64367313
.pdf
Страница 1 из 1 |
DjTheme@bigmir.net |
1.В шестизначном числе совпадают цифры в классах тысяч и единиц (например 245245). Докажите, что это число делится на 7, 11 и 13.
Рассмотрим число abcabc :
abcabc =105a +104b +103c +102a +10b +c =
=102a(103 +1) +10b(103 +1) +c(103 +1) =
=1001(102a +10b +c) = 7 11 13 (102a +10b +c)
Так как 1001 это 7*11*13, то число abcabc делится на 7, 11 и 13.
2. Докажите, что (a2 + 3a +1)2 −1 делиться на 24 при любом a N .
(a2 +3a +1)2 −1 = ((a +1)2 +1)2 −1 = ((a +1)2 +a −1)((a +1)2 +a +1)= = (a2 +2a +1 +a −1)(a +1)(a +1 +1)=a (a +1)(a +2)(a +3)
Исходя из того, что рассматриваемое число есть произведение четырех последовательных чисел, то оно, при любом a N , будет делиться на 2, 3 и 4. Так как 2*3*4=24, то
(a2 + 3a +1)2 −1 делиться и на 24.
3.Доказать, что сумма 3102 +4102 делиться на 13.
Докажем с помощью математической индукции, что 46k −36k делиться на 13 при k N :
Мат. индукция описана здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция
1.База индукции |
|
|
k =1 : |
46k −36k = 46 −36 = 4096 −729 = 3367 = 37 13 7 #13 |
|
2. Шаг индукции |
|
|
предположим, что при k = n |
|
|
46n −36n |
#13 |
|
тогда при k = n +1 |
|
|
46(n +1) −36(n +1) = 46n 46 −36n 36 = |
|
|
= 46n 46 −36n 46 +36n 46 −36n 36 = |
|
|
= (46n −36n ) 46 +36n (46 −36 ) #13 |
|
|
что и требовалось доказать. И тогда |
|
|
3105 +4105 = 333102 +434102 = 333102 +434102 +433102 −433102 |
= |
|
=(33 +43 )3102 +43(4102 −3102 ) = 91 3102 +43(46 17 −36 17 ) |
#13 |
|
|
|
|
Страница 2 из 2 |
DjTheme@bigmir.net |
4.Разложить на множители: x 3 −2y3 −2xy2 .
Разложим выражение следующим образом:
x3 −2y3 −2xy2 = (x +ay)(x2 +bxy +cy2 ) =
=x 3 +bx2y +cxy2 +ax2y +abxy2 +acy3 =
=x 3 +x2y(b +a) +xy2(c +ab) +acy3
Тогда
b +a = 0
c +ab = −2
= −ac 2
b = −a
c −a2 = −2 c =a2 −2
a3 −2a = −2
a3 −2a +2 = 0 p = −2
q= 2
=−27q2 −4p3 = −108 +32 = −76
a |
0 |
= 3 −q + − |
|
+ 3 −q − − |
|
= 3 −1 + 19 + 3 −1 − 19 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
108 |
2 |
|
108 |
|
27 |
27 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a =a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
=a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 −2y |
3 −2xy2 =(x +a y)(x2 |
−a xy +(a 2 |
−2)y2 ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|