КР №1 РЦС В3

æ

di ö

1

æ

d2i

ö

a

0

= u

0

,

a

1

= ç

÷

,

a

2

=

ç

÷ .

2

è du øu=u0

2!

ç

÷

è du

øu=u0

Однако на практике для нахождения коэффициентов аппроксимации а0, а1, а2 обычно составляют три уравнения на основе (11) в характерных точках - на границах и в центре рабочего участка ВАХ.

Определим рабочий участок ВАХ:

U0 = 1 (В),					= 1- 0.5 - 0.5 = 0 (В),
Umin	= U0 - U1 - U2
Umax	= U0 + U1 + U2 = 1+ 0.5 + 0.5 = 2.0					(В).
По графику (рис. 11) определим значения тока в характерных точках:
i0 = 0.6 (мA),
imin =0.3		(мA),
imax = 1.3		(мА).
Тогда система уравнений для нахождения коэффициентов аппроксимации а0, а1, а2
имеет вид:
ìi0 = a0 + a1 (u0 - u0 ) + a2 (u0 - u0 )2 ;
ï	= a0		+ a1 (umin		- u0 ) + a2 (umin - u0 )2 ;
íimin
ï	= a0		+ a1 (umax		- u0 ) + a2 (umax - u	0 )	2	.
îimax
или после подстановки числовых значений
ì0.6 = a0 ;
ï	= a0	- a1 + a2;
í0.3
ï	= a0 + a1 + a2.
î1.3
Решая данную систему, найдём
a0 = 0.6			(мА);
a1 =	0.5	æ	мА ö
		ç	÷;
		è	В ø
a2 =	0.2		æ мА	ö
			ç	÷.
			è В2	ø

Итак, полином аппроксимации имеет вид
i = a0 + a1(u - u0 ) + a2 (u - u0 )2 = 0.6 + 0.5(u -1) + 0.2(u - 1)2	=
= 0.3 + 0.1u + 0.2u2 .	(12)

2. Бигармонический входной сигнал описывается выражением (10). Он состоит из трёх слагаемых – гармонических составляющих. Поэтому спектр сигнала содержит три гармоники. Их амплитуды равны:

u0=1.0 В; u1=0.5 В, u2=0.5 В.

Частоты гармоник равны

f0=0; f1=100 кГц;

f2=10 кГц.

Изобразим спектр U(f) входного сигнала u(t) (рис. 12).

U(f), B
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0	20	40	60	80	100	120 f, кГц

Рис. 12. Амплитудный спектр входного сигнала

3.Определим выражение для тока через нелинейный элемент. Для этого подставим

(10)в (12). Получим

iвых (t) = a0 + a1 (u − u0 ) + a2 (u − u0 )2																									=
= a	0	+ a	1	(u			1	cos ω t + u						2		cos ω						t) + a	2	(u		1		cos ω t + u						2	cos ω				t)2	=
									1												2										1							2
= a0 + a1u1 cos ω1t + a1u2 cos ω2 t +
+ a	2	u2 cos2 ω t + 2a									2	u		u		2	cos ω t cos ω t + a													2	u	2 cos2 ω				t.
		1						1				1										1			2							2			2
Воспользуемся формулами
cos2 α =				1 + cos 2α						,
								2
cos α cosβ =								1 (cos(α − β) + cos(α + β)).
Тогда								2
iвых (t) = a0 + a1u1 cos ω1t + a1u2 cos ω2t +
+ a	2	u2 1 + cos 2ω1t								+ a			2		u		u	2	[cos(ω − ω							2	)t + cos(ω + ω									2	)t]+ a			2	u2 1 + cos 2ω2 t				=
		1					2									1						1											1								2	2
= a		+ 1 a				u		2 +	1 a		u2			+ a				u			cos ω t + a							u		cos ω			t +		1 a			u2 cos 2ω t +				1 a		u2	cos 2ω	t +
	0	2			2		1		2	2		2					1			1		1				1			2			2			2		2	1			1	2	2	2	2
+ a2u1u2 cos(ω1 − ω2 )t + a2 u1u2 cos(ω1 + ω2 )t.

