КР №1 РЦС В3
.pdfЗадача 1
Выполнить спектральный анализ импульсного сигнала. С этой целью необходимо:
1.Определить спектральную плотность одиночного видеоимпульса, изображенного на рисунке 1. В соответствии с полученным выражением построить график его амплитудного спектра.
2.Определить энергию импульса, пользуясь формулами во временной области или частотной области (равенство Парсеваля).
3.Определить спектр амплитуд периодической последовательности видеоимпульсов, полученной путем повторения заданного импульса с периодом T = 5τи .
4.Рассчитать и построить спектр амплитуд периодической последовательности радиоимпульсов, огибающая которых совпадает с заданным видеоимпульсом, а несущая частота равна f0 = 10 МГц.
s(t)
E
0 |
t |
-τи/2 |
τи/2 |
Рисунок. 1. Временная диаграмма импульсного сигнала
Исходные данные к задаче: Em=1 В –амплитуда сигнала;
τи =5 мкс – длительность одного импульса.
Решение
1. В основе спектрального представления сигнала лежит его разложение по системе синусоидальных функций. Найдём комплексную спектральную плотность входного сигнала. Для этого применим для разложения в спектр непериодического сигнала (рис. 1) интеграл Фурье (формула [1], 2.48 - прямое преобразование Фурье):
+∞ |
|
S(jω) = òs(t)e−jωtdt, |
(1) |
−∞
где s(t)- функция, описывающая сигнал.
Для сигнала, представленного на рисунке 1, выражение s(t) имеет вид:
ì |
|
2E |
|
|
|
æ |
|
|
t |
|
|
|
ö |
||
ïЕ |
+ |
|
|
t, |
для |
" |
t Îç |
- |
|
|
;0 |
÷; |
|||
t |
|
2 |
|||||||||||||
ï |
|
и |
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
||||
ï |
|
2E |
|
|
|
æ |
|
|
t ö |
|
|
|
|||
s(t) = íЕ |
- |
|
|
t, |
для |
" |
t Îç |
0; |
|
|
|
÷; |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
ï |
|
t |
и |
|
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
t |
|
|
t ö |
||
ï0, |
|
|
|
|
для |
" |
t Ïç |
- |
|
|
; |
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
Так как s(t) = s(−t) , то функция s(t) является четной, при этом |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
òs(t)sinwtdt = 0 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τи / 2 æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
τи / 2 |
|
|
|
|
τи / 2 |
|
|
|
||||||||||||
S( jw) = |
ò |
s(t)coswtdt = 2 |
ò |
ç Е - 2E t÷coswtdt = 2Е |
|
ò |
coswtdt - 4Е |
|
ò |
tcoswtdt = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tи |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
è |
|
|
|
|
tи ø |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Е |
|
τи / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Е sin wtи |
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
τи / 2 |
ù |
|
||||||||||
= |
|
(sin wt)0τи / 2 - |
|
|
|
|
ò td(sin wt)= |
- |
4Е |
ê(t sin wt)0τи / 2 |
- |
òsin wtdtú |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wtи 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
2 |
|
|
wtи ë |
|
|
|
|
|
|
0 |
û |
|
||||||||||||||||
= |
2Е |
sin |
wtи |
- |
4Е ét |
и |
sin |
wtи |
|
+ |
1 |
(cos wt)τи / 2 |
ù |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
2 |
|
|
wtи |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ë 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2Е |
|
|
wt |
|
|
4Е ét |
и |
|
|
wt |
|
|
|
|
1 |
æ |
|
|
wt |
|
|
öù |
|
|
|
|
4Е æ |
|
wt |
|
|
ö |
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
sin |
|
|
|
и |
- |
|
|
|
ê |
|
sin |
|
и |
+ |
|
|
çcos |
|
и - |
1÷ú |
= |
|
|
|
|
ç1 |
- cos |
|
|
|
и |
÷. |
|
|
||||||||||||
|
w |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
w |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
wtи ë 2 |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
øû |
|
|
|
w |
tи è |
|
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||||||||||
Подставляя ω = 2πf , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S( jf ) = |
|
|
4Е |
|
(1- cos pftи )= |
|
|
|
Е |
|
(1- cos pftи ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Итак |
4p2f 2 tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2f 2 tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S( jf ) = |
|
|
|
|
(1- cos pftи ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2f 2 tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили расчётную формулу для комплексной спектральной плотности сигнала S(jf). Модуль спектральной плотности сигнала рассчитывается так:
S(f ) = |
Е |
|
1 |
- cos pftи |
|
. |
(4) |
|
|
||||||
p2f 2 tи |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
График спектральной плотности, рассчитанный по формуле (4), приведён на рисунке
2.
