chastnye_proizvodnye

Частные производные. Примеры решения

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции z ex (cos y x sin y) . Проверить,

что zxy	zyx . Записать полный дифференциал первого порядка dz .
Решение:
1) Найдем частные производные первого порядка:
zx ex (cos y x sin y) x (ex )x (cos y x sin y) ex (cos y x sin y)x
ex (cos y x sin y) ex (0 1 sin y) ex (cos y sin y x sin y)

zy ex (cos y x sin y) y ex (cos y x sin y)y ex ( sin y x cos y) .

2) Найдем смешанные производные второго порядка:

e

x

(cos y sin y x sin y) y

e

x

zxy

(zx )y

(cos y sin y x sin y)y

ex ( sin y cos y x cos y)

e

x

(e

x

( sin y

x cos y) e

x

zyx

(zy )x

( sin y x cos y) x

)x

( sin y x cos y)x

ex ( sin y x cos y) ex ( 0 1 cos y) ex ( sin y cos y x cos y)

zxy

zyx , значит, все вычисления выполнены верно.

3) Составим полный дифференциал первого порядка:

dz zx dx zy dy ex (cos y sin y x sin y) dx ex ( sin y x cos y) dy

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции

z(x, y)

y

ln x cos(2x 2y) .

x

sin y

Решение:

y

y

x ln x

z

x ln x cos(2x 2 y)

cos(2x 2 y)

x

x

x

sin y

x

sin y x

0

x ln x

ln x x sin(2x 2 y) (2x 2 y)x

x

x

1

ln x

1 sin(2x 2 y) (2 0)

ln x

1

2sin(2x 2 y)

x

2 x

x

2 x

x

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Частные производные. Примеры решения

y

y

z

x ln x

cos(2x 2y)

x ln x cos(2x 2y)

y

y

y

sin y

y

sin y y

		( y)y sin y	y(sin y)y
				0	sin(2x 2y) (2x 2y)y
		sin2	y
		1 sin y y cos y sin(2x 2y) (0 2) sin y y cos y 2sin(2x 2y)
		sin2 y			sin2 y

Пример 9

Дана функция двух переменных z arcsin y2 . Найти все частные производные первого и x

второго порядков.

Решение: Найдем частные производные первого порядка:

1

1

y

y

zx

arcsin

x

x

y x 2 x

x

2

2

y

2

y2

x

1

1

x

4

x2

x2

y ( 2)

1

2y

x3

x4 y2

x x4 y2

x

2

x

2

1

1

zy

y

y

arcsin

y

y

x

2

2

x

2

x

4 y2

x

4 y2

x4 y2

x

Найдем частные производные второго порядка:

2y

6

2 2

1

6

2 2

x

2y x x y

2

x

x y x

zxx

zx

4

y

2

x

x

x

1

6

2

2

3

6

2

2

y

5

2

2y

2

x

x

y

2 x

x

y

x

6x

2xy

(x6 x2 y2 )3

y

2x 3x4 y2

2y(3x4 y2 )

x3 (x4 y2 )3

x2

(x4 y2 )3

1

4

2

1

1

4

2

3

4

2

z

z

x

y

2

x

y

2 x

y

yy

y

y

x

4

y

2

y

2

y

y

1

0 2y

y

2

(x4 y2 )3

(x4 y2 )3

Найдем смешанные производные второго порядка:

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Частные производные. Примеры решения

( y)y

y

y

2y

2

y

2

x4 y

2

x4 y

2

z

z y

xy

x

4

2

4

2

4

2

2

x

x y y

x

x y y

x

x y

1

x4 y2

y(0 2y)

1

x4 y2 y

x4

y2

2

2 x4 y2

y

2

2 x4 y2

x

x4 y2

x

x4 y2

y2

x4 y2

2

x4 y2

2

x4 y2 y2

2

x4

2x3

x4 y2

x

x

(x4 y2 )3

x

(x4 y2 )3

(x4 y2 )3

1

4

2

1

1

4

2

3

4

2

z

z

x

y

2

x

y

2 x

y

yx

y

x

x

4

y

2

x

2

x

x

1

4x3 0

2x3

2 (x4 y2 )3

(x4 y2 )3

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта