tablica_integralov
.pdfПравила интегрирования и таблица интегралов ● Высшая математика для заочников и не только
Правила интегрирования и таблица неопределенных интегралов
Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования, а затем – таблица интегралов.
Правила интегрирования:
1) kudx k udx , где k const 0
– постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
2) (u v)dx udx vdx – интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности;
3) udv uv vdu – правило интегрирования по частям.
Таблица неопределенных интегралов:
dx x C , здесь и далее C const
xn 1
xndx n 1 C ( n 1)
Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая
вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например 3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
x5 , |
|
, |
, нужно |
||||||||
|
|
|
|
x5 |
|||||||
|
7 x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
для применения формулы xndx |
|
xn 1 |
C (как представить – см. |
|||||||
представить в виде xb |
|
n 1
Горячие формулы шк. курса математики: http://mathprofi.ru/goryachie_formuly.pdf).
dxx ln x C
axdx ax C , в частности, exdx ex C ln a
Интегралы от тригонометрических функций:
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
|
|
|
dx |
tgx C |
|
|
|||
|
|
cos2 x |
|
|
|||||
|
dx |
ctgx C |
|
|
|||||
sin2 x |
|
|
|
||||||
|
|
dx |
1 |
|
x |
|
|||
|
a arctg |
|
C , в частности |
||||||
a2 x2 |
a |
dx |
|
1 x2 |
arctgx C |
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Правила интегрирования и таблица интегралов ● Высшая математика для заочников и не только
|
dx |
|
1 |
|
x a |
|
C «высокий логарифм» |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
||
x2 a2 |
2a |
x a |
Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде,
например: |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a x |
|
C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
a x |
|
|||||||||||||||||||||||||
a2 x2 |
2a |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
x |
2 |
A |
C , или, то же самое: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
x |
2 |
A |
C «длинный логарифм» |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегралы от гиперболических функций: |
|
dx |
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
shxdx chx C |
|
|
|
|
chxdx shx C |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
thx C |
|
cthx C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ch2 x |
sh2 x |
! Важно. Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук). Эти таблицы рекомендую использовать только для самопроверки или в самом крайнем случае, так как интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приёмов интегрирования. И, соответственно, данное «решение» может сильно не понравиться рецензенту.
Типичный пример такого «табличного» интеграла: ln xdx x(ln x 1) C
В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, необходимо применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.
А вот некоторые неберующиеся неопределенные интегралы:
e x2 dx – интеграл Пуассона;
sin x2dx , cos x2dx – интегралы Френеля;
lndxx – интегральный логарифм;
exxdx – интегральная экспонента;
sin xdx – интегральный синус; x
cos xdx – интегральный косинус. x
Изредка проскакивают. Встретятся – не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берется. А если подобные интегралы появятся в ходе решения какого-либо примера, значит, Вы либо ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты