Литература / Лекции С.А.Попов / Tema_7_Bak_chetyrekh

ТЕМА 7_Бак

многополюсные цепи

7. Основы теории четырехполюсников

7.1. Уравнения четырехполюсника

7.2. Коэффициенты четырехполюсника

7.3. Эквивалентные схемы

7.4. Характеристические параметры четырехполюсника

7. Основы теории четырехполюсников

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Четырехполюсник – часть электрической цепи, имеющая два входных и два выходных зажима (трансформатор, линия электропередачи, фильтр, электронный усилитель).

Понятием "четырехполюсник" пользуются, когда нужно знать токи и напряжения на входе и выходе электротехнического устройства и нет необходимости знать токи и напряжения внутри этого устройства.

Пассивный четырехполюсник – четырехполюсник не содержит источника энергии (активный – содержит).

Симметричный четырехполюсник – перемена местами его входных и выходных зажимов не изменяет входных и выходных напряжений и токов.

7.1. Уравнения четырехполюсника

Связь между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника (Ú₁, İ₁, Ú₂, İ₂) выражается с помощью двух уравнений четырехполюсника, в которых по двум заданным величинам находят две другие.

Всего можно записать шесть различных по форме, но по существу эквивалентных систем уравнений (число сочетаний из четырех по два).

, .

Этим уравнениям соответствуют определенные условно положительные направления токов и напряжений во входной и выходной цепях четырехполюсника.

Параметры (коэффициенты) четырехполюсника () зависят от структуры (схемы внутренних соединений) четырехполюсника, величин сопротивлений элементов, составляющих четырехполюсник, и представляют в общем случае комплексные числа.

Для каждого четырехполюсника эти коэффициенты можно определить расчетным или опытным путем.

– тип (форма) А;

или

– основное уравнение четырехполюсника.

– тип B;

или

Уравнения связи между коэффициентами

.

Для симметричного четырехполюсника

.

– Z - форма. Уравнение связи .

– Y - форма. Уравнение связи .

– H - форма. Уравнение связи .

– G - форма. Уравнение связи .

Коэффициенты четырехполюсника для различных форм записи связаны между собой соотношениями, позволяющими переходить от одной формы записи уравнений к другой. Эти соотношения даются в справочниках. Поэтому достаточно установить значения коэффициентов и другие зависимости для одной формы записи и тогда можно получить все необходимые величины для любой другой формы записи.

В дальнейшем все необходимые соотношения будем рассматривать для А-формы записи уравнений.

Для записи уравнений четырехполюсника широко применяют матричную форму записи. Это особенно удобно и эффективно при исследовании режимов работы нескольких четырехполюсников, соединенных между собой тем или иным способом (каскадно, последовательно, параллельно и т. д.).

или ;

или .

7.2. Коэффициенты четырехполюсника

Четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты.

Практически для расчета коэффициентов пользуются величинами входных сопротивлений четырехполюсника в режиме КЗ и ХХ.

Сопротивления ХХ и КЗ могут быть либо измерены с помощью измерительного моста или амперметра, вольтметра, ваттметра и фазометра, включенных вначале со стороны входа, а затем со стороны выхода (обратное КХ и ХХ), либо вычислены по известной схеме четырехполюсника. Затем по полученным и определяют коэффициенты по известным формулам.

ВХОДНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Со входа

.

С выхода

.

Для симметричного четырехполюсника

, .

При ХХ

; , .

При КЗ

; , .

Отсюда:

; ; ; .

Легко показать, что

; .

Учитывая уравнение связи для вычисления 4-х коэффициентов надо определить только 3 входных сопротивления.

Для симметричного четырехполюсника , а потому достаточно знать только два входных сопротивления (, ).

; ; ; ; ;

.

7.3. Эквивалентные схемы

Любой сложный четырехполюсник можно заменить простой схемой замещения.

Так как пассивный четырехполюсник характеризуется только тремя независимыми параметрами, то простейшая эквивалентная схема замещения четырехполюсника должна содержать 3 элемента: Т-образная и П-образная схема.

