- •2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
- •3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
- •4. Операции над матрицами, обратная матрица.
- •5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
- •6. Решение системы линейчатых неоднородных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
- •7. Метод Гаусса решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •Доказательство (условия совместности системы)
- •9. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами и их основные свойства. Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •11. Теоремы о проекциях векторов. Условие коллинеарности векторов.
- •Условия коллинеарности векторов
- •12. Линейная зависимость векторов. Понятие базиса.
- •Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- •Пример.
- •13. Скалярное произведение векторов. Признак ортогональности векторов.
- •14. Расстояние между двумя точками пространства r3 . Деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками в пространстве, формула.
- •Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.
- •15. Векторное произведение векторов.
- •16. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •17. Метод координат и основные задачи аналитической геометрии.
- •18. Прямые в r2. Различные виды уравнений прямой в r2
- •19. Нормированное уравнение прямой.
- •20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вычисление угла между прямыми в r2.
- •21. Расстояние от точки до прямой в r2.
- •22. Линии второго порядка. Каноническое уравнение окружности.
- •23. Каноническое уравнение эллипса.
- •24. Каноническое уравнение гиперболы.
- •25. Каноническое уравнение параболы.
- •26. Преобразование уравнений линий второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат.
- •28. Параметрическая форма задания уравнения линий в трехмерном пространстве.
- •29. Плоскость в трехмерном пространстве. Различные виды уравнений плоскости.
- •30. Нормированное уравнение плоскости
- •31. Расстояние от точки до плоскости.
- •32. Расстояние между двумя параллельными прямыми.
- •33. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой.
- •34. Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •35. Расстояние между перекрещивающимися прямыми в пространстве.
- •Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
- •36. Поверхности второго порядка. Эллипсоиды и гиперболоиды.
- •37. Параболоиды. Уравнения цилиндрических и конических поверхностей.
- •38. Сферическая система координат.
Определители и их свойства.
Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:
.
Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).
Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.
Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.
Определитель II порядка вычисляется по формуле:
Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:
Основные свойства определителей:
1.1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
1.3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам произвольного ряда.
Минором к элементу называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.
Алгебраическое дополнение – минор с соответствующим знаком, т.е.
.
Разложение определителя по элементам некоторого ряда. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем на примере определителя 3-его порядка. В этом случае данное свойство означает, что
В самом деле, имеем
Это свойство содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
3. Матрицы и их свойства. Ранг матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица,
состоящая из строк и столбцов,
и – любое натуральное число,
называется размерностью матрицы.
Матрица размерностью состоит из одного элемента и равна самому элементу. Во всех остальных случаях матрица не число, а таблица.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
4. Операции над матрицами, обратная матрица.
Действия с матрицами:
- сложение матриц можно выполнять, если они одной размерности, при этом соответствующие элементы складываются:
; ;
- при умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число:
- матрицы и можно перемножить, если число столбцов множителя равно числу строк второго множителя.
Отсюда следует, что умножение матриц некоммутативно.
Свойства операции сложения:
– коммутативность;
– ассоциативность;
– дистрибутивность.
Свойства операции умножения:
– некоммутативность;
– ассоциативность;
– дистрибутивность.
Единичной матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы главной диагонали равны , а остальные :
.
Единичная матрица имеет тот же смысл, что и единица в алгебре, т.е.
.
Обратной матрицей называется матрица, составленная из алгебраических дополнений:
здесь – определитель квадратной матрицы .
Если ∆(А)=0, то матрица называется вырожденной и обратной не имеет.
Свойство обратной матрицы
.
Это свойство позволяет решать матричные уравнения вида
.
Умножив обе части уравнения слева на А-1, получим
, или
5. Решение и исследование систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
Другой метод решения системы уравнений основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:
Который называется также Определителем системы. Заменим в этом определителе J-Й столбец на столбец свободных членов В, т. е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим ΔJ:
ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — Определитель матрицы системы А, а ΔJ — Определитель, полученный из определителя Δ Заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, То система линейных уравнений Имеет единственное решение, определяемое по формулам
Формулы вычисления неизвестных — решения системы— носят название Формул Крамера.