РГР Мат задачи

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт энергетики и электротехники

Кафедра «Электроснабжение и электротехника»

Расчетно-графическая работа №1

По дисциплине:

«Математические задачи электроэнергетики и электрохозяйства»

Руководитель: Кузнецов В.Н.

Исполнитель: Осипов А.Д.

Группа: ЭЭТп -1401

Вариант: 60

Тольятти 2016

Задание:

1. Получить группированный вариационный ряд;

2. Построить гистограмму;

3. Построить кумулятивную кривую;

4. Найти:

1. среднее арифметическое (

2. медиану (, моду числа;

3. дисперсию D ; среднее квадратичное отклонение S;

4. начальные и центральные моменты _к , _к , k = 1, 2, 3, 4;

5. коэффициент ассиметрии (, эксцесс ;

6. нижний, верхний квартиль: x_0.25 , x_0.75 , x_0.95;

5. а) Определить вероятность того, что среднее значение искажения синусоидальности отличается от среднего значения по выборке не более чем на 0,1%.

б) Определить границы, в которых с надежностью 0,99 заключено среднее значение коэффициента искажения синусоидальности напряжения.

6. Заполнить протокол результата измерений, сделать вывод о соответствии требования ГОСТа.

1. Запишем группированный вариационный ряд чисел согласно заданному варианту:

3,61; 2,66; 1,30; 2,27;0,10 ;2,76 ;2,21; 0,90; 1,02; 2,67; 1,77; 2,61; 0,33; 5,08; 0,23; 1,24; 1,77; 1,69; 5,80; 0,79; 2,65; 1,07; 2,02; 0,38; 1,16; 0,77; 4,48; 6,33; 7,69; 3,47; 1,61; 1,35; 0,34; 0,46; 1,58; 4,26; 1,85; 1,08; 1,49; 3,49; 2,76; 2,67; 2,24; 1,45; 1,70; 0,52; 2,96; 4,26; 0,82; 0,13; 3,05; 2,67; 1,19; 1,60; 8,63; 3,50; 0,25; 1,70; 0,37; 3,08; 0,38; 0,66; 2,66; 0,26; 0,94; 2,60; 050; 1,53; 2,03; 0,02; 0,07; 1,53; 2,49; 3,54; 1,03; 4,47; 3,56; 0,99; 1,65; 3,65; 0,54; 1,15; 7,05; 1,87; 1,99; 2,95; 2,25; 2,44; 1,27; 3,29; 3,50; 1,45; 0,28; 3,86; 0,13; 2,79; 0,00; 2,60; 0,50; 2,69

Теперь сгруппируем числа в порядке возрастания от меньшего к большему:

0,00; 0,02; 0,07; 0,10; 0,13; 0,13; 0,23; 0,25; 0,26; 0,28; 0,33; 0,34; 0,37; 0,38; 0,38; 0,46; 0,50; 0,50; 0,52; 0,54; 0,66; 0,77; 0,79; 0,82; 0,90; 0,94; 0,99; 1,02; 1,03; 1,07; 1,08; 1,15; 1,16; 1,19; 1,24; 1,27; 1,30; 1,35; 1,45; 1,45; 1,49; 1,53; 1,53; 1,58; 1,60; 1,61; 1,65; 1,69; 1,70; 1,70; 1,77; 1,77; 1,85; 1,87; 1,99; 2,02; 2,03; 2,21; 2,24; 2,25; 2,27; 2,44; 2,49; 2,60; 2,60; 2,61; 2,65; 2,66; 2,66; 2,67; 2,67; 2,67; 2,69; 2,76; 2,76; 2,79; 2,95; 2,96; 3,05; 3,08; 3,29; 3,47; 3,49; 3,50; 3,50; 3,54; 3,56; 3,61; 3,65; 3,86; 4,26; 4,26; 4,47; 4,48; 5,08; 5,80; 6,33; 7,05; 7,69; 8,63

Найдем наибольшее значение из представленных 100 значений несинусоидальности напряжения:

X_max = 8.63

Теперь найдем интервал между разрядами по формуле 1.1:

h = (1.1)

h – интервал между разрядами;

X_max – наибольшее значение из всех представленных чисел.

Рассчитаем интервалы по формуле 1.1 и округлим до целого числа:

h =

Далее находим частоты n_i, и относительные частоты ω_i.

Частота - показатель, выражающий собой число повторений или возникновения событий (процессов). 

Относительные частоты – это отношение частот к общему числу наблюдений:

ω_i = (1.2)

ω_i – относительная частота;

n_i – частота.

Рассчитаем относительную частоту ω_i для первого разряда по формуле 1.2:

ω₁ = = 0,27

Теперь рассчитаем накопленные частоты n_i^нак и относительные накопленные частоты ω_i^нак.

Накопленная частота интервалов –  это число, полученное последовательным суммированием частот в направлении от первого интервала к последнему, до того  интервала включительно, для которого определяется накопленная частота.