Отсюда видно, что выходной ток является сложным сигналом, содержащим гармонические составляющие с различными частотами. Подставив числовые данные, определим амплитуды и частоты гармоник:

i		æ	а			1	а		u	2		1	а		u	2	ö	= 0.50	(мА),	F = 0,
		= ç			+						+						÷
						2						2
	0	è		0				2		1				2		2	ø			0

i1 = а1u1 = 0.250

(мА),

F1 = f1 = 100

(кГц),

i2

= а1u2 = 0.250

(мА),

F2

= f2

= 10

(кГц),

i

=

1

а

u2

= 0.025

(мА),

F

= 2f

= 200

(кГц),

3

2

2

1

3

1

i

=

1

а

u2

= 0.025

(мА),

F

= 2f

= 20

(кГц),

4

2

2

2

4

2

i5

= i6

= а2u1u2 = 0.05 (мА),

F5

= f1 - f2

= 90

(кГц),

F6

= f1 + f2

= 110

(кГц).

Изобразим спектр I(f) выходного сигнала i(t) (рис. 13).

I(f), мA 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

												f, кГц
0	50			100			150			200

Рис. 13. Амплитудно-частотный спектр выходного сигнала

Задача 4

На вход нелинейного элемента, ВАХ которого приведена на рисунке 14, воздействует

напряжение

u(t) = U0 + E cosω0t .

В выходную цепь нелинейного элемента, представляющую собой генератор тока, включен высокодобротный параллельный колебательный контур. Резонансная частота контура wр равна nw0, эквивалентное сопротивление на резонансной частоте равно R0.

Требуется:

1.Построить график спектра входного сигнала.

2.Используя метод угла отсечки, рассчитать спектр тока через нелинейный элемент (ограничиться 3-4 гармониками). Построить график спектра тока.

3.Рассчитать и построить график спектра напряжения на контуре.

4. Построить графики входного напряжения u(t), тока через нелинейный элемент i(t) и напряжения на контуре uК(t), совместив их во времени (друг под другом). На графике u(t) указать уровень напряжения отсечки.

Исходные данные к задаче: U0=2 В;

E=4 В,	Ro=1.0 кОм;
n=1,	f=100 кГц.
		i, мА

U0

Решение

i(t)

Im

u, В	t

u(t)

E

t

Рис. 14. ВАХ нелинейного элемента

1. Входной сигнал описывается выражением
u(t) = U0 + E cosw0t = 2 + 4cos(2p ×100 ×103 t).	(13)

Он состоит из двух слагаемых – постоянной и гармонической составляющих. Поэтому спектр входного сигнала содержит две гармоники – одну на нулевой частоте и одну на частоте f=100 кГц. Их амплитуды равны:

Um0= U0=2 В;

Um1=Е=4 В.

Частоты гармоник равны

f0=0; f1=f=100 кГц.

Изобразим спектр U(f) входного сигнала u(t) (рис. 15).

- коэффициен т постоянной составляющ ей,

- коэффициен т первой гармоники и т.д.

U(f), B

5

4

3

2

1

																							f, кГц
	0	20			40			60			80			100			120			140

Рис. 15. Амплитудный спектр входного сигнала

2. В данном случае имеет место работа нелинейного элемента в существенно более нелинейном режиме, чем в задаче 3. Такой режим получается при сдвиге рабочей точки u0 влево и соответствующем увеличении амплитуды возбуждающего напряжения u. В данном случае целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ (рис. 14).

Найдём значение угла отсечки ([1], 8.19)

cos q = U1 − U0 ,

E

где U1=1 В – точка пересечения аппроксимированной ВАХ с осью напряжений

(напряжение отсечки).

Отсюда угол отсечки равен

U

1

- U

0

1 - 2

æ

1 ö

o

q = arccos

= arccos

= arccosç

-

÷

= 104.5

.

E

4

è

4 ø

Ток, проходящий через нелинейный элемент, имеет импульсную форму. Выражение для тока можно разложить в ряд Фурье. Коэффициенты данного ряда можно определить с помощью функций Берга:

a0 (q) = II0

m

a1 (q) = II1

m

Аргументом функций Берга является угол отсечки. Определим коэффициенты гармоник (функции Берга) графически. Для этого воспользуемся рисунком 16.

