Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

tablica_integralov

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
01.10.2016
Размер:
33.08 Кб
Скачать

Правила интегрирования и таблица интегралов ● Высшая математика для заочников и не только

Правила интегрирования и таблица неопределенных интегралов

Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования, а затем – таблица интегралов.

Правила интегрирования:

1) kudx k udx , где k const 0

– постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;

2) (u v)dx udx vdx – интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности;

3) udv uv vdu – правило интегрирования по частям.

Таблица неопределенных интегралов:

dx x C , здесь и далее C const

xn 1

xndx n 1 C ( n 1)

Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая

вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например 3

 

 

1

 

 

1

 

x5 ,

 

,

, нужно

 

 

 

 

x5

 

7 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

для применения формулы xndx

 

xn 1

C (как представить – см.

представить в виде xb

 

n 1

Горячие формулы шк. курса математики: http://mathprofi.ru/goryachie_formuly.pdf).

dxx ln x C

axdx ax C , в частности, exdx ex C ln a

Интегралы от тригонометрических функций:

sin xdx cos x C

cos xdx sin x C

 

 

 

dx

tgx C

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

dx

ctgx C

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

dx

1

 

x

 

 

a arctg

 

C , в частности

a2 x2

a

dx

 

1 x2

arctgx C

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Правила интегрирования и таблица интегралов ● Высшая математика для заочников и не только

 

dx

 

1

 

x a

 

C «высокий логарифм»

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

x2 a2

2a

x a

Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде,

например:

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

 

a x

 

C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

a x

 

a2 x2

2a

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

x

2

A

C , или, то же самое:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

x

2

A

C «длинный логарифм»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

arcsin

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы от гиперболических функций:

 

dx

 

dx

 

shxdx chx C

 

 

 

 

chxdx shx C

 

 

 

 

 

 

 

 

thx C

 

cthx C

 

 

 

 

ch2 x

sh2 x

! Важно. Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук). Эти таблицы рекомендую использовать только для самопроверки или в самом крайнем случае, так как интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приёмов интегрирования. И, соответственно, данное «решение» может сильно не понравиться рецензенту.

Типичный пример такого «табличного» интеграла: ln xdx x(ln x 1) C

В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, необходимо применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.

А вот некоторые неберующиеся неопределенные интегралы:

e x2 dx – интеграл Пуассона;

sin x2dx , cos x2dx – интегралы Френеля;

lndxx – интегральный логарифм;

exxdx – интегральная экспонента;

sin xdx – интегральный синус; x

cos xdx – интегральный косинус. x

Изредка проскакивают. Встретятся – не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берется. А если подобные интегралы появятся в ходе решения какого-либо примера, значит, Вы либо ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.

© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!

Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты

Соседние файлы в предмете Высшая математика