Кулик А С Элементы теории рационального управления объектами

120 ГЛАВА IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ…

А – матрица ОРУ для номинального режима функционирования;

xi (k) – i-я компонента вектора состояния x k дестабилизирующего

движения ОРУ.

Качество восстановления работоспособности ОРУ будем оценивать с помощью функции

		V y		k yT k Q y			k ,
			i		i	i
где Q QT 0 .
Это функция	V y k			0 при y		k 0	и
		i			i
yi k , т. е.	функция		является		определенно

(4.22)

V y		k 0	при
	i
положительной.			В

соответствии с дискретным аналогом второго метода А. М. Ляпунова определим первую разность в форме (4.13) функции (4.22) как

i

i

V

k,k

1 V y

k

1 V y

k

yiT k 1 Q yi k 1 yiT k Q yi k .

(4.23)

Подставив в это выражение значение отклонения

yi k 1 из

уравнения (4.21), получим

V

k, k 1 G y

i

k

a

x

i

k

T Q G y

i

k

a

x

i

k

i

i

yiT k Q yi k .

Раскроем скобки в первом слагаемом, тогда

V k,k 1 yiT k GTQG yi k xiT k aiTQG yi k

yiT k GTQ k aixi k 2 k xiT k aiTQaixi k yiT k Q yi k .

Преобразуем это выражение следующим образом:

i

i

i

i

i

V k, k 1 y

T

k

G

T

QG Q

y k

k

2x

T

k a QG y k

k xT k aTQa

k

.

(4.24)

x

i

i

i

i

4.2 Синтез алгоритмов параметрической подстройки

121

Согласно второму методу А. М. Ляпунова для того, чтобы нулевое

решение уравнения (4.21)

было асимптотически устойчивым в области Ω,

V

такие свойства: V

достаточно обеспечить функции

k,k 1

k,k 1 0

i

0 и

V

при y

i

, т. е. свойство определенно

при y

k

k,k 1 0

k

отрицательной функции. Первое слагаемое функции (4.24) будет обеспечивать

ей определенную отрицательность, если

GTQG Q P,

(4.25)

где

P PT 0 .

Одно из

возможных

условий,

при котором

второе

V

слагаемое

обеспечивает

k,k 1

требуемые

свойства, состоит

в

выполнении равенства

k 2xiT k aiQG yi k k xiT k aiTQaixi k 0. (4.26)

Выполнение этого равенства можно обеспечить выбором соответствующей скалярной функции k .

Тривиальное решение k 0 не представляет практического интереса.

Второе решение
k 2	T	1	1	T	QG y k	(4.27)
	ai	Qai	xi	k ai

приемлемо с практической точки зрения и, по сути, представляет собой алгоритм подстройки параметра k по значениям отклонения yi k .

Такой алгоритм обеспечивает в области Ω асимптотическое восстановление работоспособности ОРУ со следующей оценкой качества:

yT

k P y

i

k

yT

k

0

Q y

i

k

0

.

(4.28)

i

i

k k0

122

ГЛАВА IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ…

Представим структуру полученного алгоритма с помощью графической

развернутой схемы (рис. 4.4).

u k

+

x k 1

xi0

x

k

y

k

B

i

+

i

C

i

+

+

+

A i

k

ai

2aiTQa :

k

+

ˆ

xˆ

k

aiTQG

B

+

x k 1

C

yi k

+

G

Рисунок 4.4 – Развернутая структурная схема цифрового контура

параметрической подстройки динамики ОРУ

Как следует из представленной схемы, изменяющийся параметр k вносит коррекцию в матрицу динамики ОРУ – A i , и в частности, в столбец ai , в котором содержится прямой признак дестабилизирующего воздействия i . Коррекция производится по сигналу yi k до тех пор, пока

lim yi k 0 .

k

Многообразие дестабилизирующих воздействий на ОРУ определяется его спецификой, что и порождает различные конструктивные варианты включения функциональных элементов изменяющимся параметром. Не регламентированный выбор функций, удовлетворяющих условиям А. М. Ляпунова, дает возможность формировать различные алгоритмы восстановления работоспособности ОРУ. Такая многовариантность порождает новую задачу поиска наилучшей, с точки зрения конкретных техникоэкономических требований, вытекающих из технического задания на проектирование ОРУ, структуры алгоритмов параметрической подстройки.

ug t .