2. Определим энергию импульса. Интегрирование будем производить во временной области. Для этого воспользуемся формулой [1], 2.1:
Э = |
|
∞ |
s2 |
(t)dt = |
0 æ |
Е |
+ |
|
|
ö2 |
dt + |
τи /2 æ |
Е - |
ö |
2 |
|
|
|
||||||
|
ò |
ò |
ç |
2E t÷ |
ò |
ç |
2E t÷ |
dt = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||
|
−∞ |
|
|
−τи / 2 è |
|
|
tи ø |
|
0 |
è |
|
|
tи ø |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
æ |
|
t |
|
æ |
t |
ö2 |
ö |
|
τи /2 æ |
|
|
|
t |
|
æ |
t |
ö2 |
ö |
||
= Е2 |
|
ò |
ç1 |
+ 4 |
+ 4ç |
|
÷ |
÷dt |
+ Е2 |
ò |
ç1 |
- 4 |
+ 4ç |
÷ |
÷dt = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
tи |
|
ç |
|
÷ |
÷ |
|
ç |
|
|
|
tи |
ç |
|
÷ |
÷ |
||||
|
|
−τи / 2 è |
|
|
è tи ø |
ø |
|
0 è |
|
|
|
è tи ø |
ø |
|
|
|
2 |
æ |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
4 t3 ö |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 t3 ö |
|
|
τи / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Е |
|
ç |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Е |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç t |
|
|
|
|
|
3 t |
2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç t - 2 |
tи |
|
|
3 t |
2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
tи |
|
|
|
и |
ø |
|
−τи / 2 |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
Е2 |
ç0 |
+ |
|
|
и |
- |
|
|
|
|
и + |
|
|
|
|
и |
÷ |
|
+ Е2 ç |
|
|
и - |
|
|
|
и |
+ |
|
|
|
|
- 0÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдём численное значение энергии импульса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Э = |
|
E2tи |
= |
|
12 × 5×10−6 |
|
|
= 1.667 ×10−6 |
|
|
(В2 × с). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S(f), |
мкВ/Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
100 |
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
350 400 450 500 f, кГц |
Рисунок 2. График спектральной плотности сигнала
3. Скважность сигнала равна q=5. Период периодического сигнала равен: T=q· τи=5·5 мкс=25 мкс.
Определим расстояние между гармониками спектра по частоте. Она равна частоте повторения импульсов:
w1 |
= |
2p |
= 251.3×10 |
3 |
æ |
рад ö |
|
||
T |
|
ç |
÷, |
|
|||||
|
|
|
|
|
è |
с ø |
|
||
f1 |
= |
1 |
= 40 |
(кГц). |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Периодическая последовательность видеоимпульсов изображена на рисунке 3. |
||||||||
|
Зная выражение для спектральной плотности S(f), спектр |
определяются по формуле |
|||||||
2.56 [1] |
|
|
|
|
cn = f1S(nω1 ) , |
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (5) определим амплитуды гармоник. Рассчитаем частоты гармоник по
формуле |
fn = n ×f1 и запишем их в таблицу 1. |
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
f, кГц |
±0 |
±40 |
±80 |
±120 |
±160 |
±200 |
±240 |
±280 |
±320 |
±360 |
±400 |
±440 |
±480 |
Сn, мВ |
100 |
96.8 |
87.5 |
73.7 |
57.3 |
40.5 |
25.5 |
13.5 |
5.5 |
1.2 |
0 |
0.8 |
2.4 |
|
|
U(t), |
В |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
30 |
20 |
10 |
0 |
10 |
20 |
30 t, мкс |
Рис. 3. Периодическая последовательность видеоимпульсов
Теперь по значениям таблицы 1 построим графики АЧС сигнала (рис. 4).
Cn, мB 100
80
60
40
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0500 |
400 |
300 |
200 |
100 |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 f, кГц |
Рис. 4. Амплитудный спектр сигнала
Т.е. модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.
4. Временная диаграмма периодической последовательности радиоимпульсов, огибающая которых совпадает с заданным видеоимпульсом, представлена на рисунке 5.
|
|
|
U(t), |
В |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
30 |
20 |
10 |
0 |
10 |
20 |
30 t, мкс |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
1
Рис. 5. Временная диаграмма периодической последовательности радиоимпульсов
На основании выражения |
для спектра |
периодической последовательности |
видеоимпульсов S(jf) спектр |
периодической |
последовательности радиоимпульсов |
описывается выражением |
|
|
Sp ( jf ) = 1 [S(j(f + f0 )) + S(j(f − f0 ))]. |
(6) |
|
2 |
|
|
Из последнего выражения видно, что спектр последовательности, перенесённой на высокую частоту f0, эквивалентен “расщеплению” спектра закона модуляции относительно частоты f0. Амплитуды гармоник (кроме нулевой) при этом уменьшаются в два раза.
