engineering of curves and surfaces

| vxu O | | w y | | w uw ~!vx ¥ry 4

y | e wy< uwy | û|{ uw zN| uuw w |{ 4 pD| y< z |

2ü

ª u ¥ u w I

£ u p<ÿ

{ Ò

4 I IpD u y |

sD z < z r Q ¥ pD |¬ w Np uwy ~BpDy 8zQ | y4pDuIu 4I¥ u

wv z | Q _§ Q #|% ts { u) |Q {vxuwO©¬zy ~

8ý

Ì o uw z | uwv Ø uw {y

w£ | ýþ

&

y< ê

Nì ê¨Ì

Ð Ò Ò Ò Ð Ð Ò ÒwÒwÐ

Nì £ sO~|

þ

þ

þ

þ

Ð

Ï Ð

Ï Ð

Ï

Ï

| y< Np<s<uì° ¥ zÜê£ | |

,

,

Ð

=º¨¹<ºH<; P=Æ 7I92.0JKAÖ@2È0Ê0@2CO.01.7I90É2C.-2JKA%?A0.ÖR27I1É HO7I901 CO> C)É0CO

M

M

?8.07IÉ2907I92JKHO.0J}Æ @BÆ - 1 92@0Ê2- Æ @"!8/ CO:

~ < w wvx z | vlz sO I Ü wpD| yk w w ¦pD Q {vxu

| w u pOuwy | wpDy o vxu£ |{y ~8z wI4sDw } yw 4sD y< K| vxu u zr

'&)(%(

*%(

*%(

(

(

,+ñ

è

$ %

%.-,+/0&1( (

êì

êì

Nêì

ê Nì

ê ìxý

ê

ìê

ì ê

ìê

ì

!

êì

Ð

Ï Ð Ñ Ð

Ð

!

Ï Ð Ñ Ð

Ð

Ò

4Ò

ËpDuw

þ þ

2

2

Ð

rý

,

þ

Ï

Ï

þ

32

2

(

(

(

-

Ï

Ï Ï

Ï

Ï Ï

4

4

5

5

Ñ(

Ñ

7

Ï

Ñ(

Ï

Ñ(

4

,

5

,

4

5

Ï

è *

Ñ

Ï

Ï Ï

Ï

è

Ï Ï

è

Ò

è

,

,

(

ê Ù®ìxý]Ù

(

Ù Ù

(

ê Ù®ì ýBÙ+Ù

(

ê Ù®ì ý¢Ù¯Ù

Ù ê Ù®ì ý

76

ý

76

Nì

86

ì

ý

76

Nì

2

ý ê Qì

2

ê

2

ý ê

2

ê

è

*

è

è

(

è

%

%

Ð Ð

6

Ð

Ï

6

Ð

Ï

6

Ð

Ï Ï

6

4

86

Qì

4

ý

76

Nì

4

ý

76

4

ý

86

ý ê

%

Ñè

ê

ê# Qì

ê ì

Ñè

*

Ð

Ñè

Ð

,

%

Ñè

%

Ï

%

Ð

Ï

%

Ï Ï

Ð Ð

5

6

5

6

5

6

5

6

6

ê

Qì

6

ê

Nì

6

ê# Qì

ý

6

ê ì

ý

Ð

ý

6%6

Ï

ý

6%6

6%6

Ï

Ð

6%6

Ð

Ï Ï

Ð Ò

%

,

(

(

4Ò

( ( 9(

ê ì

u8vxu z pO

o s<| y vx~

¦ s< 4 u y ~«§ { k ©KytsO k | y v

5

Ï ÐÑ ÐÐ

$:

õ<ô

uw u pO z uwy y ~z vny ~ sO|| tsOuwyuz| uwv y u ßDóuw õ~

/

[ < y | ££§¨< | ßDÞ ô

ø[Þ y Qõ<ùNyuwyu«| 4

u6pDu s<uwyQ< y< ~vxu z

<

*

%-)