		4.3 Синтез алгоритмов сигнальной подстройки				123
4.3 Синтез алгоритмов сигнальной подстройки
Сигнальную подстройку можно использовать для формирования
дополнительного	для	ОРУ	управляющего	воздействия	ug t ,
компенсирующего	влияние дестабилизирующего			воздействия с	целью

восстановления работоспособности.

Для реализации сигнальной подстройки в конструкции ОРУ или в алгоритмах блока управления (рис. 1.2, рис. 1.3) должна быть предусмотрена возможность подачи дополнительного управляющего воздействия ug t .

Рассмотрим	ситуацию,	когда				сигнально-компенсируемое
дестабилизирующее	воздействие	di			приводит		к		появлению
дестабилизирующего	движения (4.1).	Слагаемое				в квадратных			скобках в
		ˆ							представим
правой части уравнения (4.1) A x			i	t B u t N				i
		i			i	i

эквивалентным действию соответствующих начальных условий и тогда, переобозначив матрицу G D , уравнение дестабилизирующего движения ОРУ со скалярной сигнальной подстройкой будет в следующей форме:

yi t Dyi t bug t ; yi t0 ; i 1,q;

ug t t , (4.29)

где b – вектор-столбец, определяющий направление подачи скалярного управляющего воздействия Второе уравнение отражает

интегрирующий характер сигнальной подстройки. Функцию А. М. Ляпунова выберем следующего вида:

			T	2
			yi	t Q yi t ug t .	(4.30)
	V yi t ,ug t

Взяв производную по времени от этой функции, после преобразования получим следующее выражение:

124 ГЛАВА IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ…

V yi t , ug t yiT t Q yi t yiT t Q yi t 2ug t ug tD yi t bug t T Q yi t yT t Q D yi t bug t

ug t t yiT t DTQ yi t ug t bTQ yi t

yiT t QD yi t yT t Qbug t 2ug t t (4.31)

yiT t DTQ QD yi t 2ug t bTQ y t 2ug t t

yiT t DTQ QD yi t 2ug t bTQ y t t .

Достаточное условие асимптотической устойчивости сигнальной подстройки получим, обеспечив знакоотрицательность выражения (4.31). Производная функции А. М. Ляпунова будет отрицательно определенной, если выполнить следующие условия:

		DTQ QD P;			(4.32)
2u	g	t bTQ y y t		0,	(4.33)

где Р – симметричная, положительно определенная матрица.

Условие (4.33) выполняется при ug t 0, не представляющим решение задачи подстройки, а также при

t bTQ y t .

(4.34)

Такое

значение

t обеспечивает знакоотрицательность

функции

V y

i

t ,u

g

t

во

всем пространстве переменных

y

i

t и

u

g

t , а

следовательно, и асимптотическую устойчивость процесса подстройки относительно невозмущенного движения, т. е. устойчивое восстановление работоспособности ОРУ.

Уравнения (4.29) и (4.34) представим графически с помощью структурной схемы (рис. 4.5).

4.3 Синтез алгоритмов сигнальной подстройки

125

ug t		yi t 1	yi0	yi t
	b
		P
			D
	1	t	bTQ
	P

Рисунок 4.5 – Структурная схема контура сигнальной подстройки

Качество восстановления работоспособности обеспечивается таким выбором матриц Q и P (4.32), чтобы выполнялось следующее неравенство:

yiT t P yi t dt yiT 0	Q yi 0	.	(4.35)
0

Таким образом, при синтезе алгоритмов выбором матриц Q и P можно обеспечить компромисс между требованиями устойчивости и качества процесса сигнальной подстройки.