Для Т-образной схемы замещения:

; ; .

Для П-образной схемы замещения:

; ; .

Для симметричного четырехполюсника:

; .

7.4. Характеристические параметры четырехполюсника

При прохождении сигнала через четырехполюсник важно дать оценку изменения напряжения (тока) как по модулю, так и по фазе.

; ;

;

; ; .

Аналогично: .

В полученных выражениях ослабление по модулю и изменение фазы напряжения (тока) зависит как от обобщенных параметров (коэффициентов) четырехполюсника, так и от полного сопротивления нагрузки.

Для сравнения различных четырехполюсников с точки зрения прохождения через них сигналов желательно давать оценку только опираясь на коэффициенты четырехполюсника.

Для этого следует взять какую-либо определенную нагрузку и связать ее с коэффициентами четырехполюсника, т.е. сравнивать четырехполюсники следует при какой-то определенной нагрузке.

Известно, что входное сопротивление четырехполюсника:

; – для симметричного четырехполюсника.

Для практики наибольший интерес представляет согласованный режим каскадно включенных симметричных четырехполюсников. Для согласованного режима надо подобрать . Это сопротивление называется характеристическим и обозначается:

;

тогда , отсюда .

Условие согласования каскадов – входное сопротивление последующего каскада равно выходному сопротивлению предыдущего. При этом обеспечивается максимум передачи мощности.

Характеристическим называется сопротивление нагрузки симметричного четырехполюсника, обеспечивающее ему режим согласованной нагрузки.

Рассмотрим случай симметричного четырехполюсника:

.

Режим симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление () называется режимом согласованной нагрузки, так как в этом случае входное сопротивление четырехполюсника равно сопротивлению нагрузки и равно .

Для согласованного режима симметричного четырехполюсника

;

Аналогично: .

– отношение представляет собой комплексное число:

,

где [безразмерная величина] – модуль отношения напряжений (токов) на входе и на выходе – показывает, во сколько раз изменяется по модулю напряжение (ток) при прохождении через четырехполюсник.

– постоянная фазы четырехполюсника, показывающая на сколько изменяется фаза напряжения (тока) при прохождении через четырехполюсник.

Для оценки изменения напряжения (тока) при прохождении через четырехполюсник как по модулю, так и по фазе одной величиной (!) заменяют .

Тогда ,

где – постоянная передачи четырехполюсника;

– постоянная ослабления.

– непер.

	1	2,72	10	100	1000
, Нп	0	1	2,3	4,6	6,9

1 Нп – затухание, при котором .

Затухание в неперах:

.

Затухание в белах [Б]:

.

Затухание в децибелах [дБ]:

.

.

и – характеристические параметры симметричного четырехполюсника, зависящие только от структуры и параметров элементов четырехполюсника:

; или .

Если учесть, что , то можно выразить коэффициенты симметричного четырехполюсника через характеристические параметры:

;

;

;

;

;

.

В результате преобразований получим:

;

;

.

Тогда уравнения симметричного четырехполюсника в гиперболической форме записи:

Эти уравнения применимы при любой нагрузке и широко используются в теории фильтров и теории электрических цепей с распределенными параметрами.

В технических устройствах источник энергии (или сигналов) соединяют с приемником через цепь, состоящую из ряда четырехполюсников, соединенных каскадно, то есть входные зажимы каждого последующего четырехполюсника соединяют с выходными зажимами предыдущего.

В таких устройствах важно обеспечить максимум передачи мощности от источника к приемнику, то есть согласованный режим работы всех каскадов.

Условие согласования каскадов – входное сопротивление последующего каскада равно выходному сопротивлению предыдущего.

Рассмотрим наиболее интересный для практики случай симметричного четырехполюсника:

.

Для четырехполюсника в А–форме:

;

; .

– характеристическое (повторное) сопротивление симметричного четырехполюсника.

Нагружая четырехполюсник на на входе четырехполюсника будет сопротивление .

Тогда .

Для режима согласованной нагрузки симметричного четырехполюсника:

13