4 5

ý

Ì

¤

;2

ý

Ð

Ð Ð

Ð Ò Ò Ò Ð

Ð ÒwÒ Ò Ð

$

>=

$ %

>=

$*%

è

<ê ì

$

è

Ï

è ê ì

ê

Nì

è<ê Qì

%

#

%

#

Ô ¬¥ uÕvx ¥­y 4 u6pD|ßDó zõ<õ<ô K Ow <z yry<| £¦ø< õ¦ Q÷ £ | y

è

è

Ñè

y ~ u

6

6

6 6

| vxu y y< 8 z <

| wpDy ~ u

6

@?/

6

6

Ð

è

$

è

$

è

$

è

$

Ï

*

Ï

*%

6

ê#ì

>=A6

ê

ì

6

ê

>=A6 %

Qì

$

Nì

ê

Ð

$

$

Ð

$

6%

6%

6%

6%

6

6

6

6

è

Ï

è

*

è

Ï

*%

è

6

#

ê#ì

>=A6

ê

ì

6

#

ê

>=A6 %

Qì

Ð

Nì

ê

Ð

Ð

Ð Ð

#

#

Ñ

$

Ñ

$

Ñ

$

Ñ

$

è

Ï

è

*

è

Ï

è

6

6%6

=

6%6

6

6%6

*%

6%6

%

6

ê

ì

ê

>=6

ê

Qì

Ñè

ê ì

Nì

Ñè

Ð

Ð

Ð

Ð Ò

£ | ~

o z u u v×z uw ußDó õ<õ<ôQz w ~¡< y< | £ø<õ Q÷

6%

6

/

y ~ u­ | #w wpDy² Q~ 8u tsO | #µ ~ sOy ~z µ ¢z< <¥KpDvx

6

Ð

6

Ò

Ñ

Ñ

{sD y ¤

6%

6

6

6%

Ñ

$

Ñ

$

Ñ

$

Ñ

$

6

è

Ï

è

6

è

Ï

è

*

ê

% =A6

ê

%

Qì

ê#ì

>=A6

ê ì

ì

Ñ

Ð

Ñ

Ð

Ñ

Ð

Ñ

Ð Ò

#

#

Õ z | u p pD Ûz¢Qk w|tsO4 <z u |{vx~yuwy | ¸| Ø I z ~ Ö

< < vxu z r w {sD y< ¤

6%

Ñ

$

6

è

Ï

ê#ìxý

Nì

Ñ

Ð

( 4(

( 4

(

ý êþ

Ï

þ

Ï

ìêì

Ï

#

4

4

(

}êþ

þ

ì êì

(

,

(

Ï Ï

Ï

Ï Ï

5(

Ï Ñ

Kê

R

5

(

2

Ï

2

(

Ï

(

(

5(

Kê

5

êìxý

2

#

ì

2

,

,

,

(

#

(

(

Ï

#Ï Ï

Ï

#Ï Ï

#

#

4

(

(

(

4

ý ê þ

þ

#

(

ìêì

(

#

(

(

(

(

Ï

4

Ï

Ï

(

(

4

(

(

}ê#þ

,(

þ

ì êì

(

,

,

Ï

Ï Ï

Ï

Ï Ï Ñ

Kê

R

5

5 (

2

ìNêì

2

(

(Ñ $

Ï

Ï

(

Kê

5

5

êìxý

2

ì

2

(

6 è

,

(

Ï

Ï Ï

Ï

Ï Ï

ý

Ñ

êÐ ì

( ( ( (

6%

w|{s sO| y uw y }y u | w| vx z§¨|rvxy uw¥©¶pOu Nzzsu¥Qq}

Ï ÐÑ ÐÐ

y ~i ~¸z ØI <q | y£ ~| uwyû z ~uw|{ ) < z { ¢z N¥ pDuo z| < ´ y|¢

s< 4 < uwvÖ u z ~ u < y r y |{sO y ~ Ü |

s< 4 < uwv¡pD| z uwvx~lu 4 < y uwy |

4

( 4(

4

ý

<êëþ

ê

Qì

Ï

Ï

µþ

Qì

Ï

Ï Ð

4Ò

