Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы по алгему.docx
Скачиваний:
175
Добавлен:
27.11.2016
Размер:
989.88 Кб
Скачать
  1. Определители и их свойства.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

  1.  .

 

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями,   -называется элементами определителя ( -номер строки,  -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы  , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

 

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.

Минором  к элементу  называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием  -й  строки и  -го столбца.

Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.

Алгебраическое дополнение  – минор  с соответствующим знаком, т.е.

 .

Разложение определителя по элементам некоторого ряда. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем на примере определителя 3-его порядка. В этом случае данное свойство означает, что

 

В самом деле, имеем

Это свойство содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица,

состоящая из  строк и  столбцов,

 и  – любое натуральное число,

 называется размерностью матрицы.

Матрица размерностью  состоит из одного элемента и равна самому элементу. Во всех остальных случаях матрица не число, а таблица.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

4. Операции над матрицами, обратная матрица.

Действия с матрицами:

- сложение матриц можно выполнять, если они одной размерности, при этом соответствующие элементы складываются:

;  ;

- при умножении матрицы на число   все элементы матрицы умножаются на это число:

- матрицы  и  можно перемножить, если число столбцов  множителя равно числу строк  второго множителя.

Отсюда следует, что умножение матриц некоммутативно.

Свойства операции сложения:

 – коммутативность;

 – ассоциативность;

 – дистрибутивность.

Свойства операции умножения:

 – некоммутативность;

 – ассоциативность;

  – дистрибутивность.

Единичной матрицей  называется квадратная матрица, в которой элементы главной диагонали равны , а остальные :

.

Единичная матрица имеет тот же смысл, что и единица в алгебре, т.е.

.

Обратной матрицей  называется матрица, составленная из алгебраических дополнений:

 

здесь  – определитель квадратной матрицы .

Если ∆(А)=0, то матрица называется вырожденной и обратной не имеет.

Свойство обратной матрицы

.

Это свойство позволяет решать матричные уравнения вида

.

Умножив обе части уравнения слева на А-1, получим

, или 

5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.

Другой метод решения системы уравнений основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы систе­мы А:

Который называется также Определителем системы. Заменим в этом определителе J-Й столбец на столбец свободных членов В, т. е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим ΔJ:

ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — Определитель матрицы системы А, а ΔJ — Определитель, полученный из определителя Δ Заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, То система линейных уравнений  Имеет единственное решение, определяемое по форму­лам

Формулы вычисления неизвестных — решения сис­темы— носят название Формул Крамера.