Учебное пособие мат. статистика+контрольные работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

А.А.ГОРСКИЙ, И.Г.КОЛПАКОВА

ПОСОБИЕ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ для студентов-заочников

(2 курс, 4 семестр)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Утверждено в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2008

1

УДК 519

Г73

Работа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики и рекомендована к печати.

Г73 Горский А.А., Колпакова И.Г. Пособие по курсу математики для студентов-заочников (2 курс, 4 семестр): Учебное пособие/ Горский А.А.

идр.-ИИЦ МГУДТ. 2008 - 95 с.

Впособии кратко изложен теоретический материал и приведены практические задания для заочников, изучающих курс математики в четв¸р- том семестре второго курса обучения.

УДК 519

°c Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2008

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие содержит основной теоретический материал по темам “Теория вероятностей”и “Математическая статистика”, который необходим студентам 2-го курса в четв¸ртом семестре. По всем разделам теории приведены подробно разобранные примеры решения типовых задач.

Вконце пособия имеется справочный материал и варианты заданий:

²Приложение 1 Приведены основные таблицы, используемые при решении задач из теории вероятностей и математической статистики.

²Приложение 2 Варианты индивидуальных заданий для студентовзаочников.

3

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей - это наука, занимающаяся случайными событиями (событиями, которые могут произойти при наличии совокупности условий). Предполагается, что с каждым случайным событием связана вероятность , которая представляет меру возможности наступления случайного события. Приняты следующие свойства вероятности.

Если событие невозможно, вероятность его равна нулю.

Если событие достоверное (обязательно должно произойти), вероятность его равна единице.

Вероятности любых событий представляют числа, находящиеся в отрезке между нул¸м и единицей. Такое условие возникает из практического смысла использования понятия вероятности: она должна отражать частоту наступления события при повторении условий опыта.

Вероятностные, или, как часто говорят, статистические закономерности наблюдаются, если иметь дело с массой однородных явлений. Подтверждаемая опытом устойчивость закономерностей в массе явлений и служит базой для проведения вероятностных исследований.

Статистические закономерности связаны с осредн¸нными свойствами явлений и не могут однозначно предсказать исход конкретного опыта. В этом состоит их ограниченность.

Например, одной из важных областей применения теории вероятностей является страховое дело. Руководители страховой компании используют методы теории вероятностей для определения тарифов на страховку: если тарифы малы, собранные деньги не позволят выплатить компенсацию страховых случаев и получить ожидаемую прибыль, если велики

– уменьшится поток желающих застраховаться. Для застраховавшегося лица результаты применения теории вероятностей бесполезны: они принципиально не могут предсказать наступление страхового случая в конкретном случае.

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Теория вероятностей занимается случайными событиями, то есть событиями, которые могут произойти с определенной степенью возможности (вероятностью). В ней рассчитывается вероятность некоторых вторичных событий по известным вероятностям первичных событий. При этом используется математический аппарат обращения с событиями –

4

алгебра событий. В математике под термином алгебра понимается некоторое множество объектов и операций с ними. Алгебра событий – это совокупность интересующих нас событий и операций с ними.

Алгебра событий аналогична алгебре множеств, поскольку события могут трактоваться как множества некоторых элементарных событий. Элементарные события – это события, которые могут образовывать любые интересующие нас события и, вместе с тем, являются первичными

втом смысле, что они не могут быть получены в результате операций с другими событиями.

Важнейшими операциями с событиями являются сумма и произведение событий. Обычно события обозначаются буквами: событие A, событие B и так далее.

Суммой двух событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо событие A, либо событие B, либо оба эти события вместе. Операция суммирования обычно обозначается формулой A [ B. Иногда, в особенности, в случае, когда события несовместны, сумма событий обозначается формулой A+B.

Произведением двух событий A и B называется событие, состоящее

втом, что оба события A и B, произошли одновременно. Операция произведения обозначается формулой A \ B.

Разностью двух событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло событие B. Эта операция

обозначается формулой A n B, или A¡B.

¹

Событие A называется противоположным событию A. Оно может быть определено как разность всего пространства событий - и события

A:

¹

A = - n A:

Все операции с событиями аналогичны операциям с множествами. Это не случайно, поскольку любое событие может трактоваться как множество элементарных событий. Элементарные события – это события, суммированием которых реализуются любые интересующие нас события. Предполагается, что элементарные события несовместны: при выполнении опыта реализуется одно и только одно элементарное событие.