Относительная накопленная частота это отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений:

ω_i^нак = (1.3)

ω_i^нак – относительная накопленная частота;

n_i^нак – накопленная частота.

Рассчитаем относительную накопленную частоту для 2 разряда по формуле 1.3:

ω₄^нак = = 0,55

Данные о разрядах, количестве чисел входящих в разряд, частоты, относительные частоты, накопленные частоты и накопленные относительные частоты приведены в таблице 1.1

Таблица 1.1

i	x		ni	ωi	niнак	ωiнак
1	0	1,0	27	0,27	27	0,27
2	1,0	2,0	28	0,28	55	0,55
3	2,0	3,0	23	0,23	78	0,78
4	3,0	4,0	12	0,12	90	0,9
5	4,0	5,0	4	0,04	94	0,94
6	5,0	6,0	2	0,02	96	0,96
7	6,0	7,0	1	0,01	97	0,97
8	7,0	8,0	3	0,03	100	1
Сумма	-	-	100	1	-	-

2. Построим гистограмму по результатам таблицы 1.1.

По оси X отложены числовые разряды (x), по оси Y – частоты (n_i). Гистограмма приведена на рисунке 1.

По полученной гистограмме найдем моду:

= 0,8

3. Построим кумулятивную кривую по результатам таблицы 1.1.

По оси X отложены числовые разряды (x), по оси Y – накопленные частоты (n_i^нак).

Кумулятивная кривая приведена на рисунке 2.

4. По полученной кумулятивной кривой определим:

• Медиану:

= 1,8

• Верхний, нижний квартиль и 5% точку:

X_0.25 = 0.9

X_0.75 = 2.9

X_0.95 = 5.5

• Найдем значения T₁ и T₂:

Для этого из точки 2 и 3 по оси абсциссы проведем проекцию на кумулятивную кривую, затем из полученной точки проведем проекцию на ось ординат и получим соответствующие значения.

Разность n_i^нак _max и полученных значений и будет являться значением T₁ и T₂:

T₁ = 100 – 55 = 45

T₂ = 100 – 78 = 22

В таблице 4.1 представлены значения начальных моментов (_к).

Таблица 4.1

xi	xi∙ni	xi2∙ni	xi3∙ni	xi4∙ni
0,5	13,5	6,75	3,37	1,68
1,5	42	63	94,5	141,75
2,5	57,5	143,75	359,37	898,43
3,5	42	147	514,5	1800,75
4,5	18	81	364,5	1640,25
5,5	11	60,5	332,75	1830,12
6,5	6,5	42,25	274,62	1785,06
7,5	22,5	168,75	1265,62	9492,18
32	213	713	3209,25	17590,25
Моменты νК	2,13	7,13	32,09	175,9

Начальные моменты рассчитываем по формуле:

ν_k = (4.1)

ν₁ = = 2.13

ν₂ = 7.13

ν₃ = 32.09

ν₄ = 175.9

В результате заполнения таблицы найдены начальные моменты. На основе начальных моментов вычисляем:

• Центральные моменты (_к):

μ₁ = 0

μ₂ = ν₂ - ν₁² = 2,59 (4.2)

μ₃ = ν₃ - 3∙ν₁∙ν₂ + 2∙(ν₁)² = 5,85 (4.3)

μ₄ = ν₄ - 4∙ν₁∙ν₃ + 6∙(ν₁)²∙ν₂ - 3∙(ν₁)⁴ = 34,81 (4.4)

• Среднее арифметическое (

(4.5)

• Дисперсию (D):

D = ν₂ - ν₁² = 2,59 (4.6)

ν₂ – второй начальный момент;

ν₁ – первый начальный момент.

• Среднеквадратичное отклонение (S):

S = = 1,61 (4.6)

• Коэффициент ассиметрии :

А = (4.8)

А= = 1,4

Коэффициент ассиметрии - положительный, следовательно распределение имеет левостороннюю скошенность .

• Эксцесс (:

= (4.9)

= = 2,18

5. а) Определим вероятность того, что среднее значение искажения синусоидальности отличается от среднего значения по выборке не более на 0,1%.

Т.к. доверительный интервал = 0,1, найдем среднее квадратичное отклонение. Число измерений превышает 40, значит, воспользуемся формулой:

= = 0.161 (5.1)

Найдем значение t для расчета функции Лапласа по следующей формуле:

t = = = 0.621 (5.2)

Найдем значение функции Лапласа , используя таблицу значений функций Лапласа:

= 0,4647 46%

б) Определим границы, в которых с надежностью 0,99 заключено среднее значение коэффициента искажения синусоидальности напряжения:

t = ^-1() = ^-1(0,99) = 2,58

= t = 2.58 0.161 = 0.42 (5.3)

₀ = (2,13 0,42)

1,71 2,55

Вывод: на основании данных, полученных в расчетно – графической работе, можно сделать вывод, что требование ГОСТ - 32144-2013 по нормально и предельно допустимому значению не выполняются.