3 семестр ЭКТ / Учебники и методички / Условия Коши-Римана. Вычислить значение функции
..pdfУсловия Коши-Римана.
1) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w e z i .
Функция, имеющая производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.
Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):
Если z x iy , |
w f z u x , |
y iv x , |
y , то в каждой точке дифференцируемости функции |
f z |
||
выполняются равенства |
|
|
|
|
||
u |
v , |
u |
v |
|
|
|
x |
y |
y |
x |
|
|
|
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy :
w e z i e x iy i e x i y e x e i y e x cos y i sin y
e x cos y i sin y e x cos y i e x sin y
Выделим действительную u и мнимую v части функции w : u x , y e x cos y
v x, y e x sin y
Вычисляем частные производные:
u |
e x cos y |
e x cos y |
x |
x |
|
v |
e x sin y |
e x cos y |
y |
y |
|
u |
e x cos y |
e x sin y |
y |
y |
|
v |
e x sin y |
e x sin y |
x |
x |
|
- условия Коши-Римана выполняются.
Литература:
1)Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2);
2)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2006, стр. 530, стр. 532...535 (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).
2)Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 2 4i z 12 .
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy : w x iy 2 4i x iy 12 x 2 2xy i y 2 4x i 4 y 12
x 2 y 2 4 y 12 2xy 4x i
1
Выделим действительную u |
и мнимую v части функции w : |
|||
u x , y x 2 y 2 4 y 12 |
|
|||
v x , y 2xy 4x |
|
|
||
Вычисляем частные производные: |
|
|||
u |
x 2 y 2 4 y 12 |
|
2x |
|
x |
|
|
x |
|
v |
2xy 4x y 2x |
|
|
|
y |
|
|
||
|
u |
x 2 y 2 4 y 12 |
2 y 4 |
|
|
y |
|
|
y |
|
v |
2xy 4x x 2 y 4 |
||
|
x |
- условия Коши-Римана выполняются.
3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz 1 .
Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную:
sin z |
e iz e iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и примем во внимание, что z x iy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin iz 1 |
e i i x y 1 |
e i i x y 1 |
|
e x i y i e x i y i |
|
e x e i y 1 e x e i y 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
i y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
e x e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||
2 |
e |
|
cos |
2 |
|
i sin y 1 |
|
|
cos y 1 |
|
sin y 1 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
21 e x sin y 1 i cos y 1 e x sin y 1 i cos y 1
21 e x sin y 1 i cos y 1 e x sin y 1 i cos y 1
21 e x sin y 1 i e x cos y 1 e x sin y 1 i e x cos y 1
21 sin y 1 e x e x i cos y 1 e x e x
Действительная и мнимая части числа u i v :
u x , y 21 sin y 1 e x e x v x , y 21 cos y 1 e x e x
2
Вычисляем частные производные: |
|
|||
2 |
u |
sin y 1 e x e x |
sin y 1 e x e x |
|
|
x |
|
x |
|
2 |
v |
cos y 1 e x e x |
sin y 1 e x e x sin y 1 e x e x |
|
|
y |
|
y |
|
и |
|
sin y 1 e x e x |
|
|
2 |
u |
cos y 1 e x e x |
||
|
y |
|
y |
|
2 |
v |
cos y 1 e x e x |
cos y 1 e x e x |
|
|
x |
|
x |
|
Как видим, условия Коши-Римана |
|
|||
u |
|
v |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||
|
u |
v |
|
|
|
|
|||
|
y |
|
x |
|
|
|
|
для функции sin iz 1 выполняются.
4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z : w sin 2z 3z .
Функция w f z называется аналитической в точке z , если она дифференцируема как в самой точке z , так и в некоторой её окрестности.
Функция w f z , дифференцируемая в каждой точке некоторой области D , называется аналитической функцией в этой области.
Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):
Если z x iy , |
w f z u x , |
y i v x , |
y , то в каждой точке дифференцируемости функции |
f z |
||
выполняются равенства |
|
|
|
|
||
u |
v , |
u |
v . |
|
|
|
x |
y |
y |
x |
|
|
|
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy : w sin 2x i 2 y 3 x iy
e i 2x i2 y e i 2x i2 y 3x i3 y
2i
e 2 y i2x e 2 y i2x 3x i3 y
2i
e 2 y e i2x e 2 y e i2x 3x i3 y
2i
e 2 y cos 2x i sin 2x e 2 y cos 2x i sin 2x 3x i3 y
2i
e 2 y cos 2x i e 2 y sin 2x e 2 y cos 2x i e 2 y sin 2x 3x i3 y
2i
3
|
|
e 2 y e 2 y cos 2x i e |
2 y e 2 y sin 2x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x i3 y |
|
|
|
|
2i |
2 y e 2 y sin |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i e 2 y e 2 y cos 2x e |
2x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x i3 y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e 2 y e 2 y sin 2x i |
1 e 2 y e 2 y |
cos 2x 3x i3 y |
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
e 2 y e 2 y sin 2x 3x |
i 1 e 2 y e 2 y cos 2x 3 y |
|
|||||
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
ch 2 y sin 2x 3x i sh 2 y cos 2x 3 y
Формулы, использованные в преобразованиях:
sin z |
|
e iz e iz |
|
, |
z C |
|||
|
|
|
2i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
sh x |
e x e x |
, |
x R |
|||||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
ch x |
|
e x e x |
|
, |
x R |
|||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
Выделим действительную и мнимую части w z u x , y i v x , y : u x , y ch 2 y sin 2x 3x
v x , y sh 2 y cos 2x 3 y
Вычисляем частные производные: |
|
|
u |
ch 2 y sin 2x 3x x |
2 ch 2 y cos 2x 3 |
x |
||
v |
sh 2 y cos 2x 3 y y |
2 ch 2 y cos 2x 3 |
y |
u |
ch 2 y sin 2x 3x y |
2 sh 2 y sin 2x |
||
y |
||||
v |
sh 2 y cos 2x 3 y x |
2 sh 2 y sin 2x |
||
x |
||||
Итак, условия Коши-Римана |
|
|||
u |
v , |
u |
v |
|
x |
y |
y |
x |
|
выполнены; следовательно, функция w f z sin 2z 3z является аналитической.
4
5) Доказать аналитичность функции и найти производную:
w e z e z
2
Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy :
|
|
|
e x iy e x iy |
1 |
|
w |
|
|
2 e x cos y i sin y e x |
cos y i sin y |
|
2 |
|||||
|
21 |
e x cos y i sin y e x cos y i sin y |
|
||
|
1 |
e x cos y i e x sin y e x cos y i e x sin y |
|||
|
2 |
|
|
|
|
21 e x e x cos y i e x e x sin y
e x e x cos y i e x e x sin y
2 2
ch x cos y i sh x sin y
Выделим действительную и мнимую части w z u x , y i v x , y : u x , y ch x cos y
v x , y sh x sin y
Вычисляем частные производные:
u ch x cos y x sh x cos y
x
v sh x sin y y sh x cos y
y
u ch x cos y y ch x sin y
y
v sh x sin y x ch x sin y
x
Условия Коши-Римана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
|
v |
, |
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
y |
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
выполнены; следовательно, функция |
w f z |
|
e z e z |
является аналитической. |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для всякой аналитической функции |
f z u x , y i v x , y производная |
f z выражается через |
||||||||||||||||||
частные производные функций u u x , y и v v x , y : |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
v |
v |
|
u |
|
u |
u |
v |
v |
|
||||
f |
z |
x i x y i y |
|
x i y y i x |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
Вычисляем производную функции f |
z , используя выражение производной функции w z через частные |
|||||||||||||||||||
производные функций u x , y и v x , y : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e z e z |
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
i |
x |
sh x cos y i ch x sin y |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
5
или непосредственно:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
z |
1 |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
e z e z |
|
|
|
|
|
e |
e |
|
||||||||||||
w |
|
|
|
|
2 |
|
|
e |
|
e |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
e x i y e x i y |
|
1 |
e x |
e i y e x e i y |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 e x cos y i sin y e x cos y i sin y
21 e x cos y i sin y e x cos y i sin y
21 cos y e x e x i sin y e x e x
|
e x e x |
cos y i |
e x e x |
sin y |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
sh x cos y i ch x sin y
6)Представить w e 1 2i z , где z x iy , в виде w u x , y i v x, y .
Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6 .
Выделим в данном числе в явном виде действительную u x , y и мнимую части v x , y :
w exp 1 2iz exp 1 2i x iy exp 1 i2x 2 y exp 1 2 y i2x e 1 2 y e i2x
e 1 2 y cos 2x i sin 2x e 1 2 y cos 2x i e 1 2 y sin 2x
- получено комплексное число в алгебраической форме записи.
Re w u x , y e 1 2 y cos 2x
Im w v x , y e 1 2 y sin 2x
|
|
|
|||||||||
Для всякой аналитической функции |
f z u x , y i v x , y производная |
f z выражается через |
|||||||||
частные производные функций u u x , y и v v x , y : |
|
|
|||||||||
|
|
u |
v |
v |
u |
|
u |
u |
v |
v |
|
f |
z x |
i x |
y i y |
|
x i y |
y i x |
|
||||
|
|
Вычислим частные производные
u x , y e 1 2 y cos 2x v x , y e 1 2 y sin 2x
u e 1 2 y cos 2x x 2e 1 2 y sin 2xx
u e 1 2 y cos 2x y 2e 1 2 y cos 2x
y
v e 1 2 y sin 2x y 2e 1 2 y sin 2xy
v e 1 2 y sin 2x x 2e 1 2 y cos 2xx
Поскольку условия Коши-Римана выполняются ( u x v y , u y v x ) для всех точек плоскости xOy ,
исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная
6
w z |
u |
i |
v |
2e 1 2 y sin 2x i 2e 1 2 y cos 2x |
||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке |
z 0 |
|
|
i 0 : |
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2e sin |
|
|
2e cos |
e |
3 i e |
||||
w |
|
3 |
|
i |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Литература:
1) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2).
Вычислить значение функции.
|
7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z |
в точке z 0 2 i . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого z C : |
cos z |
e i z |
e i z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
e i 2 i e i 2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
w 2 i cos 2 i |
|
|
e 1 2i e 1 2i |
|
|
e 1 e 2i e 1 e 2i |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
e 1 cos 2 i sin 2 e 1 cos 2 i sin 2 |
|
cos 2 e 1 e 1 |
i sin 2 e 1 e 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e 1 e 1 |
|
|
e 1 e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos 2 i |
|
|
|
|
sin 2 ch 1 cos 2 i sh 1 |
sin 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
cos 2 i ch 1 cos 2 i sh 1 sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература:
1)Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 2009, том 10, изд. МГТУ, стр. 106;
2)Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 2002, стр. 40.
|
8) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0 |
ln 3 |
i |
, ответ записать |
||||
|
в алгебраической форме. |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого z C : |
th z |
e z e z |
|
|
|
|
|
|
e z e z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Значит
|
|
|
i |
|
e |
ln 3 |
i |
e |
ln 3 i |
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|||||
w z 0 |
th ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ln 3 |
|
i |
|
ln 3 |
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
e |
4 |
e |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
|
|
i |
|
|
3e 4 |
|
|
e |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
i |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
e |
i |
||||
|
3e 4 |
3 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
9 |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
9e 4 |
e |
|
4 |
cos |
|
4 |
|
|
|
cos |
|
i sin |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
i |
e |
|
i |
9 |
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
9e 4 |
|
|
4 |
|
|
|
cos |
|
4 |
|
|
|
cos |
|
i sin |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2 |
i |
2 |
2 i |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
i |
2 i |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 i 9 |
2 |
2 i |
2 |
8 2 i 10 |
2 |
4 5i |
|
|
|||||
|
9 |
2 i 9 |
2 |
2 i |
2 |
10 2 i 8 |
2 |
5 4i |
|
|
|||||
|
4 5i 5 4i |
|
20 25i 16i 20 |
|
40 9i |
|
40 |
i |
9 |
||||||
5 4i 5 4i |
|
25 16 |
|
41 |
|
41 |
41 |
-результат вычисления в алгебраической форме.
9)Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0 1 . Указать главное значение функции.
