гидравлика для преподавателя

Рейнольдса:

uнlнρн

=

uмlмρм

= idem.

μн

μ м

u2

u2

Фруда:

н

=

м

= idem.

glн

glм

Архимеда:

glн

ρн − ρн0

=

glм

ρм − ρм0

= idem.

uн

2

ρн

uм

2

ρм

Необходимо выбрать для расчета критерий, который в большей мере отвечает исследуемому явлению. Например, для исследования напорных потоков используется критерии Эйлера и Рейнольдса, а для безнапорных – Фруда. Критерий Архимеда применяют при исследовании гравитационных систем вентиляции и отопления. Индекс М соответствует модели, Н – натурному явлению. Необходимо соблюдать масштабы на модели:

llн = kl ,

м

υн = kυ , υм

Fн = kF . Fм

Одни масштабы могут быть выражены через другие:

k

F

= k

k

m

=

kν

k k

=

kν

k

k3

= k2k2k

ρ

a

ρ

V

ρ

l

ν l

kt

kt

11

2. ЗАДАЧИ

2.1. Основные свойства жидкостей и газов

Задача 1-1

Давление в баллоне с кислородом для газовой сварки, расположенного на улице при температуре T1 = – 10 °С, равно pl = 107 Па. Каково будет давление при внесении его в помещение при температуре T2 = – 20 °С?

Решение:

Плотность газа при внесении его в помещение не изменится, так как не изменятся ни масса, ни объем:

P1

=

P2

или

P1

=

P2

,

R T

R T

T

T

(273 + 20)

1

1

2

2

1

2

откуда P

= P

T2

= 107

= 1,11 107

Па.

1

2 T1

(273 −10)

Ответ: Давление в баллоне будет равно 1,11 107 Па.

Задача 1-2

Насколько увеличится давление в системе водяного отопления, если температура теплоносителя увеличилась с 60 до 80 °С. Коэффициент температурного расширения, при давлении 5,9·105 Па и температуре 70 °С, можно принять равным 0,00056 (1/град).

Решение:

С увеличением температуры объем должен увеличиться на величину V. В то же время при увеличении давления объем воды в системе должен уменьшиться на величину – V. Значения объемов можно получить из соответствующих уравнений для коэффициентов объемного сжатия и температурного расширения. Окончательно получаем:

p =	βt	t =	0,00056 20			= 224 105 Па ≈ 225 атм.
	βw		1
				2 109

Ответ: Давление в системе водяного отопления увеличится на 225 атмосфер.

Примечание. В данной задаче не учтена способность труб расширяться при увеличении давления.

2.2. Гидростатика

Задача 2.1-1

К закрытому резервуару для определения давления на свободной поверхности р0 присоединена стеклянная трубка. Спрашивается, какое давление в резервуаре р0, если

вода в трубке поднялась на высоту Н = 3 м? Трубка присоединена на глубине h1 = 2 м.

Решение:

Из основного закона гидростатики следует, что во всех точках, лежащих в одной горизонтальной плоскости давление одинаково. Для горизонтальной плоскости A, проходящей по поверхности воды, можно записать:

p0 = pA .

Давление в стеклянной трубке в плоскости А-А будет:

pA = ратм + ρgh = ратм + ρg(H − h1 ) = ратм + ρgh2 = 98100 + 1000 9,81 (3 – 2) = 107910 Па.

12

		pатм
p0	A	h2 A
	H	h1

Рис. 1. К задаче 2.1-1

Ответ: Давление на поверхности воды в резервуаре p0 = 107910 Па.

Задача 2.1-2

Определить разность давления в резервуарах А и В, заполненных водой, если разность уровней ртути в U-образном манометре h = 15 см.

	h
h1	h2
A	B

Рис. 2. К задаче 2.1-2

Решение:

Из рисунка 5.25 следует, что давление на высоте h1 : p1 = pA − ρgh1,

и давление на высоте h2 : p2 = pB − ρgh2 .