Частоты гармоник рассчитываются по формуле fn = f0 ± n × f1 .
Расчеты по формуле (6) снесём в таблицу 2.
Таблица 2
к |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
f |
f0 |
f0± f1 |
f0± 2f1 |
f0± 3f1 |
f0± 4f1 |
f0± 5f1 |
f0± 6f1 |
f0± 7f1 |
f0± 8f1 |
f0± 9f1 |
f0±10f1 |
f0±11f1 |
f0±12f1 |
|
-f0 |
-f0± f1 |
-f0± 2f1 |
-f0± 3f1 |
-f0± 4f1 |
-f0± 5f1 |
-f0± 6f1 |
-f0± 7f1 |
-f0± 8f1 |
-f0± 9f1 |
-f0±10f1 |
-f0±11f1 |
-f0±12f1 |
||
|
||||||||||||||
Ск, мВ |
50 |
48.4 |
43.8 |
36.8 |
28.6 |
20.3 |
12.7 |
6.8 |
2.7 |
0.6 |
0 |
0.4 |
1.2 |
Теперь по значениям таблицы 2 построим графики спектра высокочастотного сигнала (рис. 6). Следует отметить, что аналогичный спектр расположен в области мнимых частот около частоты -10 МГц.
Ck, мB
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
10.4 |
10.2 |
10 |
9.8 |
9.6 |
0 |
9.6 |
9.8 |
10 |
10.2 |
10.4 |
f, МГц |
|
Рис. 6. Спектр высокочастотного сигнала
Задача 2
На вход резонансного усилителя подается тонально модулированный радиосигнал. Параметры усилителя:
–резонансная частота контура fР=1 МГц;
–эквивалентная добротность контура равна Qэ=100,
–коэффициент усиления усилителя на резонансной частоте Ку=10. Параметры сигнала:
–несущая частота f0=1 МГц (равна резонансной частоте контура);
–частота модулирующего сигнала F=2 кГц;
–вид модуляции – АМ:
s(t) = UН (1 + m cos Ωt)cos(ω0 t),
где ω0 = 2πf0 , Ω = 2πF ; m=0.8 – коэффициент амплитудной модуляции, UH=0.05 В – амплитуда несущего колебания.
Требуется:
1.Привести схему усилителя на биполярном или полевом транзисторе.
2.Рассчитать спектр входного сигнала и записать его аналитическое выражение в виде суммы гармонических составляющих.
3.Пользуясь полученным выражением, построить график спектра входного сигнала.
4.Рассчитать амплитудно-частотную характеристику усилителя и построить ее график.
5.Пользуясь результатами, полученными в п. 2 и п. 4, рассчитать амплитуды спектральных составляющих и построить график спектра амплитуд выходного сигнала.
6.Рассчитать спектр фаз выходного сигнала и построить его график. (Этот пункт выполняется по указанию преподавателя).
Указание. Графики спектра входного сигнала, АЧХ усилителя и спектра выходного
сигнала следует строить в одинаковом масштабе и разместить их на одном листе один под другим.
Решение
1. Схема усилителя на биполярном транзисторе представлена на рисунке 7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Eк |
|
|
|
|
|
Cк |
|
|
|
|
|
|
|
Lк |
|||||
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cр2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Cр1 |
|
|
|
|
VT |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rк |
|
Uвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Uвх |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Rэ |
|
|
Cэ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7. Схема резонансного усилителя |
|
|||
2. Аналитическое выражение для входного сигнала имеет вид |
|
|||||||
uвх (t) = UН (1 + m cos Ωt)cos(ω0 t) = UН (1 + m cos 2πFt)cos(2πf0t). |
|
|||||||
Преобразуем его |
|
|
|
|
||||
uвх (t) = UН (1 + mcos2πFt)cos(2πf0 t) = UН cos(2πf0t)+ UН mcos(2πFt)cos(2πf0 t) = |
|
|||||||
= UН cos(2πf0 t)+ |
UН m |
cos[2π(f0 |
− F)t]+ |
UН m |
cos[2π(f0 + F)t]. |
(7) |
||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
3. Выражение (7) содержит три слагаемых – гармонических составляющих. Поэтому |
|
|||||||
спектр сигнала содержит три гармоники. Их амплитуды равны: |
|
|||||||
S0 = UН = 0.05 |
(В), |
|
|
|
|
|||
S1 = S−1 = |
UНm |
= 0.02 (В). |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||
Частоты гармоник равны |
|
|
|
|
||||
f0 = 1000 |
(кГц), |
|
|
|
|
f1 = f0 + F = 1000 + 2 = 1002 (кГц),
f−1 = f0 − F = 1000 − 2 = 998 (кГц).
