Модуль 7

«Ряды»

дисциплины

«Математический анализ»

Содержание лекционного материала

Лекция 37. Числовые ряды. Сходимость. Свойства сходящихся рядов. Признаки сравнения.

Основные понятия: числовой ряд, сумма ряда, сходимость ряда.

1. Основные понятия.

Суммы называются частичными суммами ряда

,

где – действительные или комплексные числа.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм . Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда .

2. Необходимое условие сходимости ряда

Если сходится, то .

3. Признаки сравнения.

Пусть . Тогда:

1. если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2. если расходится ряд , то расходится и ряд .

3. (предельный признак сравнения)

пусть , и, . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Литература к лекции 37

1.Я.С.Бугров, C.М. Никольский. Высшая математика: - Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука (Дрофа). 2007.

Лекция 38. Признаки Даламбера, Коши. Интегральный признак Коши. Признак Лейбница.

Основные понятия: числовой ряд, сходимость, знакочередующийся ряд, абсолютная сходимость, условная сходимость.

План лекции.

1. Признаки Даламбера, Коши.

Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами >0 и , тогда

1. При ряд сходится,

2. При ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости),

3. В случае требуются дополнительные исследования.

Признак Коши (радикальный). Пусть — ряд с неотрицательными членами и , тогда

1) в случае ряд сходится,

2) в случае ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости),

3) в случае требуются дополнительные исследования.

2. Интегральный признак Коши.

Если функция и (монотонно убывает) при всех , то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

3. Условия сходимости рядов Дирихле.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Теорема Лейбница. Если и для всех , то знакочередующийся ряд

сходится и его сумма .

Следствие. Для всех - модуль -ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

5. Абсолютная сходимость. Условная сходимость.

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости используют признаки сходимости рядов с положительными членами, применяемых к ряду .

Если ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся.

Признак Абеля-Дирихле. Пусть дан ряд , в котором последовательность монотонно стремится к , а последовательность частичных сумм ряда равномерно ограничена, тогда ряд - сходится.

Литература к лекции 38

1.Я.С.Бугров, c.М. Никольский. Высшая математика: - т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука (Дрофа). 2007.

Лекция 39. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Основные понятия: степенной ряд, область сходимости, радиус сходимости.

1. Сходящийся в области функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этой области, если для  любого найдется число такое, что для остатка функционального ряда при всех и  одновременно имеет место оценка .

2. Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд сходится области и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для всех , начиная с некоторого номера, члены ряда удовлетворяют условию . Тогда ряд сходится абсолютно и равномерно в области .

3. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех , таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге . Если же ряд расходится в точке , то он расходится и для всех таких, что .

Замечание. а) Из теоремы Абеля следует существование круга сходимости. б) Из признака Вейерштрасса следует: если степенной ряд абсолютно сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

Литература к лекции 39.

1.Я.С.Бугров, c.М. Никольский. Высшая математика: - т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука (Дрофа). 2007.

Лекция 40. Ряд Тейлора.

Основные понятия: ряд Тейлора, ряд Маклорена.

1. Понятие ряда Тейлора.

2. Разложение элементарных функций (e^x, cosx, sinx, ln(1 + x), arctgx, (1 + x)^). Разложения основных элементарных функций:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

3. Применение ряда Тейлора в приближенных вычислениях.

Литература к лекции 40.