5

5 5

ý

ì

ê

ì

<ê

R

#

Ï

2

#

2

Ï Ò

4Ò

Ï

Ï

(

Ñ $

(

Ñ

$

(

(

o wpDu sD r y< usO |< y ~ uQ y | 8 tsO | uwv

#

è

Ï

è

#

6

6 Ñ

%

6

ê

ê

*%

Qì

ì

NìFý

s< 4 | v

Ð

6 Ñ

Ð Ð

#2

ý <ê þ

ê

ì

2

Ï( 2

)þ

ì

(

Ï

Ï

ÏÐ

4Ò5

(

(

,

0

5

5 5

4

4

ì

ê ì

#

ý <ê

#

Ï

,

4Ò

Ï

Ï

ÏÒ

o s { uwy y ~ 8 4 < y uwy | Üy u6pD z z y }p<s

vxu z kow {sO| y< sO y ´vx Izk ~¸z ×qtsOuwvxu~< y z~ õ<ãk

4

¸ uv z | £r|8# ts<u pDy ou sOwr ¥r|z vsO £

tsOu pDy uw û |z#

4

6

2

4

ý

ý

ý

7

ý

Ì

Ï

ý

Ð Ï

2

ý

2

ý

ý

ý

Ð Ò Ò Ò Ð

;

ý

5

5

Ï

Ó

Ï

Ó

7

ÐwÒ Ò ÒwÐ Ò

Ð

Ô ®pD K | z uwv{ K©{ |{y u yz | û¢§K |4pOu

!4

ý

7 !

þ

ê

ì

Ò

4Ò

ËpDuw

Ò Ò Ò

Ò Ò Ò

ê

ì

ê

ì±°v z |£<

Õý

&

Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒÐ

Ò Ò Ò

Ò Ò Ò

Ò Ò Ò

Ò Ò Ò

ê

ì

°±v z |£<

ý

&

Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒwÒ Ò ÒÐ

Ò Ò Ò

Ò Ò Ò

þÍ ­ Np y y< 8v z |£Ìk< } w£| w < wvxuw <

&

4

ì

̦°v z |£< {

4| w I v )ê&

Øo |{sO¥u y | |ÕpD Q y< ¸ sOv z |¥r| z u sO y<Q£sOu pO Q z u sO~

| y u 4 < y{©| vxuu zy | u­­ pD| y z uwy y u§ u uwy | u

!

!

#

4

ý

Ï

þ

ê

Qì

Ò

4

4Ò

²

4

sOy |uw |8 tsOu6pDy u Üy sOuw ~ vx|Ü zÌ °±v z |£ Q

#

&

y< NsO w| y ~ uuw < w Q{© p NpO Izû y |{ k§¨ uwy } w u z uwv'|4©

!

!

!

-

ý

7

þ

ý

Ï! !

þ

|4sO|ý

!

Ï

ê

Qì

2ñ

2ñ

þ

ñ

ñ

ñ

2

Ò

²

4Ò

sOy |u ~ v| tsOu pDy | v'y sOuw ~ vx|Ü z sO̦°v z |£< vx|

2

#

&

#

2

²s< ¬ u pDu sOuwy | )êì& ê¨Ì ì±°v z |+| vxuw z ¬pD uÕ | z uwvx~£~ 4I© |

§ {© Ë |{ uwvl§{I© |)§{© Kv z | y vxu

ê

Qì

!

!

)ý

2}Ò

{Ò

!

!

7

ñý

4

ê

VNì

ñ

u u ve§{ ©

Ò

{Ò

7

!

!

)ý

Ï

2

|8 wpD z s< uwv' K u w sO z z|­{§©

2

- ! #! !

!

Ï

ê

ì

ñ

µý

Ï

þ

u u ve§{ ©

#

Ò

{Ò

#ý Ï!

