)

n→∞

(

xarctg

(

n ctg x

;

y = lim

5)

y = lim(xn +3) при 0 ≤ x ≤1 ;

6)

y = lim

(xn + x) при 0 ≤ x ≤1.

n→∞

n→∞

6.5. Возможно ли доопределить функции:

π

1

π

1)

f (x)= xsin x

;

2) f (x)= arctg x

;

3)

f (x)= tg

2 − x

в точке x = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке?

6.6. Исследовать на

непрерывность

функции

f (g (x))

и

g (f (x)), где

f (x)=sgn x , g (x)=1+ x −[x].

27

§7. Дифференцирование функций

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента в некоторой точке при стремлении приращения аргумента к нулю называется производ-

ной функции в этой точке и обозначается

′

dy

= lim

y

.

y =

dx

x

x→0

Таблица производных основных функций

1)

′

= 0 ;

′

u′

C

10)

=−1+u2

;

(arcсtgu)

2)

(un )′ = nun−1 u′;

11)

(au )′ =u′au ln a ;

3)

(sin u)′ =u′cosu ;

12)

(eu )′ =u′eu ;

4)

(cosu)′ =−u′sin u ;

13)

(loga u)′ =

u′

;

u ln a

u′

5)

(tgu)′ =

;

14)

′

=

u′

;

2

cos

u

(ln u)

u

u′

6)

(сtgu)′ =−

;

15)

′

′

sin2 u

(sh u)

=u ch u ;

′

u′

′

′

7)

(arcsin u) =

1 −u2

;

16)

(сh u)

=u

shu ;

u′

′

u′

8)

(arccosu)′ =−

;

17)

(thu)

=

;

ch

2

u

1 −u

2

9)

(arctgu)′ =

u′

;

18)

(сthu)′ = −

u′

.

1

+u

2

sh2 u

Основные правила дифференцирования

1)

′

′

′

′

′

;

(u ±v) =u

±v

;

2) (Cu)

=Cu

′

′

′

′

′

′

3)

4)

u

=

u v

−uv

.

(uv) =u v +uv

;

v

2

v

Производная сложной функции y = f (u(x)) определяется так:

y′ = yu′ u′x .

Дифференциалом функции y (x) называется выражение dy = y′dx .

28

7.1. Найти по определению производную функции:

1)

y = x2 ;

2)

y = x3 ;

3)

y = x ;

4)

y = x x ;

1

6)

y =

1

;

5)

y =

;

x2

x

7)

y =sin

2x

;

8)

y = cos

x

;

3

2

9)

y = 1 +3x ;

10) y =

1+ x2 .

7.2.Используя таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования, найти производные указанных функций:

1) y = x4 +3x2 −2x +1;

3) y = 3 x + 1x − x32 +4 ;

5) y = 4x5 −3sin x +5ctg x ; 7) y = log2 x + 3log3 x ;

9) y = ex − tgx + x4 ;

24

11)y = tg x − ctg x ;

13) y = xsin x ;

15) y = 7 x ln x ;

17) y = 3 x arcctg x ;

19)y = x2 −1 ;

x2 +1

21) y =1+cos2sinx x ; 23) y = ctgxx ;

25) y =1+ex ;

1−ex

2) y = 7x7 +3x2 −4x −1;

4)	y = 4 x3 +	5	−	3	+ 2;
		x2
				x3
6)	y = 3 x + 4cos x − 2tg x ;
8)	y = 4ex + arctgx + arcsin x ;

10)y =5x + 6x + 1 x ;

7

12) y = arctg x − arcctg x ;

14) y = x2 tg x ;

16) y = xarccos x ;

18)	y = x2 log3 x ;
20)	y =		ln x		+ xctg x ;
			sin x
22)	y =		x				;
			x +
					1
24)	y =		x tg x			;
		1+ x2
26)	y =	1−10x
					.
		1+10x

29