На основании функциональной схемы ОРУ можно представить развернутую функциональную схему сигнальной подстройки в следующем виде (рис. 4.6).

b

xi0

u t

-

+

xi t

+

xi t

yi t

B i

+

C

+

+

A i

K

+

xˆ t

xˆ t

+

t

ug t

+

-

B

C

bTQ

+

yˆ t

G

Рисунок 4.6 – Развернутая структурная схема контура сигнальной подстройки

126 ГЛАВА IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ…

Если при конструировании ОРУ возникает необходимость и возможность во введении нескольких дополнительных управляющих воздействий ug t , тогда синтез алгоритмов сигнальной подстройки можно

производить согласно изложенной схемы для каждого воздействия в отдельности, а также для всех воздействий, используя векторно-матричное представление второго слагаемого в уравнении (4.29).

Рассмотрим метод синтеза алгоритмов сигнальной подстройки для случая дискретного описания процесса восстановления работоспособности.

Для парирования влияния прямого признака дестабилизации

i на

отклонение

косвенного

признака

yi k

воспользуемся следующим

уравнением:

yi k 1 G yi k bug k , y k .

(4.36)

Функцию А. М. Ляпунова выберем в такой форме:

V y

i

k

yT k Q y

i

k ,

(4.37)

i

где Q QT 0 . Такая функция является определенно положительной в

области Ω

и, следовательно,

удовлетворяет

требованиям

функций

А. М. Ляпунова.

Первую разность функции А. М. Ляпунова

V

k,k 1 V y

k 1

V y

i

k

(4.38)

i

определим с использованием уравнения (4.36), в результате получим:

V k,k 1 yiT (k 1)Q yi k 1 yiT (k)Q yi k

G yi k bug k T Q G yi k bug k yiT (k)Q yi (k)

yiT (k)GTQR yi (k) yiT (k)GTQbug k bTQG yi (k) bTQbug2 k (4.39)yiT (k)Q yi (k) yiT (k) GTQR Q yi (k) 2 yi (k)GTQbug k

bTQbug2 k .

4.3 Синтез алгоритмов сигнальной подстройки				127
Дополнительное управляющее воздействие ug k		выберем из условия
обеспечения в области Ω для конечной разности V
		k,k 1	выполнения
условия определенной отрицательности функции (4.39). Функция (4.39) будет
определенно отрицательной при выполнении следующих условий:
GTQG Q P, где P PT 0;			(4.40)
2 yiT k GTQbug k bTQbug2 k 0.			(4.41)

Для выполнения первого условия зададим диагональную квадратную положительную матрицу Р и вычислим, исходя из равенства (4.40), матрицу

Q, удовлетворяющую требованию Q QT 0 . Выполнение второго условия (4.41) связано с выбором ug k , обеспечивающим нулевое значение суммы

двух слагаемых в области Ω. Разрешив равенство (4.41) относительно скалярной функции ug k , получим следующие два решения:

ug k 0; ug k 2 bTQb 1 yiT k GTQb.

(4.42)

Первое решение – тривиальное и физически неприемлемо. Второе решение представляет собой алгоритм формирования управляющего воздействия, обеспечивающего асимптотическую устойчивость относительно значения yi k 0 в области Ω. По сути, этот алгоритм обеспечивает асимптотическое сигнальное восстановление работоспособности ОРУ при дестабилизирующем воздействии di . Убедиться в таких свойствах синтезированного алгоритма можно подстановкой выражения для ug k в

уравнение (4.36). После соответствующих преобразований получим:

y	(k 1) Gy			(k) 2b(bTQb) 1yT (k)GTQb
i			i							i
					1					(4.43)
		T					T			yi k .
G 2b(b			Qb)			bb		QG
Рассмотрим случай, когда в векторе b только i-я компонента нулевая.
Матрица G I ,	причем		| | 1,				т. е.			корни матрицы G лежат внутри
единичного круга, что				следует						из особенностей наблюдателя

