Федеральное государственное автономное

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИВМиИТ (ВМК)

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«Квадратурные формулы»

Работу выполнил:

студент 3 курса 09-315 группы

Халиков Роман Радиевич.

Работу проверил:

Глазырина Людмила Леонидовна.

“___”_______________ 2015 г.

______________

(подпись)

Казань 2015

Оглавление

Постановка задачи. 3

Решение задачи. 5

Составная квадратурная формула левых прямоугольников. 6

Составная квадратурная формула трапеций. 7

Составная квадратурная формула Симпсона. 9

Составная квадратурная формула Гаусса. 10

Вывод. 12

Листинг программы. 12

Список используемой литературы 14

Постановка задачи.

Одна из специальных функций математической физики – интегральный синус – определяется следующим образом:

Цель задания – изучить и сравнить различные способы приближённого вычисления данной функции при помощи различных квадратурных формул.

Для этого:

1. Протабулировать на отрезкес шагомс точностью, основываясь на ряде Тейлора, предварительно вычислив его:

где ,,,, и получить, таким образом, таблицу:

, , .

2. Вычислить значение функции при помощи составных квадратур левых прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса и получить таблицу:

Вычисления производятся с точностью , требуется выполнение условия:

где – значение функции, полученное в результате вычисления при помощи формулы квадратур при разбиении данной функции начастей.

В итоге результат вычислений, произведённых в пункте 2, должен совпасть с результатом табулирования в пункте 1. Это и является предметом задачи.

Решение задачи. Табулирование.

Разложение функции в ряд Тейлора выполняется по следующей формуле:

Для простоты вычислений сначала разложим в ряд Тейлора функцию

затем поделим все слагаемые ряда на и получим нужный нам ряд:

Чтобы избежать переполнения при вычислении факториала, избавимся от него, представив в виде произведенияна некоетакое, что:

Получаем таблицу значений функции, с которой и будем сравнивать значения вычислений при помощи квадратурных формул.

0	0
0,4	0,396462
0,8	0,772096
1,2	1,108047
1,6	1,389181
2	1,605413
2,4	1,752486
2,8	1,832097
3,2	1,851401
3,6	1,821948
4	1,758203

Составная квадратурная формула левых прямоугольников.

Квадратурная формула левых прямоугольников представляется следующим образом:

где – погрешность квадратуры, вычисляемая по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Для получения составной квадратурной формулы представим величину в следующем виде:

где .

Погрешность составной квадратуры вычисляется по следующей формуле:

Оценка погрешности:

Отсюда видно, что погрешность составной квадратуры в раз меньше, чем погрешность обычной квадратуры. Вычислимпри помощи составной квадратуры левых прямоугольников:

0	0	0	0	2
0,4	0,396462	0,396456	0,00000521	1024
0,8	0,772096	0,772055	0,00004033	1024
1,2	1,108047	1,107916	0,0001309	1024
1,6	1,389181	1,388887	0,00029366	1024
2	1,605413	1,60488	0,00053261	1024
2,4	1,752486	1,751643	0,00084228	1024
2,8	1,832097	1,830893	0,00120411	1024
3,2	1,851401	1,84981	0,00159119	1024
3,6	1,821948	1,819974	0,00197365	1024
4	1,758203	1,75588	0,00232292	1024