Пример 1. Рассмотрим ситуацию, в которой нас интересует событие “пролетела птица”. Это событие не является элементарным, а образует множество, состоящее из элементарных событий: “пролетел воробей”, “пролетела ворона” и так далее.

5

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей – точная математическая наука, позволяющая рассчитывать вероятности “вторичных” событий по “первичным”, которые считаются известными и принимаются безотносительно к их обоснованности. Пользователь полученных с использованием теории вероятностей выводов должен отдавать себе отч¸т, что при неправильном задании “первичных” вероятностей выводы будут неверными, но претензии при этом должно предъявлять не специалисту по теории вероятностей, а тем, кто задал “первичные” вероятности.

На практике используются три способа определения “первичных” вероятностей: классический, геометрический и статистический.

Классический способ определения вероятностей

Классический способ определения вероятностей используется в ситуациях, когда интересующие случайные события образуют полную группу событий. События, входящие в полную группу событий, обычно называются элементарными и должны удовлетворять тр¸м условиям:

1.При проведении опыта обязательно происходит одно из событий,

2.События несовместны,

3.Вероятности событий, входящих в полную группу, одинаковы.

События, входящие в полную группу событий, могут считаться элементарными.

Вероятность события A, связанного с полной группой событий, равна отношению числа элементарных событий, при наступлении которых событие A наступает, к общему числу элементарных событий:

p = mn ;

n - общее число элементарных событий, m - число элементарных событий, при которых наступает событие A.

Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет ч¸тное число?

Решение: При однократном бросании кости выпадает одно из чисел: 1;2;3;4;5;6. Интересующее событие происходит, если выпадет одно из тр¸х чисел: 2;4;6. Вероятность того, что выпадет ч¸тное число равна p = 3=6 = 0; 5.

6

Геометрический способ определения вероятностей

Геометрический способ определения вероятностей представляет способ определения вероятностей в случае, когда количество элементарных событий, образующих полную группу событий, бесконечно. В этом случае вероятность каждого элементарного события представляет бесконечно малую величину, а вероятность множества, состоящего из элементарных событий вычисляется как мера (например, длина, площадь, объ¸м и так далее) характеризующая это множество. В этом случае вероятность любого множества определяется как отношение меры данного множества к мере всей полной группы событий.

Пример 3. Производится выстрел по мишени. Предполагается, что вероятность попадания в любую точку мишени одинакова, а в результате выстрела мишень обязательно поражается. Тогда вероятность попадания в некоторую область мишени равна отношению площади этой области и площади мишени.

В аксиоматическом обосновании теории вероятностей, абстрагируясь от конкретных обстоятельств, при введении понятия случайного события, принимается, что существует вероятностное пространство -, по существу, аналог полной группы событий, включающее также пустое событие ;. На н¸м зада¸тся ¾-алгебра событий, представляющая множество множеств A элементарных событий, удовлетворяющее свойству сч¸тной аддитивности. На н¸м зада¸тся аддитивная функция P (A), удовлетворяющая условиям нормировки P (-)=1, P (;)=0. По существу, функция P (A) представляет меру множества A, которая в теории вероятностей называется вероятностью.

Статистический способ определения вероятностей

Все рассмотренные выше способы определения вероятности в конкретных задачах могут оказаться непригодными, поскольку они неявно предполагают существование элементарных событий, вероятности которых одинаковы. Если исследователь не очень внимательно относится к назначению событий, которые он считает элементарными, дальнейшее использование рассчитанных вероятностей, может формально правильным пут¸м, привести к неверным, по существу, результатам в силу неадекватности принятых вероятностей исследуемой системе.

Статистический способ определения вероятностей является универсальным и вытекает из способа использования результатов теории вероятностей. Согласно статистическому способу производится некоторое количество одинаковых, независимых опытов, при выполнении каждого из которых может произойти интересующее событие A. Пусть произведено N опытов, событие A произошло в M опытах. Тогда за вероятность

7

события A принимается отношение M к N:

P (A) = MN :

Недостатком статистического способа определения вероятностей является его малая точность. Для того, чтобы получить оценку вероятности с приемлемой точностью нужно выполнить количество опытов, равное сотням, тысячам, или ещ¸ более, что обычно нереализуемо.

Пример 4. Пусть требуется оценить вероятность того, при однократном бросании монеты выпадет ор¸л. Из классического способа определения вероятностей эта вероятность равна 0,5. Допустим, применяется статистический метод определения вероятностей, и монета бросается два раза. Тогда, как легко проверить, основываясь на рассматриваемых ниже методах, вероятность правильного определения требуемой вероятности равна 0,5: в половине случаев применения статистического метода определения вероятности она будет определена неверно.

