Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Векторная алгебра_методичка.doc
Скачиваний:
80
Добавлен:
27.11.2016
Размер:
1.25 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

Векторная алгебра

методические указания

и индивидуальные задания

к практическим занятиям

по математике

для студентов всех специальностей

института транспорта

очной формы обучения

Тюмень 2003

Утверждено редакционно–издательским советом

Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: Бакановская Н.Н., ассистент

Редактор: Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор

© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

2003

Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач.

Перед выполнением индивидуальных заданий рекомендуем ознакомиться с решением заданий нулевого варианта, изложенных в данных методических указаниях.

З а д а н и е 1. Написать разложение вектора по векторам,,, если,,,.

Р е ш е н и е. Запишем вектор в виде линейной комбинации векторов,и:. Найдем коэффициенты,,. Для этого запишем разложение векторав координатной форме:

Подставим координаты заданных векторов. Получим систему

решив которую, найдем коэффициенты . Т.е..

З а д а н и е 2. Найти угол между векторами и, если,,,.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой . Определим координаты векторови, при этом учтем, что при умножении вектора на число, мы умножаем на это число каждую координату этого вектора, а при сложении векторов – складываем одноименные координаты:,.

Найдем скалярное произведение векторов ии их длины.,,. Подставив в формулу, получим. Отсюда.

З а д а н и е 3. Найти проекцию вектора на вектор, если, , .

Р е ш е н и е. Проекция вектора на векторнаходится по формуле. Определим координаты векторови, их скалярное произведение и длину вектора:,,,. Тогда.

З а д а н и е 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если,.

Р е ш е н и е.

Площадь параллелограмма будем искать по формуле. Для этого найдем сначала координаты векторови, а затем их векторное произведение.,,

.

Вычислим модуль полученного векторного произведения, который и будет численно равен искомой площади параллелограмма:

З а д а н и е 5. Параллелограмм построен на векторах и, где,,^. Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Р е ш е н и е.

, ,

Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда

Следовательно,

З а д а н и е 6. Компланарны ли векторы ,,?

Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:

векторы некомпланарны.

З а д а н и е 7. Точки являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грании высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Р е ш е н и е. Объем пирамиды будем искать по формуле, где,и–векторы, совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем случае такими векторами будут.

Найдем координаты этих векторов, а затем их смешанное произведение.

Теперь найдем площадь грани по формуле.

. Тогда площадь грани будет равна

Т.к. , то высотаH =, опущенная на грань, равна.

З а д а н и е 8. Найти вектор , перпендикулярный к векторамии удовлетворяющий условию.

Р е ш е н и е. Пусть вектор имеет координаты. Т. к. векторперпендикулярен векторами, то. Запишем все три скалярных произведения в координатной форме:

Решив полученную систему, получим, что .

З а д а н и е 9. Зная векторы и, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершинеи площадь треугольника.

Р е ш е н и е. Угол при вершине – это угол между векторамии. Вектор, тогда,