Вопросы к экзамену 1 с 2015

Вопросы к экзамену по математическому анализу

Специальность УЭЛ, I курс, I семестр

Раздел 1. Элементы теории пределов.

1. Основные элементарные функции (область определения, область значения функции, график, свойства).

2. Функция: определение, области определения и значения, способы задания, монотонность, четность, нечетность, периодичность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение.

3. Предел функции. Свойства. Односторонние пределы.

4. Первый и второй замечательные пределы.

5. Непрерывность функции, точки разрыва

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

6. Понятие производной первого порядка. Свойства.

7. Таблица производных.

8. Дифференциал функции и его приложение.

9. Производные высших порядков

10. Теорема Ферма

11. Теорема Ролля

12. Теоремы Лагранжа, Коши

13. Правило Лопиталя

14. Исследование на экстремум

15. Исследование на выпуклость

16. Асимптоты

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

17. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка

18. Частные производные высших порядков

19. Исследование на экстремум

Раздел 4. Интегральное исчисление.

20. Понятие неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Свойства.

21. Основные методы интегрирования (простейшее интегрирование, подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям)

22. Интегрирование простейших правильных дробей

23. Интегрирование дробно-рациональной функции

24. Интегрирование тригонометрических функций

25. Интегрирование иррациональных функций

26. Понятие определенного интеграла. Свойства. Методы вычисления.

27. Несобственные интегралы

Список задач: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

Раздел 1 :№№ 4 (уметь читать график), 9, 14, 15, 47, 50, 53, 54, 62, 221, 223, 268-279, 281-287, 314-317, 319-325, 330, 332, 351-353, 355-362, 368-374

Раздел 2 :№№ 466-469, 471-477, 534, 535, 585, 589, 611, 617, 620, 621, 626, 889 (1-5, 11,12,14, 15,19), 899, 900, 902, 1006 – 1013, 1185, 1187, 1188, 1287, 1289, 1290, 1371, 1377,

Раздел 3: №№ 3036, 3037, 3041, 3047, 3101-3104, 3181, 3259, 3271-3273 (исследовать на экстремум),

Раздел 4: №№ 1676, 1678, 1679, 1685, 1686, 1689-1693, 1710-1726, 1791-1803(нечетные), 1832-1839, 2012. 2013, 2231-2233, 2259, 2260, 2262, 2263

МИНИМУМ на оценку «3» (примерный список задач)

1. Знать графики основных элементарных функций, таблицы производных и интегралов

2. Достроить график используя свойство 1) четности, 2) нечетности, 3) периодичности с периодом 5

Для каждой из полученных функций указать область определения, область значения, промежутки монотонности (возрастание, убывание, постоянство)

3. Построить эскиз графика y = f(x). Указать

а) область определения функции, б) область значения функции,

в) найти y, если х=-3; -1; 2

г) найти х по графику функции, если y=-1; 0; 1

в) промежутки монотонности (возрастание, убывание, постоянство), г) точки разрыва.

Найти пределы (левый и правый) функции в точках разрыва, используя график функции.

4. Прочитайте график функции:

1. Области определения и значения функции.

2. Промежутки знакопостоянства функции.

3. Точки разрыва функции и односторонние пределы в этих точках.

4. Монотонность функции.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции (если существуют).

5. Вычислить пределы

а) б) в) д)

6. Выяснит поведение функции y(x) = (-1/3) x³ + 0.5x² + 2x -1 в точках х = -5,7; 0; 2,3.

1. Найти точки экстремума функции.

2. Найти точки перегиба функции.

3. Найти промежутки монотонности функции.

4. Найти промежутки выпуклости функции.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ -3, 1]

7. Вычислить производную функции

(x² + xlnx) = (cos) =

8. Найти интегралы

1. 2. ; 3.; 4.

9. Вычислить и изобразить на координатной плоскости

10. Вычислить

11. Найти частные производные первого порядка для следующих функций: а) z = x² – 5y; б) z = xy²; в) z = cos(2x+y).

12. Найти точки экстремума функции z = x² + 2y² – xy +1