Амплитуды гармоник запишем в таблицу 3. Изобразим спектр S(f) входного сигнала uвх(t) (рис. 8).
Таблица 3
f, кГц |
988 |
990 |
992 |
994 |
996 |
998 |
1000 |
1002 |
1004 |
1006 |
1008 |
1010 |
1012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn, |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
50 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
мВ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K(f) |
3.85 |
4.47 |
5.3 |
6.4 |
7.81 |
9.28 |
10 |
9.28 |
7.81 |
6.4 |
5.3 |
4.47 |
3.85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn вых, |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
185.7 |
500 |
185.7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
мВ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Рассчитываемый резонансный усилитель имеет высокодобротный выходной контур,
поэтому основным параметром является значение передаточной функции усилителя на частотах, близких к резонансной частоте f0. В этом случае передаточная характеристика имеет вид [1], 5.65:
K(jf )≈ −Kу 1+ j 2(f1− f0 )Qэ . f0
Выражение для АЧХ найдём, взяв модуль данного выражения
K(f )≈ Kу |
|
|
1 |
|
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|
|||
|
4(f − f0 )2 |
|
|||||
1+ |
Q2 |
|
|||||
f02 |
|
||||||
|
|
|
э |
|
Результаты расчёта по формуле 8 снесём в таблицу 3.
График АЧХ, построенный по данным из таблицы 3, приведён на рисунке 9.
5. Для определения АЧС сигнала на выходе цепи необходимо АЧС сигнала на входе цепи умножить на модуль комплексной передаточной функции:
Sвых (f ) = K(f )×S(f ). (9)
Спектр входного сигнала состоит из гармоник с известными амплитудами (п. 2). Частоты этих гармоник известны. Рассчитанные амплитуды гармоник спектра на выходе усилителя запишем в таблицу 3.
Графически спектр выходного сигнала можно получить, перемножив графики входного спектра и АЧХ усилителя. АЧС выходного сигнала представлен на рисунке 10.
Сравнение спектров входного и выходного сигнала указывает на относительное уменьшение амплитуды колебаний боковых частот относительно амплитуды колебания на несущей частоте. При этом уменьшается глубина модуляции выходного сигнала.
S(f), мB
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
996 |
997 |
998 |
999 |
1000 |
1001 |
1002 |
1003 |
1004 f, кГц |
Рис. 8. Амплитудный спектр входного сигнала
Κ(f)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
996 |
997 |
998 |
999 |
1000 |
1001 |
1002 |
1003 |
1004 f, кГц |
Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика
Sвых(f), мB
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
996 |
997 |
998 |
999 |
1000 |
1001 |
1002 |
1003 |
1004 f, кГц |
Рис. 10. Амплитудно-частотный спектр выходного сигнала
Задача 3
На вход нелинейного элемента, вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого приведена на рисунке 11, воздействует бигармонический сигнал
u(t) = U0 + U1 cosω1t + U2 cosω2t . |
(10) |
imax
i0
imin
Рис. 11. ВАХ нелинейного элемента |
|
Требуется: |
|
1. Выделить рабочий участок ВАХ и аппроксимировать его полиномом 2-й степени: |
|
i = a0 + a1 (u − U0 ) + a2 (u − U0 )2 . |
(11) |
Под рабочим участком ВАХ понимается интервал возможных значений входного сигнала u(t). Границами этого интервала являются значения Umin = U0 − U1 − U2 и
Umax = U0 + U1 + U2 .
2.Построить график спектра входного сигнала.
3.Используя полученные коэффициенты аппроксимации а0, а1, а2, рассчитать и построить спектр тока нелинейного элемента.
Исходные данные к задаче:
U0=1.0 В; |
|
U1=0.5 В, |
f1=100 кГц; |
U2=0.5 В, |
f2=10 кГц. |
Решение
1. Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространённых способов является аппроксимация степенным полиномом.
Вольтамперная характеристика (рис. 11) имеет вид квадратичной параболы. Поэтому целесообразно ВАХ аппроксимировать полиномом второй степени.
Коэффициенты полинома (11) в общем виде определяются выражениями