Содержание

1. Общие вопросы моделирования 3

1.1. Предмет теории моделирования 3

1.2. Классификация моделей 5

1.3. Классификация объектов моделирования 8

1.4. Основные этапы моделирования 9

2. Технология моделирования 11

2.1. Создание концептуальной модели 11

2.2. Подготовка исходных данных 16

2.3. Разработка математической модели 19

3. Математические схемы моделирования систем. 19

3.1. Основные подходы к построению математических моделей систем 19

3.2. Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы) 22

3.3. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) 23

4. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы) 28

4.1. Понятие случайного процесса 28

4.1.1. Марковский случайный процесс 28

4.1.2. Потоки событий 29

4.1.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний 31

4.2. Задачи теории массового обслуживания 33

4.3. Классификация систем массового обслуживания 33

4.4. Математические модели простейших систем массового обслуживания 34

4.4.1. Одноканальная СМО с отказами 34

4.4.2. Одноканальная СМО с ожиданием 36

4.4.3. Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди 38

4.4.4. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга) 39

4.4.5. Многоканальная СМО с ожиданием 42

4.4.6. Модель обслуживания машинного парка 43

5. Сетевые модели (N-схемы). Сети Петри 45

5.1. Теоретические основы сетей Петри: принципы построения, алгоритмы поведения 45

5.1.1. Введение в теорию комплектов 45

5.1.2. Структура сети Петри 46

5.1.3. Графы сетей Петри 47

5.1.4. Маркировка сетей Петри 48

5.1.5. Правила выполнения сетей Петри 49

5.2. Сети Петри для моделирования систем: способы реализации 50

5.2.1. События и условия 50

5.2.2. Одновременность и конфликт 51

6. Обощенные модели (A-схемы) 54

6.1. Структура агрегативной системы 55

6.2. Кусочно-линейные агрегаты 58

7. Имитационное моделирование систем 59

7.1. Процедура имитационного моделирования 59

7.2. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования 60

7.2.1. Алгоритм моделирования по принципу особых состояний 60

7.2.2. Алгоритм моделирования по принципу t 61

7.3. Этапы имитационного моделирования 63

8. Статистическое моделирование приборных систем 64

8.1. Теоретические основы метода статистического моделирования 64

8.2. Моделирование случайных величин 66

8.2.1. Табличный способ 67

8.2.2. Аппаратный способ 67

8.2.3. Алгоритмический способ 68

8.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения 70

8.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины 70

8.3.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины 71

8.2.3. Разыгрывание случайной величины, распределенной нормально 72

8.4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло 74

1. Общие вопросы моделирования

1.1. Предмет теории моделирования

Моделирование– это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала.

В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров S_oи характеризуется определёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристикY_o, система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействийX.

Модель– это тоже система со своими множествами параметровS_mи характеристикY_m. Оригинал и модель сходны по одним параметрам и различны по другим. Замещение одного объекта другим правомерно, если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами:

, (1.1)

(1.2)

где y_mk–k-ая характеристика модели,y_mk  Y_m;x_mn– внешнее воздействие на модель,x_mnX;T_m– модельное время.

При этом S_oi = (S_mi),x_on = (x_mn),T = mT_m(гдеm– масштабный коэффициент) на всём интервале [0;T_m] или в отдельные периоды времени. Тогда с некоторым приближением можно сделать вывод о том, что характеристики оригинала связаны с характеристиками модели зависимостямиy_ok = (y_mk). Множество характеристик моделиY_mk = {y_mk} является отображением множества интересующих характеристик оригиналаY_ok = {y_ok}, т.е.: y_ok  y_mkили: Y_okY_mk.

При исследовании сложных естественных S, у которых известныY_ok, но мало изучен состав элементов и принципы их взаимодействия, с помощью моделирования может решаться обратная задача. Строят предположительную модель, определяющая её характеристикиY_mkпри эквивалентных внешних воздействиях {x_mn} (: {x_on}  {x_mn}) и, если оказывается, что имеет место отображение: Y_ok  Y_mkс некоторой известной функцией, то считается, что система-оригинал имеет такие же параметры.

Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.

Теория моделирования– взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.

Классификация видов моделирования систем приведена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Классификация видов моделирования систем

Математическое моделирование– это построение и использование математических моделей для исследования поведения систем (объектов) в различных условиях, для получения (расчета) тех или иных характеристик оригинала без проведения измерений или с небольшим их количеством. В рамках математического моделирования сложились два подхода:

• аналитический;

• имитационный.

Аналитический подходосновывается на построении формульных зависимостей, связывающих параметры и элементы системы. Однако при рассмотрении сложных систем строгие математические зависимости весьма сложны, требуется большое количество измерений для получения требуемых значений параметров.

Имитационный(статистический)подходв моделировании базируется на использовании предельной теоремы Чебышева при вероятностном представлении параметров системы. На основе предварительного изучения моделируемой системы определяются виды и значения законов распределения случайных величин параметров. В рамках имитационного подхода используются аналитические зависимости между параметрами элементов системы, однако эти зависимости имеют более обобщенный, упрощенный характер. Они значительно проще, нежели зависимости в рамках аналитического подхода.

Математическое моделирование систем, в том числе и приборных, имеет целью:

• оптимизацию структуры систем;

• выбор наиболее оптимальных режимов функционирования систем;

• определение требуемых характеристик аппаратурного оборудования и программного обеспечения.

Математическое моделирование технологических процессов, в том числе и информационных, имеет основными целями нахождение оптимальных или приемлемых характеристик самого объекта, нахождение оптимальных режимов обработки, обучение персонала, обеспечение определенных функций управления.

В любом случае моделирование должно отвечать следующим требованиям:

• модели должны быть адекватны соответствующим системам или технологическим задачам;

• должна обеспечиваться необходимая точность;

• должно обеспечиваться удобство работы пользователя – специалиста по технологии или по обработке информации (управлению);

• понятный интерфейс управления моделированием;

• достаточная скорость работы;

• наглядность результатов;

• приемлемая стоимость разработки и использования средств моделирования.