Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3756345

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
30.04.2016
Размер:
104.98 Кб
Скачать

Задача 1. Даны векторы a = 3i + j è b = 2i + 3j.

(a)Построить вектор единичной длины того же направления, что и a.

(b)Построить вектор a=2 b.

Решение:

(a) Åñëè a - вектор, а jaj - длина вектора a, то длина вектора a=jaj равна единице,

и он сонаправлен с a. Длина вектора равна корню из суммы квадратов координат: p p

jaj = 32 + 12 = 10, поэтому искомый вектор

pp

3 10

i +

10

j:

10

10

 

 

(b)

a=2 b = (3i + j)=2 (2i + 3j) = 3i=2 2i + j=2 3j = 12i 52j:

Задача 2. Даны вектора

233

; b =

2t 103

; c =

2 13

:

a =

 

t

 

4

8

 

4

8

 

 

425

 

85

 

15

 

Найто все значения параметра t, при которых

(a)Вектора a è b коллинеарны.

(b)Вектора a è c перпендикулярны.

(c)Вектора a, b è c компланарны.

(d)Вектора a, b è c образуют правый базис.

Решение:

(a) Вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Поскольку отношение последних координат -4, то таким же должно быть и отношение первых и вторых координат:

8=t = 4 () t = 2; ( 2 10)=3 = 4:

(b) Вектора a и c перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное

прозведение равно 0. Скалярное произведение (равно сумме попарных произведений одноим¼нных координат):

(a; b) = 8t 3 + 2 = 8t 1 = 0 () t = 1=8:

(c) Вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координат векторов, равен 0:

t

3

2

8 t 10 8 =

8 1 1

= t (t 10) 1 + 3 ( 8) ( 8) + 8 ( 1) 2 ( 8) (t 10) 2 ( 1) ( 8) t 8 3 1 = = t2 10t + 192 16 + 16t 160 8t 24 = t2 2t 8 = (t 4)(t + 2):

Равенство нулю выполнено при t = 4 или t = 2.

(d)Вектора a, b и c образуют правый базис тогда и только тогда, когда определитель

матрицы, составленной из координат векторов в порядке их следования положителен. Этот определитель подсчитан в предыдущем пункте и равен (t 4)(t + 2). Это выражение положительно при t < 2 или t > 4.

Задача 3. Длина вектора a, jaj = 2. Длина вектора b, jbj = 3. Угол между векторами a и b, ' = 60 . Найти

(a)Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a è b.

(b)Площадь параллелограмма, построенного на векторах 2a b è a + 3b.

2

Решение:

(a)Диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b, в векторном виде можно записать как a b и a + b. Длину вектора можно посчитать

как квадратный корень из его скалярного произведения на себя. Скалярное произведение двух векторов можно посчитать как произведение их длин на косинус угла между ними, поэтому скалярное произведение диагоналей параллелограмма на себя можно посчитать таким образом:

(a b; a b) = (a; a) 2(a; b) + (b; b) = jaj2 + jbj2 2jajjbj cos ' = 4 + 9 1212 = 7;

(a + b; a + b) = (a; a) + 2(a; b) + (b; b) = jaj2 + jbj2 + 2jajjbj cos ' = 4 + 9 + 12

1

= 19;

 

2

p

 

 

è

p

 

.

 

 

 

 

 

 

поэтому длины диагоналей равны 7

 

19

 

 

(b)Площадь параллелограмма, натянутого на 2 вектора, равна длине векторного произведения этих двух векторов. Векторное произведение двух векторов по модулю равно произведению их длин на синус угла между ними, а по направлению перпендикулярно им обоим и образует с ними правую тройку векторов, поэтому:

(2a b) (a + 3b) = 2a a + 6a b b a 3b b = 0 + 6a b + a b 0 = 7a b;

длина последнего вектора равна

 

 

 

 

p

 

.

 

7

 

2

 

3 sin 60 = 21

3

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Даны точки A(3; 5; 4), B( 1; 3; 5), C( 5; 3; 0) è O(0; 0; 0).

(a)Найти косинус угол между отрезками AB è AC.

(b)Найти площадь 4ABC.

(c)Найти объ¼м треугольной пирамиды OABC.

(d)Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины O.

Решение:

(a)

AC~ = C~

 

A~ =

2 33 253

=

2 83

 

 

 

5

3

 

8

AB~ = B~

 

A~ =

4

05 445

 

4 45

 

2 33 253 =

2 83

 

 

 

4

1

3

 

 

4

 

 

 

55 445 4

15

С геометрической точки зрения скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между векторами.

Длинa вектора

q

~ 2 2 2

AC = ( 8) + ( 8) + ( 4) = 12:

Длинa вектора

AB~

= q

( 4)2 + ( 8)2 + 12

= 9:

 

 

 

 

 

Скалярным произведением

двух векторов является число, равное сумме попарных

 

 

 

 

 

произведений одноим¼нных координат. Скалярное произведение векторов

~ ~

AB; AC = ( 4) ( 8) + ( 8) ( 8) + 1 ( 4) = 92

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

 

cos \ AB;~ AC~ =

AB; AC

 

 

92

 

 

 

 

 

 

=

= 23=27:

AB~

 

 

AC~

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(b)Векторнoe произведение двух векторов является векторoм, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на первые два.