α1

α0

α2

α3

Рис. 16. Функции Берга

Для угла отсечки q = 104.5o коэффициенты равны: a0 (104.5o ) = 0.37,

a1 (104.5o ) = 0.53,

a2 (104.5o ) = 0.15,

a3 (104.5o ) = -0.04.

Теперь с помощью рисунка 14 определим максимальное значение тока Im=8.4 мА.

Тогда коэффициенты ряда Фурье равны

I0	= Ima0 (q) = 8.4 × 0.37 = 3.11		(мА),
I1	= Ima1 (q) = 8.4 × 0.53 = 4.45		(мА),
I2	= Ima2 (q) = 8.4 × 0.15 = 1.26		(мА),
I3	= Ima3 (q) = 8.4 × -0.04 = -0.34 (мА).
Частоты гармоник равны
f0	= 0,
f1	= f = 100 (кГц),
f2	= 2f = 200	(кГц),
f3	= 3f = 300	(кГц).

Изобразим спектр I(f) входного тока i(t) (рис. 17), ограничившись тремя гармониками.

I(f), мА

5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0	50	100	150	200	250	300	350 f, кГц
Рис. 17. Амплитудно-частотный спектр выходного сигнала
3. Определим частоту настройки контура
fрез = n × f = 1×100 = 100		(кГц).

При условии высокой добротности контура в полосу пропускания попадает только одна из гармоник, а именно первая с частотой f1 = fрез = 100 (кГц). Поэтому на контуре

присутствует напряжение с частотой fрез и амплитудой

Uк = I1 × Rое = 4.45×10−3 ×1000 = 4.45 (В).

График спектра представлен на рисунке 18.

Uк(f), B

6

4.8

3.6

2.4

1.2

												f, кГц
	0	20		40		60		80		100

Рис. 18. Амплитудно-частотный спектр напряжения на контуре

4. Входное напряжение описывается выражением (13) u(t) = U0 + Ecosw0 t = 2 + 4cos(2p×100 ×103 t) (В) .

График представлен на рисунке 19.

Ток через нелинейный элемент представим в виде ряда Фурье

i(t) » I0 + I1 cos(2p×f1t)+ I2 cos(2p×f2 t)+ I3 cos(2p×f3t)= 3.11+ 4.45cos(2p×100 ×103 × t)+ +1.26сos(2p×200 ×103 × t)- 0.34сos(2p×300 ×103 × t) (мА).

Расчёт по данной формуле целесообразно выполнить с помощью ЭВМ. График данной функции представлен на рисунке 19.

Напряжение на контуре является гармоническим колебанием uк (t) = UK cos(2p×fрезt)= 4.45cos(2p×100 ×103 × t) (В).

График напряжения на контуре представлен на рисунке 19.

Отсечка тока соответствует пересечению ВАХ нелинейного элемента с осью напряжений (рис. 14) и происходит при входном напряжении u(t)<1 B. Уровень Uотс=1 В указан на рисунке 19.

u(t), В

7
6
5
4
3
2
1																																																																																																																																																																						t, мкс
		1		0																						5									10																																					15																20																																											25																30
		2
		3
i(t), мА
10
8
6
4
2																																																																																																																																																																						t, мкс
		2		0																						5								10																																							15													20																																														25												30
u (t), В
	к
5

0

5

10

15

20

25

30 t, мкс

5

Рис. 19. Временные диаграммы напряжений и токов

Задача 5

Нарисовать схему диодного амплитудного детектора. Изобразить графики входного и выходного сигналов. Кратко описать его работу в режимах "малого" сигнала (квадратичный детектор) и "большого" сигнала (линейный детектор). Для каждого режима указать порядок величины следующих параметров: входного сопротивления RBX , коэффициента передачи Kд , коэффициента нелинейных искажений Кг .

Решение

Детектирование колебаний заключается в выделении сигнала, который в неявной форме содержится в модулированном высокочастотном колебании. Детектирование является процессом, обратным процессу модуляции.