Логарифмическая функция |
|
|
|||||||||
Ln z ln |
|
z |
|
i arg z 2 k |
k Z |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
Главным значением логарифма числа z |
называют значение, соответствующее главному значению |
||||||||||
аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0 : |
|||||||||||
ln z ln |
z |
i arg z |
|
|
|||||||
► Модуль и аргумент числа z 0 1 1 0i : |
|
||||||||||
|
z 0 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
arg z 0 |
|
|
|||||||||
Следовательно |
|
|
|||||||||
1 Ln 1 ln 1 i 2 k 0 2k 1 i |
k Z |
- значения функции комплексного переменного в точке z 0 1 , записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной)
► Главное значение логарифма числа z
ln 1 0 i
8
|
10) Вычислить значение функции комплексного переменного 1 i z |
в точке z 0 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
При любых w, z C : |
|
w z e z Ln w . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 i |
i |
e |
i Ln 1 i |
e |
i ln |
|
1 i |
|
i arg 1 i 2 k i |
, |
k Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Модуль и аргумент числа w 1 i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 i |
|
12 12 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
arg 1 i arctg 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
i 1 i |
i |
|
|
i ln |
|
1 i |
|
i arg 1 i 2 k i |
|
i ln 2 |
i |
4 |
2 k i |
|
i ln 2 |
|
2 k |
|
i |
|
|
|
|
2 k |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
4 |
|
e |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||
|
e |
|
2 k |
e |
i |
ln 2 |
e |
2 k |
|
|
ln 2 |
|
ln 2 |
, k Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
cos |
i sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- значения функции комплексного переменного z в точке z 0 |
i , записанные в тригонометрической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
форме (функция многозначная). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z |
в точке z 0 1 2i , ответ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
записать в алгебраической форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Arcctg z |
|
i |
|
Ln |
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ln z ln |
|
|
z |
|
i arg z 2 k , |
k Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(при k 0 |
получаем главное значение логарифма ln z ln |
|
z |
|
i arg z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 0 i |
|
|
1 2i i |
|
|
|
|
1 i |
|
|
1 i 1 3i |
|
|
|
1 i 3i 3 |
|
4 2i |
2 |
1 |
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 0 i |
|
|
1 3i |
1 3i 1 3i |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 0 i |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
i |
arctg |
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
i arctg |
2 |
2 k |
|
2 |
|
ln 5 i |
arctg |
2 |
2 k |
, |
k Z |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
0 |
i |
|
|
|
1 |
ln 5 i arctg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
arcctg z |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 i |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
i |
1 |
ln 5 |
0, |
232 i 0, 402 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ln |
arctg |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(главное значение Arcctg 1 2i )
9
|
12) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z |
в точке z 0 1 i , ответ записать |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в алгебраической форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Arccos z i Ln z |
|
z 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ln z ln |
|
z |
|
i arg z 2 k , |
k Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
При k 0 получаем главное значение логарифма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ln z ln |
|
z |
i arg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
и главное значение арккосинуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
arccos z arg z |
z 2 1 i ln |
|
z |
|
z 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
одно, аргумент которого попадает в промежуток 0; . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i ln 1 i |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
arccos 1 i i ln 1 i |
1 i 2 |
1 2i 1 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
i ln 1 i |
|
2i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Корень из числа 1 2i |
принимает два значения. Найдём их: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 2i |
|
|
1 2 |
2 2 |
cos arctg 2 i sin arctg 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2 |
2 k |
|
|
arctg 2 2 k |
|
|
||||||||||||
|
1 2i |
|
|
5 |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
arctg 2 |
|
|
|
arctg |
2 |
|
k 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 cos |
|
|
2 |
|
i sin |
2 |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2 |
|
|
|
|
|
arctg 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
i |
|
k |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 cos |
|
|
2 |
|
|
|
sin |
|
2 |
|
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Используя формулы cos 2 x |
|
1 cos 2x и sin |
2 x 1 cos 2x , и принимая во внимание, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
cos arctg 2 |
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2 |
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
arctg 2 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и тогда
|
4 |
|
5 |
5 |
i |
5 5 |
|
|
k 0 |
|
|
5 |
10 |
|
10 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 2i |
|
|
5 |
|
5 |
|
5 |
5 |
|
|
|
4 |
|
i |
k 1 |
||||||
|
5 |
10 |
|
10 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
, |
|
k 0 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
5 1 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
, |
k 1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
10