Так как на те же 2 вектора вместо параллелограмма можно натянуть треугольник, и его площадь будет в 2 раза меньше, то в качестве ответа можно взять половину длины векторного произведения сторон треугольника.

Подсчитаем векторное произведение сторон:

AC~ = C~

 

A~ =

2 33 253

=

2 83

 

 

 

5

3

 

8

 

 

 

4

05 445

 

4 45

AB~ = B~

 

A~ =

2 33 253 =

2 83

 

 

 

4

1

3

 

 

4

 

 

 

55 445 4

15

Вычислить векторное произведение в тр¼хмерном пространстве можно, подсчитав псевдоопределитель матрицы, в которой в первой строчке стоят координатные орты, а во второй и третьей - координаты первого и второго векторов соответственно.

AB~ AC~ =

 

4 8 1

= ~i 8 4

 

 

~j 8 4 + ~k 8

8 =

 

 

~

~

~

 

8 1

 

 

4 1

 

4

 

8

 

 

 

i

j

k

 

 

 

8

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ~i (( 8) ( 4) ( 8)

1) ~j (( 4)

( 4) ( 8) 1) + ~k (( 4) ( 8) ( 8) ( 8)) =

 

 

 

 

~

~

~

 

 

 

Длинa вектора

 

= 40i

24j

32k:

 

= q

 

 

 

 

 

 

 

AB~ AC~

 

 

= 40p2:

402

+ ( 24)2 + ( 32)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

Отсюда площадь треугольника равна 20 2.

(c)Смешанным произведением тр¼х векторов является число, по модулю равное объ¼му параллелепипеда, натянутого на эти три вектора. Знак числа "+", если эти три вектора образуют правую тройку векторов, и " ", если левую.

Объ¼м параллелепипеда иначе можно посчитать как площадь основания, умноженную на длину высоты. На те же три вектора вместо параллелепипеда можно натянуть треугольную пирамиду. У пирамиды объ¼м составляет 1/3 площади основания пирамиды, умноженной на высоту пирамиды. В этой ситуации длины высот пирамиды и параллелепипеда равны, а основание пирамиды по площади в 2 раза меньше (треугольник половина параллелограмма). Поэтому объ¼м пирамиды будет в 6 раз меньше объ¼ма соответствующего параллелепипеда. Поэтому для нахождения объ¼ма пирамиды достаточно разделить на 6 модуль смешанного произведения тр¼х векторов из одной е¼ вершины в остальные.

OC~ = C~

 

 

O~ =

2 33 203

= 2 33

 

 

 

 

5

0

 

5

 

 

 

4

05 405

4

05

OB~ = B~

 

 

O~ =

2 33 203

= 2 33

 

 

 

 

4

1

0

 

4

1

 

 

 

55 405

55

OA~ = A~

 

O~ =

253 203

=

253

 

 

 

 

 

3

0

 

3

 

 

 

 

445 405

445

4

Вычислить смешанное произведение тр¼х векторов можно, подсчитав определитель матрицы, в которой в первой строчке стоят координаты первого вектора, во второй второго, а в третьей - координаты третьего вектора.

Подсчитаем определитель соответствующей матрицы:

3

5 4

1 3 5 =

5 3 0

=3 ( 3) 0 + 5 5 ( 5) + ( 1) ( 3) 4 ( 5) ( 3) 4 ( 1) 5 0 ( 3) 5 3 =

=0 125 + 12 60 + 45 = 128:

~ ~ ~

Поэтому смешанное произведение (OA; OB; OC) = 128. Отсюда объ¼м пирамиды равен 64=3.

(d) Чтобы найти длину высоты в пирамиде, опущенной из вершины O достаточно спроектировать вектор

OA~ = A~

O~ =

253 203

=

253

 

 

3

0

 

3

 

 

445 405

 

445

на вектор, перпендикулярный основанию, на которое опускается высота, или на вектор нормали к плоскости, проходящей через основание. А он считается так. Рассмотрим вектора

 

AB~ = B~

 

A~ =

2 33 253 =

2 83

 

 

 

 

 

1

3

 

 

4

è

AC~ = C~

 

A~ =

4

55 445 4

15

 

 

2 33 253

=

2 83

 

 

 

 

5

3

 

8

 

 

 

 

4

05 445

 

4 45

Чтобы получить вектор нормали (перпендикулярный) к плоскости, проходящей через три точки, можно взять два вектора, лежащие в этой плоскости и их векторное произведение.

Векторным произведением двух векторов является третий вектор, направленный перпендикулярно обоим векторам и образующий с ними правую тройку векторов.

Вычислить векторное произведение в тр¼хмерном пространстве можно, подсчитав псевдоопределитель матрицы, в которой в первой строчке стоят координатные орты, а во второй и третьей - координаты первого и второго векторов соответственно.

 

 

AB~

 

AC~ =

 

4 8 1 = ~i 8 4

 

 

 

~j 8

14 + ~k 8

 

8 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

~

 

 

8

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ((

 

8)

 

(

 

 

4)

(

8)

 

1)

 

 

((

4)

(

 

4)

 

 

(

 

8)

 

1) +

 

((

4)

 

(

 

8)

 

(

 

8)

 

(

 

8)) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 40i

24j

32k:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одна из геометрических интерпретаций скалярного произведения двух векторов заключается в том, что его модуль равен длине одного вектора, умноженной на длину проекции на него второго вектора. Отсюда получаем, что чтобы узнать длину проекции, надо модуль скалярного произведения разделить на длину вектора, на который происходит проекция.

Скалярным произведением двух векторов является число, равное сумме попарных произведений одноим¼нных координат.

Скалярное произведение векторов

 

 

~ ~ ~

= 3 40 + 5 ( 24) + 4 ( 32) = 128

OA; AB AC

5

Длинa вектора

 

AB~

AC~

 

= q

 

 

= 40p2:

402

+ ( 24)2 + ( 32)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина проекции вектора ~ ~ ~ OA на вектор AB AC:

OA~

 

 

 

 

~

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OA; AB

AC

 

128

 

 

 

 

AB~ AC~

=

=

 

= 8p2=5:

 

AB~

 

AC~

 

40p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Даны вектора

a =

223

; b =

2 33

; c =

2 33

; d =

2103

:

 

1

 

4

1

 

4

7

 

6

 

 

435

 

25

 

55

 

4175

 

(a)Даказать, что векторы a, b è c образуют базис.

(b)Найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение:

(a)Тройка векторов в пространстве IR3 образует базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координат этих векторов, не равен

íóëþ.

 

1

2

3

 

1

3

2

=

 

 

 

 

 

7 3 5

=1 3 5 + 2 2 7 + ( 1) ( 3) 3 7 3 3 ( 1) 2 5 ( 3) 2 1 =

=15 + 28 + 9 63 + 10 + 6 = 5:

(b)Чтобы найти координаты вектора d в этом базисе, необходимо найти такие

вещественные числа x1, x2 è x3, ÷òî ax1 + bx2 + cx3 = d, иначе говоря, надо решить систему уравнений

82x1 + 3x2

 

3x3 = 10 :

>

x1

x2 + 7x3

= 6

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

>

:3x1 2x2 + 5x3 = 17

Расширенной матрицей этой системы уравнений является

01

1

1

7

j

6

2

3

3

jj

10

@3

2

5

17A:

Напоминание: для нахождения решения системы линейных уравнений с данной расширенной матрицей последнюю следует подвергать элементарным преобразованиям над строками. При этом множества решений систем уравнений, соответствующих матрице до применения элементарного преобразования и после - совпадают.

Элементарные преобразования над строчками матрицы бывают тр¼х типов:

(a)Обмен местами рядов с номерами i и j (сокращ¼нно Ri $ Rj),

(b)Умножение ряда с номером i на ненулевое число r (сокращ¼нно Ri ! rRi),

(c)Замена ряда с номером i на него минус кратное ряда j (сокращ¼нно Ri !

Ri rRj),

Цель заключается в приведении расширенной матрицы системы к трапециевидной форме, прич¼м так, чтобы в каждой строчке первым ненулевым элементом была единица, и все элементы матрицы над этой единицей были нулями. Из такой привед¼нной трапециевидной формы расширенной матрицы системы легко получается е¼ решение.

6

02

3 3 jj

101 R2!R2 2R1

00

 

5 17 jj

 

21

 

R3!R3 3R1

1

 

1

 

 

7

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

7

 

 

6

 

 

 

 

@3

2

 

 

5

j

17A ! @3

 

2

 

5

j

 

17A !

00

 

5 17 jj

21 R2

$R3

00

1 16 jj

11 R3!R3 5R2

1

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

7

 

 

6

 

 

 

 

 

@0

1

1

 

16

j

1A ! @0

 

5

 

 

17

j

2A !

00

16

jj

 

11

R3!R3=63

00

 

1

 

16

jj

111

R2!R2+16R3

1

 

1

 

 

7

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

7

 

 

6

 

 

 

 

@0

 

0

 

 

63

j

 

3A ! @0

 

0

 

 

1

j

17

 

A !

 

 

 

 

 

 

 

21

0

 

 

1

7

j

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

1

0

j

1 1

 

 

 

 

 

1

 

j

 

6

 

R1

!

R1

 

7R3

 

 

 

j

3

 

 

R1

!

R1+R2

 

0

1 0

 

 

5

 

 

0

 

1 0

 

5

 

 

@0

 

 

0

1

j

 

21 A

! @0

38

 

 

0

1

j

21 A

!

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

j

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

j

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0

0

1 j

 

 

21 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Систему уравнений с последней матрицей в качестве расширенной можно записать

êàê

8

 

 

 

>x1

= 38=7

 

 

<

= 5=21

:

 

x2

 

 

>x3

= 1=21

 

 

:

 

 

Это и будут координаты вектора d.