Давление в ртути на высоте h1 :

pрт	= p2 − ρртgh или pрт = pB − ρgh2 − ρртgh .
С другой стороны pрт = p1	или pрт = pA − ρgh1 .
Откуда получаем
	pA − ρgh1 = pB − ρgh2 − ρртgh или

pA − pB = ρgh1 − ρgh2 − ρртgh = ρgh − ρртgh = gh(ρ − ρрт ) =

= 9,81 · 0,15 (1000 – 13500) = – 18394 Па

Ответ: Разность давлений в резервуарах – 18394 Па.

Задача 2.1-3

Определить суммарное усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка диаметром d = 0,5 м, расположенного на глубине h = 3 м от свободной поверхности, на которой давление p0 = 0,5 атм.

Решение:

13

Сила гидростатического давления определяется по формуле

P = pS = ( p0 + ρgh)S = (50000+1000·9,81·3) 3,14 0,52 = 15700 Н. 4

Ответ: Усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка Р = 15700 Н.

p0

h pатм

d P

Рис. 3. К задаче 2.1-3

Задача 2.1-4

При бурении скважины необходимо определить вес труб, опущенных в скважину, заполненную глинистым раствором плотностью ρр = 2800 кг/м3, длина труб l = 70 м. Один метр таких труб с муфтами в воздухе весит 300Н. Плотность стали ρст = 7500 кг/м3.

Решение:

Вес труб, погруженных в раствор, отнесенных на единицу длины будет:

P' = G' – A'.

Архимедова сила, направленная вверх равняется:

A′ = ρ рgV ′.

Объем стали, используемой для изготовления 1 м труб определяется по формуле:

	V ′ =	G	′	=	300 70	0, 28	м3.
		ρстg			7500 9,8

Полный вес труб, погруженных в раствор, имеющих длину l определяется из уравнения:

P = lV ′g (ρст − ρ р ) = 70 0, 28 9,81(7500 − 2800) = 902776 Н.

Ответ: Полный вес труб будет равен 902776 Н.

2.3. Основы кинематики и динамики жидкости

Применение уравнения Бернулли для расчета коротких трубопроводов

Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d1 = 100 мм и d2 = 60 мм и длиной l1 = 15 м и l2 = 10 м. Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300см. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший.

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Решение:

1.Проводим плоскость сравнения 0-0 и выбираем сечения для уравнения Бернулли: 1-

1и 2-2.

2.Записываем уравнение Бернулли в форме напоров:

	p		α υ2			p	2		α	υ2
z +	1	+	1 1 = z	2	+			+	2	2 .
1	ρg		2g			ρg			2g

14

1

2

1

H

A

d

2

h

d

B

0

h

0

A

B

1

2

Рис. 4. К расчету коротких трубопроводов

3. Определим значения слагаемых:

z1 = 0; p1 = pa тм + ρgh ;

α υ2

– скоростной напор в сечении 1-1;

1

1

A

2g

z2 = 0; p2

= paтм + ρgh ; α2υ22

– скоростной напор в сечении 2-2,

В

2g

принимаем, что режим течения турбулентный и α1 = 1, α2 = 1.

4. Переписываем уравнение Бернулли:

(υ22 − υ12 )

h

− h

=

.

A

B

2g

Принимая во внимание, что

h − h = H и υ =

Q =

4Q

, υ

=

Q

=

4Q

переписываем уравнение

πd 2

S

πd 2

A B

1

S

2

2

1

1

2

H =

16Q2

−

16Q2

,

π2d

2 2g

π2d

2 2g

2

1

H = Q

2

16

−

16

.

2

2

2g

2

2

π

d2

π

d1

2g

5. Подставляем в уравнение Бернулли значения известных величин:

3 = Q

2

16

−

16

;

2

0,06

2

2

9,8

3,14

2

2

3,14

0,1 2 9,8

3 = Q2 14,7 .

Q =

3

= 0, 45

м3

.

