ТЕМА 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Основные понятия

2.2. Формы представления гармонических величин. Комплексные числа

2.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

2.3.1. Идеальный резисторный элемент

2.3.2. Идеальный емкостный элемент

2.3.3. Идеальный индуктивный элемент

2.4. Символический или комплексный метод расчета

2.5. Мощность синусоидального тока

2.6. Резонансные явления и частотные характеристики

2.6.1.Резонанс напряжений

2.6.2Резонанс токов

2.1. Основные понятия

2.1.1. Генерирование синусоидального напряжения

Синусоидальный ток (напряжение, э.д.с.) – это периодический электрический ток (напряжение, Э.Д.С.), являющийся синусоидальной или косинусоидальной функцией времени:

.

Переменный ток позволяет получить гибкую систему электроснабжения

Генератор гармонического (синусоидального) напряжения:

2.1.2. Основные величины, характеризующие синусоидальную функцию

Э.д.с. и ток на генераторе гармонического (синусоидального) напряжения:

;

.

Амплитуда I_max – максимальное значение функции.

Период T – наименьший интервал времени, между которым мгновенные значения повторяются, [c].

Частота  – величина обратная периоду [ Гц].

Угловая частота  – число периодов Т в интервале времени, равном 2:

 = 2, .

Фаза – аргумент гармонической функции , который линейно увеличивается во времени.

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (t = 0).

; ;

Сдвиг по фазе между двумя синусоидальными функциями

Если  = 0 – то e2(t) совпадает по фазе c e1(t);  = – в противофазе;   0 – отстает по фазе ;   0 – опережает по фазе .

Сдвиг фаз между током и напряжением– разность между начальной фазой тока и фазой напряжения.

.

Мгновенное значение напряжения (тока, э.д.с.) – функция времени:

Обозначается прописными буквами u(t), i(t), e(t).

2.1.3 Действующее и среднее значение синусоидальной функции Действующее значение

Действующее значение напряжения (тока, э.д.с.)– такое значение постоянного напряжения (тока, э.д.с.), которое за период оказывает такой же тепловой и другие эффекты, что и синусоидальное напряжение (ток, э.д.с.)

Обозначается заглавными буквами U, I, E.

РИС.

По закону Джоуля-Ленца тепло, выделенное на резисторе с сопротивлением R, при прохождении по нему постоянного тока I в течение периода .

Для переменного тока закон Джоуля-Ленца справедлив только для бесконечно малого отрезка времени . Тепло, выделяемое переменным током за период.

Тогда, откуда

Таким образом, в общем случае для переменного тока (напряжения, э.д.с.) его действующее значение есть его среднеквадратичное значение.

В частности, для синусоидального тока , его действующее значение будет равно:

.

;

Аналогично ; .

Среднее значение

Из курса математики известно, что среднее значение синусоидальной функции за период равно 0.

Поэтому подкоренное выражение при определении действующего значения синусоидального тока тем не менее для синусоидальной функции существуют понятие среднего значения за половину периода.

В общем случае среднее значение для любой переменной величины

Для ;;

; ; ; ;

2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа

Существуют следующие основные формы представления гармонических величин:

1. Тригонометрическая форма:

Недостаток – трудно производить математические операции с несколькими синусоидами.

2. Графическая форма (волновая диаграмма).

Недостаток – трудность точного изображения и большие погрешности при расчетах с помощью графических построений.

3. Векторы на плоскости в Декартовой системе координат.

Длина вектора – амплитуда.

Угол – начальная фаза.

Векторная диаграмма– это совокупность векторов, изображающих векторы тока, напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки

Недостаток: можно легко складывать и вычитать, трудно умножать и делить.

4. Комплексная форма представления.

Комплексное число – алгебраическая сумма действительного числа A и мнимого числа jB:

.

Сопряженное число:

.

Мнимая единица:

;

.

Модуль комплексного числа – длина вектора :

.

Аргумент (фаза) комплексного числа– угол между осью действительных чисел и вектором:

(обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то ).

Угол откладывается против часовой стрелки.

Существуют следующие формы комплексного числа:

1. Алгебраическая форма:

.

Алгебраическая форма предпочтительна для сложения и вычитания комплексных чисел:

.

2. Показательная форма:

.

Показательная форма предпочтительна для умножения и деления комплексных чисел:

.

3. Тригонометрическая форма:

,

т.к. .

Для перевода из одной формы в другую:

; ;

; .

Символом с индексом max обозначается комплекс амплитуды величины, например Ė_m. Без индекса – действующее значение величины, например Ė.

На рисунке:

;

;

.

Изображение гармонических колебаний комплексным числом позволяет заменить интегрально-дифференциальные уравнения комплексными алгебраическими уравнениями. При этом комплексами изображаются не только гармонические э.д.с., U, I, но и параметры схемы.