Задачи и вопросы по курсу математики , 2014 г., первый семестр . ( лектор доц. Братчиков А.В.)

( три страницы )

1. Вычислить, представив комплексное выражение в алгебраической форме .

2. Найти корни 3 степени из комплексного числа .

3. Решить квадратное уравнение .

4. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах , , , .

5. Вычислить матричные выражения , где , , .

6. Вычислить определитель разложением по четвёртой строке.

7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

8. Решить методами Крамера, Гаусса и матричным систему линейных уравнений

9. Вычислить векторное выражение , если ,.

10. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку M(1, -1,) перпендикулярно отрезку AB, если и .

11. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки , и .

12. Вычислить длину высоты тетраэдра, опущенной из точки D, если известны его вершины , , и .

13. Вычислить пределы , , , , . Результаты изобразить на графике.

14. Найти точки разрыва, определить их тип . Изобразить график функции в окрестностях точек разрыва.

15. Найти производную функции.

16. Найти производную третьего порядка функции .

17. Найти дифференциал функции .

18. Используя правило Лопиталя, найти предел . Результат изобразить.

19. На йти асимптоты графика функции . Результат изобразить на графике.

20. Найти точки перегиба графика функции .

21. Построить график функции , проведя полное исследование функции.

22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0,3].

Задача 24. Найти расстояние от точки М(0,1.-1) до плоскости 55x-22y-44z+88=0.

Задача 25 Найти каноническое уравнение прямой, заданной системой уравнений

11x-66y+55z+99=0, 55x-22y-44z+88=0.

Задача 26 Найти общее решение системы уравнений 11x-66y+55z+99=0, 55x-22y-44z+88=0.

Задача 27. Найти центр и радиус окружности Изобразить на графике.

Задача 28. Вычислить векторное произведение вектора нормали к плоскости 11x +99y –111z-88=0 и

направляющего вектора прямой (x-44)/33=(y-55)/22=(z-66)/77

Задача 29. Используя дифференциал, вычислить приближенно f (а+0,001) если известно значение f(a) (а- заданное число). Найти , .

Задача 30 Найти точку пересечения прямой (задача 25) и плоскости x-y+z+9=0.

Задача 31. Найти скалярное произведение векторов заданных в

ортонормированном базисе

Задача 32. Пусть матрица оператора в этом базисе. Вычислить .

( лектор доц. Братчиков А.В.)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ.

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-ГО И 3-ГО ПОРЯДКА.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n-ГО ПОРЯДКА.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ПРАВИЛО КРАМЕРА.

МЕТОД ГАУССА.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора.

Метризация пространства. Скалярное произведение. Ортонормированный базис.

Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора.

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

КОРЕНЬ ЦЕЛОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.В ТОЧКЕ. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.

ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

1-Й (с выводом) и 2-Й ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ (НА ПРИМЕРЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ) .

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ (ФЕРМА,ЛАГРАНЖА, КОШИ)

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ [0/0], [∞/∞].

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. МОНОТОННОСТЬ

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ.

ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ.

ЗНАТЬ МАТЕРИАЛ ВСЕХ ЛЕКЦИЙ И УМЕТЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ РАССМОТРЕННЫЕ НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.