14,7

с

Ответ: Искомый расход в трубопроводе Q = 0,45 м3/с.

2.4. Гидравлические сопротивления

Расчет коротких трубопроводов с учетом потерь напора на сопротивления

Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d1 = 100 мм и d2 = 60 мм и длиной l1 = 15 м и l2 = 10 м (рис. 5). Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300 см, и построить линии полного,

15

пьезометрического и геометрического напоров. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший.

1	1
A	1	2	2	H
h	d	d		B
0				h
A				B

Рис. 5. К расчету короткого трубопровода

Решение:

1. Определяем расход и потери напора.

2

0

1.1.Проводим плоскость сравнения 0-0 и выбираем сечения для уравнения Бернулли: 1-1 и 2-2.

1.2.Записываем уравнение Бернулли в общем виде:

p

α υ2

p

2

α

υ2

z +

1

+

1 1 = z

2

+

+

2

2 + h .

1

ρg

2g

ρg

2g

w

1.3. Определим значения слагаемых:

z1 = hA,; p1 = p a тм, т.к. резервуар открыт,

где pa тм – атмосферное давление;

α υ2

1

1 = 0 – на свободной поверхности резервуара А;

2g

z2 = hB; p2 = p a тм;

α

υ2

2

2 = 0 – на свободной поверхности резервуара В;

2g

общие потери:

hw = hм + hдл = hмА

+ hмВ

+ hдлА

+ hдлВ

=

l

υ2

l

2

υ2

=

ξвх + λ1

1

A

+

ξвс

+ ξкр + ξвых

+ λ2

B

.

2g

d1

d2

2g

1.4. Переписываем уравнение Бернулли:

hA − hB

l

υ2

l

υ2

= ξвх

+ λ1

1

A

+

ξв.с + ξкр

+ ξвых + λ2

2

B

.

2g

d1

d2

2g

Принимая во внимание, что h − h = H и υ

=

Q

=

4Q

, υ

=

Q

=

4Q

переписываем

S

πd

A

B

A

πd 2

B

S

2

2

уравнение

1

1

2

H =

l

16Q2

l

2

16Q2

ξвх

+ λ1

1

+

ξв.с + ξкр + ξвых + λ2

,

2

4

2g

2

4

d1

π

d1

d2

π

d2 2g

H = Q2

l

16

l

2

16

ξвх + λ1

1

+

ξв.с + ξкр + ξвых + λ2

.

2

4

2

4

d1

π

d1 2g

d2 π

d2

2g

16

1.5. Коэффициенты местных сопротивлений находятся в справочниках (см. Лекция 4, Приложение):

на вход ξвх = 0,5; на внезапное сужение

ξв.с = 0.5		−	S		= 0,5		−	S		= 0,5		−	d 2		= 0,5		−	602				= 0,32 ;
	1		1			1		1			1		1			1
			S2					S2					2					100		2
													d2

для крана можно принять ξκρ = 5, если неизвестна его конструкция; на выходе ξвых = 1.

1.6. Для определения расхода в первом приближении гидравлический коэффициент сопротивления λ можно подсчитать по формуле:

kэ 0.25
λ = 0.11		.
	d

Коэффициент эквивалентной шероховатости находится в справочнике (см. Приложение): для стальных сварных умеренно заржавевших труб kэ = 0,5 мм.

λ = 0,11			0,5			0,025	= 0,029 .
1			100
			0,5			0,025
λ2	= 0,11						= 0,033 .
			60

λ

l1

= 0,029

15

= 4,35 .

0,1

1 d

1

λ

l2

= 0,033

10

= 5,5 .

2 d2

0,06

1.7. Переписываем уравнение Бернулли:

2

16

16

3 = Q

(0,5 + 4,35)

+

(0,32 + 5 + 1+ 5,5)

;

3,14

2

4

2 9,8

3,14

2

0,06

4

2 9,8

0,1

3 = Q2 49451 ; Q =

3

= 0,006

м3 .