В основе теории вероятностей лежат простые формулы, позволяющие вычислять вероятности событий, представляющих суммы и произведения других событий. Эти формулы составляют содержание теорем сложения и умножения вероятностей. Обычно предполагается, что теорема

– это результат (например, формула) доказательства. Доказательства теорем сложения и умножения вероятностей в строго математическом смысле не являются доказательствами; они показываются на примерах и обосновываются многократным опытом применения.

ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика - это наука, занимающаяся исследованием комбинаций из элементов некоторого множества. Формулы комбинаторики используются в классическом способе определения вероятностей. В настоящем разделе рассматриваются три простейшие формулы комбинаторики: размещений, перестановок и сочетаний.

Формула размещений

Пусть имеется n мест и m предметов (m · n). Требуется определить количество размещений по местам, в предположении, что на каждое место можно поместить только один предмет.

Будем рассуждать следующим образом. Возьмем первый предмет. Его можно разместить n способами: на любое из n мест. Если первый предмет размещ¸н, второй предмет можно поместить на любое из n ¡ 1

8

оставшихся мест. Два предмета (первый и второй) можно, таким образом разместить n(n ¡ 1) способами. Повторяя это рассуждение, найд¸м, что m предметов можно разместить на n местах

Amn = n(n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : (n ¡ m + 1)

способами. Это и есть формула размещений. Е¸ можно записать в другом виде:

Формула перестановок

Перестановки представляют частный случай размещений, когда число предметов равно числу мест, на которые их надо разместить. Очевидно, что при переходе от одного расположения предметов к другому их надо переставить, отсюда и название перестановки. Формула перестановок имеет вид:

Pn = n!:

Формула сочетаний

В перестановках имеет значение, на какое конкретно место помещ¸н предмет. Например, число вариантов раздать билеты в театр студентам группы определяется по формуле числа размещений, потому что места в театре отличаются качеством. Билеты на дискотеку не связаны с определ¸нными местами, поэтому для студента безразлично, получит ли он билет ь1 или билет ь2. Здесь число вариантов определяется формулой сочетаний – из данного множества студентов образуется сочетание студентов – группа студентов, получивших билеты на дискотеку. Число сочетаний из n элементов в группу из m элементов обозначается как Cnm.

Формулу для числа сочетаний выведем следующим образом. Усложним процедуру для размещения m предметов по n местам, (m · n). Вначале составим группы из мест, на которые будем размещать предметы. Количество таких групп определяется пока неизвестной формулой для числа сочетаний Cnm. Каждой такой группе соответствует количество размещений, получаемых перекладыванием (перестановками) элементов на принадлежащих группе местах: число таких перестановок равно Pm. Общее число размещений равно произведению числа групп на число размещений предметов в группе: Amn = Cnm ¢ Pm, откуда получаем

Am Cm = n ;

n Pm

или, с уч¸том предыдущих формул:

9

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P (A + B) = P (A) + P (B):

Пример 5. Событие, состоящее в том, что в результате бросания игральной кости выпадет ч¸тное число, представляет сумму тр¸х независимых событий: выпадет два, выпадет четыре, выпадет шесть очков. Вероятность каждого из этих событий, они входят в полную группу событий, равна 1/6. Поэтому вероятность того, что выпало ч¸тное число равна 1=6+1=6+1=6=1=2. Этот же результат можно получить, применяя классический способ определения вероятности.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей, минус вероятность их произведения:

P (A + B) = P (A) + P (B) ¡ P (AB):

Пример 6. Требуется рассчитать вероятность того, что в результате бросания игральной кости выпадет ч¸тное число (событие A) или число, большее тр¸х (событие B).

Решение: Вероятность P (A) равна 1/2. Вероятность B, то есть что выпадет одно из чисел 4;5;6, тоже равна 1/2. Произведение двух этих событий заключается в том, что выпадет одно из чисел 4 или 6, его вероятность равна P (AB) = 2=6 = 1=3. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей совместных событий

P (A + B) = P (A) + P (B) ¡ P (AB) = 12 + 12 ¡ 13 = 23:

С другой стороны, событие A + B заключается в том, что выпадет одно из чисел 2;4;5;6, его вероятность, согласно классическому методу равна 4/6=2/3. Теорема сложения вероятностей позволила сосчитать требуемую вероятность правильно.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для обоснования понятия условной вероятности рассмотрим ситуацию предыдущего примера.

10