ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

СЕМЕСТРОВАЯ РАБОТА №1 ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

ТАБУЛИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

ВАРИАНТ 16

Работу выполнил

студент 3 курса группы 09-315

Халиков Р.Р.

Проверила

доцент Глазырина Л.Л.

Казань ­- 2015

Оглавление

Постановка задачи. 3

Вывод. 9

Листинг программы: 10

12

Список используемой литературы 12

Постановка задачи.

Одна из специальных функций математической физики – интегральный синус, определяется следующим образом:

.

Цель задания – изучить и сравнить различные способы приближенного вычисления этой функции.

Для этого:

1) Протабулировать Si(x) на отрезке [a,b] с шагом h с точностью ɛ, основываясь на ряде Тейлора, предварительно вычислив его:

, где a=0,b=4,h=0.4, ɛ=10^-6 , и получить, таким образом, таблицу:

x0	x0	…	x0
f0	f0	…	f0

, , i=0,…,n.

2) По полученной таблице значений построить интерполяционный полином Лагранжа, приближающий Si(x): .

Затем вычислить погрешность интерполирования , где z_n(x) – погрешность.

3) Проделать описанные выше действия, взяв в качестве узлов интерполяции равномерно распределенные узлы {x_i}, i =0,n и корни полинома Чебышева, вычисляемые по формуле:

Решение задачи

Для вычисления интерполяционного полинома Лагранжа необходимо построить табличную функцию:

, где a=0, b=4, h=0.4, ɛ=10^-6 .

Чтобы избежать переполнения в переменных при вычислении факториала, избавимся от него, представив a_n в виде произведения a_n-1 на некое q_n такое, что: .

Находим и так далее, пока:

.

В нашем случае: .

Таблица и график сумм (равнораспределенные узлы):

Xi	S(Xi)
0	0
0.4	0.396462
0.8	0.772096
1.2	1.108047
1.6	1.389181
2	1.605413
2.4	1.752486
2.8	1.832097
3.2	1.851401
3.6	1.821948
4	1.758203

Посчитав интерполяционный полином Лагранжа по формуле:

,

получим общую таблицу:

xi	S(xi)	Ln(xi)	S(xi)-Ln(xi)
0	0	0	0
0.4	0.396462	0.395663	0.000798
0.8	0.772096	0.772096	0
1.2	1.108047	1.108316	0.000269
1.6	1.389181	1.389181	0
2	1.605413	1.605223	0.00019
2.4	1.752486	1.752486	0
2.8	1.832097	1.832355	0.000259
3.2	1.851401	1.851401	0
3.6	1.821948	1.821205	0.000742
4	1.758203	1.758203	0

Таблица и график погрешностей (равнораспределенные узлы):

0	0
0.4	0.000798
0.8	0
1.2	0.000269
1.6	0
2	0.00019
2.4	0
2.8	0.000259
3.2	0
3.6	0.000742
4	0

Максимальная погрешность для n=5 составила 0.000798.

Вычисляем максимальную погрешность для n<35 по формуле: .

Получим зависимость:

Отсюда мы можем заметить, что с увеличением n погрешность постепенно уменьшается, затем резко возрастает.

Эффект неустойчивости возникает при n=33, максимальная погрешность в этом случае составила 0.0016526.

2 часть задания.

Далее построим интерполяционный полином Лагранжа, взяв в качестве узлов корни полинома Чебышева, вычисляемые по следующей формуле:

, i=0, …, n, где n=5.

Таблица значений функций, значений интерполяционных полиномов Лагранжа и погрешностей (для чебышевских узлов):

x_ch	S_ch	Ln(x_ch)	S_ch-L_ch
0	0	0.000405	0.000405
0.4	0.396462	0.396154	0.000308
0.8	0.772096	0.772407	0.000311
1.2	1.108047	1.108371	0.000324
1.6	1.389181	1.389034	0.000147
2	1.605413	1.605003	0.00041
2.4	1.752486	1.752342	0.000144
2.8	1.832097	1.832409	0.000312
3.2	1.851401	1.851695	0.000294
3.6	1.821948	1.821661	0.000287
4	1.758203	1.758574	0.000371

График погрешностей (узлы Чебышева):

0	0.000405
0.4	0.000308
0.8	0.000311
1.2	0.000324
1.6	0.000147
2	0.00041
2.4	0.000144
2.8	0.000312
3.2	0.000294
3.6	0.000287
4	0.000371

По Чебышевским узлам максимальная погрешность при n=5 составила 0.00041 вместо 0.000798 в предыдущем случае, что доказывает, что чебышевские узлы дают меньшую погрешность и, соответственно, более точный результат.

Зависимость максимальной погрешности от n (для чебышевских узлов):

Как мы видим, погрешность значительно ниже, при использовании чебышевских узлов мы получаем наиболее точные результаты.

Вывод.

В ходе исследования было экспериментально доказано, что интерполирование с использованием чебышевских узлов более точно, чем интерполирование с использованием равнораспределенных узлов.

При увеличении числа точек интерполирования,при использовании равнораспределенных узлов наблюдается убывание погрешности, затем при n=33 погрешность резко возрастает. При использовании чебышевских узлов погрешность всегда убывает.