79541

с

1.8. Уточняем расход.

1.8.1 Определяем число Рейнольдса:

Re

=

υA d1

= 4Q d1 =

4Q

=

4 0,006

= 7,6 104

;

πd v

3,14 0,1 0,01 10−4

1

v

πd 2v

1

1

Re

=

υA d2

=

4Q d2

=

4Q

=

4 0,006

= 1, 27 104 .

2

πd22v

πd2v

3,14 0,06 0,01 10−4

v

1.8.2. По графику Альтшуля определяем область сопротивления (см. Приложение):

d1	=	100	= 200 ;	d2 =	60	= 120 .
kэ		0,5		kэ	0,5

Вывод: а) для трубы диаметром d2 формула для λ выбрана правильно;

б) для трубы диаметром d1, необходимо подсчитывать λ по формуле Альтшуля:

68

kэ

0.25

68

0,5 0,25

1.8.3. λ1

= 0.11

R

+

= 0,11

+

100

= 0,03

;

d

7,6 104

е

1

17

λ1 l1 = 0,03 15 = 4,6 d1 0,1

Вывод: Необходимо выполнить перерасчет для уточнения величины расхода. Ответ: После уточнения расход в трубопроводе Q = 0,0056 м3/с.

2. Строим линии полного, пьезометрического и геометрического напоров. 2.1. Полный напор в сечении 1-1:

H1 = hA ;

2.2. Потери напора на вход в трубу:

hвх

= ξвх

16Q2

= 0,5

16× 0,00562

= 0,04

м.

π2d 4 2g

3,14× 0,14 × 2× 9,81

1

2.3. Полный напор в сечении 2-2:

H2

= H1 − hвх

= hA − 0,04 = hB + 2,96

м.

2.4. Пьезометрический напор во втором сечении

H

= h − h

− α

4Q2

= h

− 0,04 −1

0,762

= h − 0,07 = h

+ 2,93 м.

`1 πd

4 2g

2×

9,81

p2

A

вх

A

A

B

1

2.5. Потери напора по длине между сечениями 2-2 и 3-3:

hдл2−3 =

l

16Q2

16× 0, 00562

λ1

1

= 4,6

= 0,11

м.

π

2

4

2g

3,14

2

4

× 2× 9,81

d1

d1

× 0,1

2.6. Полный напор в третьем сечении:

H3 = H2 − hдл2−3 = hA − 0,04 − 0,11 = hA − 0,15 = hB + 2,85

м.

2.7. Потери напора на внезапное сужение трубы

h

= Q2

(ξ

)

16

=

0,00562 (0,32)

16

= 0,635 м.

в.с

2

2

2

4

в.с.

3,14

0,06

π

d2 2g

2 9,8

2.8. Полный напор в четвертом сечении:

H4

= H3 − hв.с. = hA − 0,15 − 0,635 = hA − 0,785 = hB + 2, 215

м.

2.9. Пьезометрический напор в четвертом сечении:

H p4

= H4 − α`2

16Q2

= hA − 0,918 −1

16× 0,00562

=

πd22 2g

3,142 × 0,064 × 2× 9,81

=hA −1,143 = hB + 1,857 м

2.10.Потери напора на вентиле:

h = Q2 (ξ				)			16				=		0,00562		(5)							16						= 0,963 м.
			в			2		4											2				4
в																	3,14			0,06				2	9,8
						π	d2		2g
2.11. Потери по длине на участке между сечениями 4-4 и 6-6:
							l	2		16Q2							16× 0,00562
hдл4−6 =					λ2									= 5,5												= 1,06 м.
										2		4			3,14	2		× 0,06			4	× 2× 9,81
							d2			π		d2 2g
2.12. Полный напор в сечении 5-5 до вентиля:
H /	= H	4	− h						/ 2 = h − 0,785 − 0,53 = h −1,315 = h + 1,685 м.
5						дл4−6						A								A						B

2.13. Пьезометрический напор в сечении 5-5 до вентиля:

18

H

/

= H

/

− α

16Q2

= h −1,315 − 0, 225 = h −1,54 = h + 1, 46 м.