!4

ñ

ñ

4

|8 wpD z s< uwv' K u w sO z z|­{§©

- ! #! !

ñ

!

Ï

ê

Qì

µý

Ï

þ

Ò

{Ò

< y | Q û§{ © |´§{ Q© 4 |4pD| v 4 z | z uwvx~§ {I©|ا{© y |{sO y ~

u ~ ¦|¬ tsOu pOy | z s<# #

£¢y{ s< vx| s< 4 | v~ u 4 l|¬ tsOu ! z | & ̦°v z |£

¸

4

z vxu z | viu ª uÜ < z ¢ uw Q Ö|' ts<u pDy { B z Q µv¸ u ~ Ö|'

4

z sO£~«v z |Uvx 4zk NpD Q z | w sO y z zµ | se§¨ Q | +pD£

2

| sD©=¥u zÛ| w sO Q z x ~ w wpD p<s< wu ~k ¯uw u zÛ 4¥

z vxu z | vØz {¥u z wu uw < u ~ s<y uwy Q y |

u I vxuwy4p< uwvB |{z z u sO ] wpDu sD z r|{ |8| v

z y{° w vxvx~+p<s z u y | r tsD NpD |{ K

s<£| y y ~ ´|Ø w tsO¥­| Q ª |{ ´ {sD vx¥­y ¦y z | ק¨y u z

} y | t

! "

#$%

-'! .

& ' ! (# *) ! +,

]

°

/ 102 + 3 4* 652 ! * '3 !

78 !

°

:9

<;= > <;@?BAC> <;D E 2F

{ 4²

u

o 8· < z | uw I u

{ { I pO z¤ pD| }| w­} w {sO

.

· vxuz w {sD y4°±z u {y | Q c u6pD z sOu y<

G;AC <H

5 »

À

I

×¼½ÕÃÜÀ ½

ñ

"

KJ

(

Ï

² Q¥u v+ sO¥­| z u sO y 4 U u pDu sOuwy y z ¬ê# 6Dì D

u z Üv z |y< N Q wpD| z û| 4 < y uwy |£~

O

RQ

Ò Ò Ò

T!U

N

Ò Ò Ò

7

SQ

#

Ò Ò Ò

ML

wÙ

Ò Ò Ò

RQ

ý

Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò ÒwÒ Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò Ò

RQ

XW Y

3Z

ý

osO¦ý

P

Iê Ù®ì s< 4 | v { y u y | uRQV

Y\[

xêëÙ®ì

Ð

(

}êtê NìðÙ®ì

ÿY][

I y |Ü I z w }Iz

^

ÿ

Ð ÒwÒ ÒwÐ

Ô | v < w v

ЩрьЫэ(

ý

^

ÏÑ

ÿ

`

<ü ý

(

{Ð

zN u Ov z sO|£< ¥­|{z u s< y } u6pDu sOu y<Q XW YK

tsOu6pD z | u

s< N¥r| z u sO y u pOu sOu y y 4ªuw z u z¦z Q v z {z

ÏÑ!

ÏÑý

ÏÒ

#

#

!

#

#

!

sOu pO Q z u sO y

ÏÑ

ý ÏÑ

ñ

ÏÑ Ð

ý

ñ

Ï

ý

ñ

ÏÑ

(

zN u­v z |£< = < v |8uwu w z uwy y ~ u

| tsD Ky

x tsO|

ba

dc

Ü ¬ w z u y y u | ts<­v z |O ­ ¬ z u y y u | tsO rv z |£~ ê Dì£~O

ec

Ba

'

fa

ec

@

(

(

z

×ýê

Dì

= o w I sO {¶

¶z =zNu ¶v z |ê Oì£<

Øý

(

"

ê# 6

Ï

¬ sO¥­|{z u s< y } u6pDu sOu y<

ñ

Dì

"

#

g h

2i

kj

ml

n o!prq

<4 ^12%4*;

d

4= 2,4%

#"% ,./R+4="%.)'d.d1[] Bd ) `