Статистика Тема№8
.docxТема 8. Анализ тенденции развития.
Задача 3. На основе следующих данных об урожайности зерновых культур (ц/га):
Годы |
Урожайность зерновых культур, ц/га |
2003 |
20,8 |
2004 |
19,3 |
2005 |
21,1 |
2006 |
22,5 |
2007 |
24,6 |
2008 |
23,8 |
2009 |
25,4 |
2010 |
20,8 |
2011 |
24,9 |
2012 |
26,8 |
2013 |
30,0 |
2014 |
27,9 |
Определить тенденцию методом 3-х летней скользящей средней, методом аналитического выравнивания по прямой линии. Рассчитать параметры модели, выравненные значения, прогноз урожайности зерновых культур на 3 года вперед. Проверить статистическую точность уравнения прямой (тренда) с помощью относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы.
Решение:
1. Сглаживание ряда динамики на основе 3х летней скользящей средней. Определим средние уровни:
За 2003-2005 гг.:
За 2004-2006 гг.:
За 2005-2007 гг.:
За 2006-2008 гг.:
За 2007-2009 гг.:
За 2008-2010 гг.:
За 2009–2011 гг.:
За 2010-2012 гг.:
За 2011-2013 гг.:
За 2012-2014 гг.:
Результаты расчета трехлетних сумм и скользящей средней представим в таблице 1.
Таблица 1.
Сглаживание динамического ряда урожайности зерновых культур за 2003-2014 гг. методом скользящей средней.
Годы |
Урожайность зерновых культур, ц/га |
Период сглаживания, года |
Средина периода, год |
3-летние сумы, ц/га |
3-летние скользящие средние, ц/га |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2003 |
20.8 |
- |
- |
- |
- |
2004 |
19.3 |
2003-2005 |
2004 |
61.2 |
20.4 |
2005 |
21.1 |
2004-2006 |
2005 |
62.9 |
21.0 |
2006 |
22.5 |
2005-2007 |
2006 |
68.2 |
22.7 |
2007 |
24.6 |
2006-2008 |
2007 |
70.9 |
23.6 |
2008 |
23.8 |
2007-2009 |
2008 |
73.8 |
24.6 |
2009 |
25.4 |
2008-2010 |
2009 |
70.0 |
23.3 |
2010 |
20.8 |
2009-2011 |
2010 |
71.1 |
23.7 |
2011 |
24.9 |
2010-2012 |
2011 |
72.5 |
24.2 |
2012 |
26.8 |
2011-2013 |
2012 |
81.7 |
27.2 |
2013 |
30.0 |
2012-2014 |
2013 |
84.7 |
28.2 |
2014 |
27.9 |
- |
- |
- |
- |
Таким образом получен новый ряд динамики (гр.5,6), в котором наблюдается тенденция роста урожайности зерновых культур за период, что исследуется и лишь в 2009г. произошел небольшой спад урожайности зерновых культур.
2.Аналитическое выравнивание.
2.1. Для выявления характера динамики урожайности зерновых культур за весь период необходимо построить линейный график по исходным данным (рис.1.1). Основная тенденция кривой по своей форме приближается к прямой линии. Исходя из этого, целесообразно этот ряд динамики выравнивать по уравнению прямой линии (линейного тренда).
2.2. Уравнение прямой имеет вид : ,
где - выравнивание (теоретические) уровни ряда динамики;
и –параметры уравнения;
t – показатель времени, т. е. порядковые номера периодов времени.
2.3. Если , система нормальных уравнений будет иметь вид:
Отсюда
Итак,
= 0.38
Уравнение прямой имеет вид:
, то есть ежегодно урожайность зерновых культур возрастала в среднем на 0,38 ц/га
Вспомогательные расчеты для определения параметров и и критерия статистической достоверности аналитического уравнения
Годы |
Урожайность зерновых культур, ц/га |
t |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
2003 |
20.8 |
-11 |
121 |
-228.8 |
19.8 |
1.0 |
0.048 |
2004 |
19.3 |
-9 |
81 |
-173.7 |
20.6 |
1.3 |
0.087 |
2005 |
21.1 |
-7 |
49 |
-147.7 |
21.3 |
0.2 |
0.002 |
2006 |
22.5 |
-5 |
25 |
-112.5 |
22.1 |
0.4 |
0.007 |
2007 |
24.6 |
-3 |
9 |
-73.8 |
22.9 |
1.7 |
0.069 |
2008 |
23.8 |
-1 |
1 |
-23.8 |
23.6 |
0.2 |
0.008 |
2009 |
25.4 |
+1 |
1 |
25.4 |
24.4 |
1 |
0.039 |
2010 |
20.8 |
+3 |
3 |
62.4 |
25.1 |
4.3 |
0.88 |
2011 |
24.9 |
+5 |
5 |
124.5 |
25.9 |
1 |
0.04 |
2012 |
26.8 |
+7 |
7 |
187.6 |
26.7 |
0.1 |
0.004 |
2013 |
30.0 |
+9 |
9 |
270.0 |
27.4 |
2.6 |
0.086 |
2014 |
27.9 |
+11 |
11 |
306.9 |
28.2 |
0.3 |
0.003 |
Всего: |
287.9 |
0 |
572.0 |
216.5 |
288.0 |
- |
1.273 |
2.4. С помощью данного уравнения определим теоретические уровни ряда динамики, на основе которых устанавливается тенденция. Для этого подставим значение t в уравнение и получим выровненные (теоретические) значения производства молока (табл.2,гр.6). Величины теоретических уровней отражено на графике (рис.1.1). Результаты позволяют сделать выводы о тенденции возрастания урожайности зерновых культур.
2.5.Проверка точности уравнения на основе относительной ошибки аппроксимации (табл.2, гр.7,8)
Поскольку ε<15% можно сделать вывод, что в данном случае аналитическое уравнение прямой достаточно точно описывает эмпирические данные.
3. Прогнозное значение на 3 года вперед.
Найти прогнозное значение показателя на 2015, 2016, 2017 год можно по аналитическому уравнению. Для этого следует продолжить показатель времени за пределы ряда.
Для 2015 г. t = 13. Тогда
Для 2016 г. t = 15. Тогда
Для 2017 г. t = 17 . Тогда