`2 πd22 2g

р5

5

A

A

B

2.14. Полный напор в сечении 5-5 после вентиля:

H // = H

4

− h

/ 2 − h = h − 0,785 − 0,53 − 0,963 = h − 2,278 = h + 0,722 м.

5

дл4−6

в

A

A

B

2.15. Пьезометрический напор в сечении 5-5 после вентиля:

H

//

= H

//

− α

16Q2

= h − 2, 278 − 0, 225 = h − 2,503 = h + 0, 497 м.

πd22

2g

р5

5

`2

A

A

B

2.16. Полный напор в сечении 6-6:

H6 = H4 − hдл4−6 − hв. = hA − 0,785 −1,06 − 0,963 = hA − 2,808 = hB + 0,192 м.

2.17. Пьезометрический напор в сечении 6-6:

4Q2

16× 0,00562

H p6 = H6 − α`2

= hA − 2,808 −1

= hA − 3 = hB + 0 м.

πd22 2g

3,142 × 0,064 × 2× 9,81

2.18. Потери напора на выход из трубы:

h	= Q2	(ξ		)		16			= 0,00562	(1)			16				= 0,192 м.
			вых		2	4						2		4
вых											3,14		0,06		2 9,8
					π	d2	2g

2.19. Полный напор в сечении 7-7:

H7 = H6 − hвых = hA − 2,808 − 0,192 = hA − 3 = hB + 0 м.

2.20. По известным значениям полного и пьезометрического напоров в сечениях трубопровода в масштабе строятся линии полного и пьезометрического напоров (рис. 6).

Рис. 6. Построение линий полного и пьезометрического напоров

19

Расчет истечения через отверстия и насадки

Нормальная диафрагма – отверстие с достаточно острой кромкой для измерения расхода жидкости или газа в трубе (рис. 7). Измерение проводится при помощи определения разности давлений до диафрагмы и в сечении с минимальным диаметром. Необходимо определить расход газа через нормальную диафрагму, если ее диаметр d = 5 мм, диаметр трубы D = 100 мм, перепад давления по дифференциальному манометру: h = 10 мм. рт.ст.

D
		d

h

Рис. 7. К определению расхода при истечении

Решение:

Перепад давлений в манометре

p = ρрт · gh = 13600 · 9,8 · 0,1 = 13300 Па.

2

Определяем n = d – степень сжатия трубы, n = 0.25.

D

По таблице находим μ – коэффициент расхода (см. Смыслов В.В. «Гидравлика и аэродинамика», стр. 235), μ = 0,622.

Записываем уравнение Бернулли в форме давлений для сечений до диафрагмы и после (сжатое сечение):

p

+ α

ρυ2

+ α

ρυ2

ρυ2

1 = p

c

c + ξ

c

c .

1

1

2

c

2

2

Выразим скорость через расход: υ =

4Q

,

υ

c

=

4Q

, примем р1 – рс = p, введем n и

πD2

ε – коэффициент сжатия.

1

πD2ε

Выполним преобразования и запишем уравнение Бернулли в виде

p =

ρ

4Q 2

(αc + ξc − α1ε

2

n

2

).

2

2

πD

ε

Если μ =	1			, то окончательно получаем:
	(αc + ξc − α1ε2n2 )
	Q = μ	πd 2	2	p	= 0,622	3,14 0,052	2	13300	= 0,0062 м3/с.
		4		ρ		4		1000

Ответ: Расход через диафрагму Q = 0,0062 м3/с.

2.5. Движение жидкостей в магистральных трубопроводах

Расчет магистрального трубопровода

Определить необходимую высоту водонапорной башни h в точке А, если dAB = 200 мм, dAC = 250 мм, dCD = 125 мм. На участке ВС непрерывный расход q = 0,05 л/с, на п.м., а в

20