128 ГЛАВА IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ…

Д. Люенбергера (2.11). Тогда все корни новой матрицы кроме i-го будут равны , а i-й корень будет равен . Такое значение корня удовлетворяет условию | | 1, следовательно, все корни новой матрицы лежат внутри единичного круга, что означает асимптотическую устойчивость процесса сигнального восстановления работоспособности ОРУ.

		b						Ug k
				xi0
u k		-	xi k 1		xi k		yi k
	B i			+		C
		+		+
			+
				A i
				K
		+			xˆ k		-	y k
			ˆ				+	i
	B		x k 1			C		2(b2Qb) 1bTQG
		+
			+
				G
Рисунок 4.7 – Развернутая схема цифрового контура сигнальной подстройки

Оценка качества восстановления работоспособности ОРУ может производиться с помощью такого соотношения:

	yT k P y k yT k0 Q y k0 , y k .
		(4.44)

k k0

Для обеспечения определенной отрицательности конечной разностиV k,k 1 , условие (4.41) – не единственно возможное достаточное условие. Возможны и другие условия [4], обеспечивающие V k,k 1 0 , а

следовательно, и другие алгоритмы сигнальной компенсации отклонений в работоспособности ОРУ.

4.4 Синтез алгоритмов реконфигурации аппаратуры

Избыточная резервная аппаратура широко используется в инженерной практике для обеспечения требуемого ресурса работоспособности систем управления объектами аэрокосмической техники. Известно два вида

4.4 Синтез алгоритмов реконфигурации аппаратуры

129

резервирования: постоянное и динамическое. При использовании постоянного резервирования, как правило, в мажоритарных структурах зачастую появляется возможность и даже возникает необходимость восстановления работоспособности частично деградировавшей аппаратуры. При этом необходимо произвести ряд коммутаций входных и выходных сигналов аппаратуры, произвести оперативное диагностирование и соответствующую полученному диагнозу подстройку, обеспечивающую восстановление работоспособности аппаратуры, а также соответствующие коммутации, позволяющие ввести восстановленную аппаратуру в мажоритарную структуру.

Динамическое резервирование используется в ситуациях полной деградации аппаратуры и замене ее резервной. Замена неработоспособной аппаратуры резервной производится посредством коммутации энергетических и информационных связей, обеспечивающих выведение из системы одной аппаратуры и введение в функционирование другой, работоспособной. При этом переходные процессы, обусловленные коммутацией, должны быть такими, чтобы не вызывать вредного влияния на ресурс другой аппаратуры и работоспособность всей системы управления в целом.

Резервная аппаратура должна выводить на требуемый режим функционирования за время, допустимое временем восстановления работоспособности всей системы. Реализация реконфигурации аппаратуры связана с использованием дополнительных как аппаратных, так и программных средств. Аппаратные средства – это дополнительная резервная аппаратура, а также электронные или электромеханические коммутаторы в цепях питания (электрической, пневматической, гидравлической и других видов энергии) и цепях сигнальных, по которым передается управленческая информация.

Программные средства представляют собой машинные программы, формирующие управление процессом коммутации и подготовку резервной аппаратуры к работе, т. е. это программы управления реконфигурацией аппаратуры. В общем случае управление реконфигурацией аппаратуры заключается в выдаче команд по соответствующей циклограмме на коммутаторы, на процесс формирования машинных входных и выходных данных резервной аппаратуры и процесс подготовки этой аппаратуры к использованию, на контроль поведения ОРУ в процессе коммутации и на другие функциональные средства, используемые для реконфигурации аппаратуры.

Рассмотрим особенности реконфигурации аппаратуры применительно к ОРУ. В ряде практических ОРУ для блока датчиков состояния объекта