№ 418950 Решение

2.

Решение

- Запишем комплексное число в тригонометрической форме.

Найдем его модуль и аргумент.

- комплексное число в тригонометрической форме.

- Найдём .

Воспользуемся формулой Муавра:

В нашем случае =

=32

-Найдём .

Воспользуемся формулой ,

где в нашем случае

Тогда, ,

или ,

При имеем .

При имеем =

=.

При имеем =

=.

При имеем =

=.

1. 

Решение

-Отделим корни. Для решения задачи построим график функции

.

Из рисунка видно, что один из корней уравнения принадлежит отрезку второй – отрезку .

-Используем для нахождения корней метод половинного деления (метод дихотомии).

Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.

Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.

Определяем половину отрезка c=¹/₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:

1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. 2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c]. 3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].

Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.

Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:

b_n-a_n=¹/₂ⁿ(b-a)

В качестве корня ξ. возьмем ¹/₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:(b_n – a_n)/2 < ε то процесс поиска заканчивается и ξ = ¹/₂(a_n+b_n).

Рассмотрим интервал , погрешность примем равную ε=0,1.

Количество итераций (шагов) примем 3, согласно условию, поэтому погрешность примем равную ε=0,1.

Найдём первый корень.

Поскольку F(-2)*F(-1)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [-2;-1]. Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (-2 -1)/2 = -1.5 F(x) = 0.25 F(c) = 3 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=-1.5 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (-1.5 -1)/2 = -1.25 F(x) = -0.938 F(c) = 0.25 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=-1.25 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (-1.5 -1.25)/2 = -1.375 F(x) = -0.359 F(c) = -0.938 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=-1.375.

Расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	ε
1	-1.5	-1.5	-1	3	0.25	0.5
2	-1.25	-1.25	-1	0.25	-0.9375	0.25
3	-1.375	-1.375	-1.25	-0.9375	-0.3594	0.125

Таким образом, в качестве корня можно принять:

x₁=(-1.5-1.375)/2 = -1.4375

Рассмотрим интервал , погрешность примем равную ε=0,1.

Найдём второй корень.

Поскольку F(3)*F(4)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [3;4].

Итерация 1. Находим середину отрезка: c = (3 + 4)/2 = 3.5 F(x) = 0.25 F(c) = -2 Поскольку F(c)•F(a) < 0, то b=3.5 Итерация 2. Находим середину отрезка: c = (3 + 3.5)/2 = 3.25 F(x) = -0.938 F(c) = 0.25 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=3.25 Итерация 3. Находим середину отрезка: c = (3.25 + 3.5)/2 = 3.375 F(x) = -0.359 F(c) = -0.938 Поскольку F(c)•F(b) < 0, то a=3.375.

Расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	ε
1	3.5	3.5	4	-2	0.25	0.5
2	3.25	3.25	3.5	0.25	-0.9375	0.25
3	3.375	3.375	3.5	-0.9375	-0.3594	0.125

Таким образом, в качестве корня можно принять:

x₂=(3.375+3.5)/2 = 3.4375

Ответ: x₁= -1,4375; x₂= 3,4375

6