На вход детектора подается модулированное колебание, содержащее только высокочастотные составляющие: несущее колебание и колебания боковых частот. На выходе же выделяется напряжение с низкочастотным спектром передаваемого сообщения.

В качестве нелинейных элементов в настоящее время чаще всего применяются полупроводниковые диоды.

Схема детектора АМ-сигнала приведена на рисунке 20.

		VD				i(t)
e(t)						+
							Rн
		Сф								uвых(t)
							–

Рис. 20. Схема амплитудного детектора

Рассмотрим некоторые явления в детекторе при модулированном колебании, а также особенности детектирования слабых и сильных сигналов.

Допустим, что амплитуда колебания на входе детектора настолько мала, что

обусловленные этим колебанием изменения тока укладываются на относительно небольшом участке нижнего сгиба характеристики диода или любого другого нели- нейного элемента (рис. 21).

				Рис. 21. Режим работы квадратичного детектора
Ток через диод аппроксимируется квадратичным полиномом:
i(t)= i(U	0	)+ a e(t)+ a		e2 (t),
		1	2
где e(t)= E0 cosω0t			- мгновенное значение высокочастотного сигнала, амплитуда которого

Е (t) модулирована по закону передаваемого сообщения (начальную фазу для краткости опустим, так как на работу амплитудного детектора фаза не влияет). Таким образом

i(t)= i(U0 )+ a1E(t)cosω0t + a2E2 (t)cos2 ω0t = i0 + a1E(t)cosω0t + 12 a2E2 (t)cos2ω0t + 12 a2E2 (t).

Высокочастотные составляющие ω0 и 2ω0 отфильтровываются в цепи нагрузки. Ин- формация содержится в последнем, низкочастотном, слагаемом

iнч = 12 a2E2 (t).

Так как эта составляющая пропорциональна квадрату амплитуды входного напряжения, то

при малых амплитудах детектирование является квадратичным. Это положение яв-

ляется общим, справедливым для любых типов нелинейных элементов, используемых для детектирования.

То обстоятельство, что напряжение uвых(t) на нагрузке, являющейся линейной цепью, пропорционально iнч и, следовательно, квадрату амплитуды входного сигнала Е (t), не

является препятствием к правильному воспроизведению формы импульсных (прямоугольных) сигналов. Иначе обстоит дело при квадратичном детектировании колебаний, огибающая которых является непрерывной функцией времени, как это имеет место, например, при передаче речи, музыки и т. д.

Переменная часть тока содержит следующие два слагаемых:

а) полезное, воспроизводящее сигнал 2MsinΩt, б) вредное, являющееся второй гармоникой сигнала (М2/2) cos 2Ωt.

Отсюда следует, что коэффициент гармоник, равный в данном случае отношению амплитуды второй гармоники к амплитуде первой,

Кг2 = 0.5М2 = М . 2М 4

При 100%-ной модуляции

Кг2 = 0.25 = 25% .

При передаче сложных сигналов, содержащих большое число частот, гармоники и

комбинационные частоты оказывают при глубокой модуляции очень сильное влияние на разборчивость и тембр сигнала. Поэтому применение квадратичного детектирования нецелесообразно в тех случаях, когда требуется неискаженное воспроизведение сигналов (речь, музыка и т. д.).

Рассмотрим детектирование сильных сигналов. Допустим, что амплитуда входного сигнала достаточно велика, a R и С выбраны таким образом, что угол отсечки тока очень мал и выпрямленное напряжение на R почти не отличается от амплитуды Е (t) входного сигнала. На рис. 22 совмещены входное (высокочастотное) и выходное (выпрямленное) напряжения (зубчатая линия). Так как при достаточно большой (по сравнению с периодом высокой частоты Т = 2π/ωо постоянной времени RC зубцы практически отсутствуют, напряжение на выходе воспроизводит огибающую амплитуд входного напряжения, т. е. передаваемое сообщение.

Рис. 22. Диаграммы входного и выходного напряжений в линейном детекторе при пра- вильном выборе элементов нагрузочной цепи RC

Таким образом, связь между выходным напряжением (выпрямленным) uвых(t) огибающей входной ЭДС Е(t) получается почти линейной.