Модуль 7

«Ряды»

дисциплины

«Математический анализ»

Методическое пособие к практическим занятиям

Методическое пособие к практическим занятиям предназначено для оказания помощи студентам по самостоятельному решению вне аудитории заданий, указанных в семестровом плане (см. документ «План практических занятий»). В нем приводятся подробные решения типовых задач. Особое внимание уделяется наиболее сложным (узловым) этапам решений. После разбора решений типовых заданий настоятельно рекомендуется решить предлагаемые задания для самостоятельного решения.

Занятие 8

Сумма числового ряда. Сходимость

Пример. Исследовать сходимость геометрической прогрессии:

.

Решение. Пусть обозначает-ую частичную сумму геометрической прогрессии, т.е..

Следовательно, .

Отсюда и для частичной суммы геометрической прогрессии справедливо равенство:

.

Находим

Из определения сходящегося ряда следует, что геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда и ее сумма, в этом случае, равна.

Ответ:

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд - геометрическая прогрессия, знаменатель которой .

Следовательно, как следует из примера (2.1.1) ряд сходится.

Ответ: сходится и его сумма.

Необходимое условие сходимости ряда

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Преобразуем модуль . Отсюда по второму замечательному пределу

.

Это означает, что не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Признаки сравнения рядов

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере (2.1.2) ряд сходится. Кроме того, имеет место неравенствопри всех. Так как члены исследуемого ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд также сходится.

Ответ: сходится.

Предельный признак сравнения

Пусть ,и,. Тогда рядыисходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как известно, гармонический ряд расходится. Поэтому по предельному признаку сравнения расходится ряд, так как

.

Ответ: расходится.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 – 15 исследовать сходимость числового ряда с общим членом u_n.

1. .2. .

3. .4. .

5. .6. .

7. .8. .

9. .10. .

11. .12. .

13. .14. .

15. .

Ответы.

1. Расходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Сходится. 6. Сходится при а > 1. 7. Сходится. 8. Сходится. 9. Сходится. 10. Сходится. 11. Расходится. 12. Сходится. 13. Сходится. 14. Сходится при α > 0. 15. Расходится.

Занятие 9

Признак Даламбера

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Исследуем сходимость по признаку Даламбера, а именно, найдем

.

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: сходится.

Признак Коши

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль

.

Отсюда

.

Поэтому по признаку Коши ряд сходится абсолютно.

Ответ: сходится абсолютно.

Интегральный признак Коши

Пример. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда Дирихле.

Решение. Рядом Дирихле называется ряд вида . Так какпри всехи, то исследуем сходимость по интегральному признаку сходимости. Вычисляем

Отсюда

Соответственно,

Ответ: ряд

Ряд Дирихле сходится, еслии расходится, если.

Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда .

Решение. Гармонический ряд – это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд – это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд сходится.

Ответ: сходится.