Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3 семестр ЭКТ / Учебники и методички / Условия Коши-Римана. Вычислить значение функции

..pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
23.01.2017
Размер:
296.2 Кб
Скачать

Условия Коши-Римана.

1) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w e z i .

Функция, имеющая производную в точке z , называется дифференцируемой в этой точке.

Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):

Если z x iy ,

w f z u x ,

y iv x ,

y , то в каждой точке дифференцируемости функции

f z

выполняются равенства

 

 

 

 

u

v ,

u

v

 

 

 

x

y

y

x

 

 

 

Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy :

w e z i e x iy i e x i y e x e i y e x cos y i sin y

e x cos y i sin y e x cos y i e x sin y

Выделим действительную u и мнимую v части функции w : u x , y e x cos y

v x, y e x sin y

Вычисляем частные производные:

u

e x cos y

e x cos y

x

x

 

v

e x sin y

e x cos y

y

y

 

u

e x cos y

e x sin y

y

y

 

v

e x sin y

e x sin y

x

x

 

- условия Коши-Римана выполняются.

Литература:

1)Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2);

2)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2006, стр. 530, стр. 532...535 (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).

2)Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 2 4i z 12 .

Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy : w x iy 2 4i x iy 12 x 2 2xy i y 2 4x i 4 y 12

x 2 y 2 4 y 12 2xy 4x i

1

Выделим действительную u

и мнимую v части функции w :

u x , y x 2 y 2 4 y 12

 

v x , y 2xy 4x

 

 

Вычисляем частные производные:

 

u

x 2 y 2 4 y 12

 

2x

x

 

 

x

 

v

2xy 4x y 2x

 

 

y

 

 

 

u

x 2 y 2 4 y 12

2 y 4

 

y

 

 

y

 

v

2xy 4x x 2 y 4

 

x

- условия Коши-Римана выполняются.

3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz 1 .

Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную:

sin z

e iz e iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и примем во внимание, что z x iy :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin iz 1

e i i x y 1

e i i x y 1

 

e x i y i e x i y i

 

e x e i y 1 e x e i y 1

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e

 

 

 

 

 

i y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

e x e

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

 

 

 

y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

2

e

 

cos

2

 

i sin y 1

 

 

cos y 1

 

sin y 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

21 e x sin y 1 i cos y 1 e x sin y 1 i cos y 1

21 e x sin y 1 i cos y 1 e x sin y 1 i cos y 1

21 e x sin y 1 i e x cos y 1 e x sin y 1 i e x cos y 1

21 sin y 1 e x e x i cos y 1 e x e x

Действительная и мнимая части числа u i v :

u x , y 21 sin y 1 e x e x v x , y 21 cos y 1 e x e x

2

Вычисляем частные производные:

 

2

u

sin y 1 e x e x

sin y 1 e x e x

 

x

 

x

 

2

v

cos y 1 e x e x

sin y 1 e x e x sin y 1 e x e x

 

y

 

y

 

и

 

sin y 1 e x e x

 

2

u

cos y 1 e x e x

 

y

 

y

 

2

v

cos y 1 e x e x

cos y 1 e x e x

 

x

 

x

 

Как видим, условия Коши-Римана

 

u

 

v

 

 

x

y

 

 

 

 

 

u

v

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

для функции sin iz 1 выполняются.

4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z : w sin 2z 3z .

Функция w f z называется аналитической в точке z , если она дифференцируема как в самой точке z , так и в некоторой её окрестности.

Функция w f z , дифференцируемая в каждой точке некоторой области D , называется аналитической функцией в этой области.

Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера):

Если z x iy ,

w f z u x ,

y i v x ,

y , то в каждой точке дифференцируемости функции

f z

выполняются равенства

 

 

 

 

u

v ,

u

v .

 

 

 

x

y

y

x

 

 

 

Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy : w sin 2x i 2 y 3 x iy

e i 2x i2 y e i 2x i2 y 3x i3 y

2i

e 2 y i2x e 2 y i2x 3x i3 y

2i

e 2 y e i2x e 2 y e i2x 3x i3 y

2i

e 2 y cos 2x i sin 2x e 2 y cos 2x i sin 2x 3x i3 y

2i

e 2 y cos 2x i e 2 y sin 2x e 2 y cos 2x i e 2 y sin 2x 3x i3 y

2i

3

 

 

e 2 y e 2 y cos 2x i e

2 y e 2 y sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x i3 y

 

 

 

 

2i

2 y e 2 y sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i e 2 y e 2 y cos 2x e

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x i3 y

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e 2 y e 2 y sin 2x i

1 e 2 y e 2 y

cos 2x 3x i3 y

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

1

e 2 y e 2 y sin 2x 3x

i 1 e 2 y e 2 y cos 2x 3 y

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

ch 2 y sin 2x 3x i sh 2 y cos 2x 3 y

Формулы, использованные в преобразованиях:

sin z

 

e iz e iz

 

,

z C

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

sh x

e x e x

,

x R

 

 

 

2

 

 

 

 

ch x

 

e x e x

 

,

x R

 

 

 

2

 

 

 

 

Выделим действительную и мнимую части w z u x , y i v x , y : u x , y ch 2 y sin 2x 3x

v x , y sh 2 y cos 2x 3 y

Вычисляем частные производные:

 

u

ch 2 y sin 2x 3x x

2 ch 2 y cos 2x 3

x

v

sh 2 y cos 2x 3 y y

2 ch 2 y cos 2x 3

y

u

ch 2 y sin 2x 3x y

2 sh 2 y sin 2x

y

v

sh 2 y cos 2x 3 y x

2 sh 2 y sin 2x

x

Итак, условия Коши-Римана

 

u

v ,

u

v

 

x

y

y

x

 

выполнены; следовательно, функция w f z sin 2z 3z является аналитической.

4

5) Доказать аналитичность функции и найти производную:

w e z e z

2

Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z x iy :

 

 

 

e x iy e x iy

1

 

w

 

 

2 e x cos y i sin y e x

cos y i sin y

2

 

21

e x cos y i sin y e x cos y i sin y

 

 

1

e x cos y i e x sin y e x cos y i e x sin y

 

2

 

 

 

 

21 e x e x cos y i e x e x sin y

e x e x cos y i e x e x sin y

2 2

ch x cos y i sh x sin y

Выделим действительную и мнимую части w z u x , y i v x , y : u x , y ch x cos y

v x , y sh x sin y

Вычисляем частные производные:

u ch x cos y x sh x cos y

x

v sh x sin y y sh x cos y

y

u ch x cos y y ch x sin y

y

v sh x sin y x ch x sin y

x

Условия Коши-Римана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

,

u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполнены; следовательно, функция

w f z

 

e z e z

является аналитической.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Для всякой аналитической функции

f z u x , y i v x , y производная

f z выражается через

частные производные функций u u x , y и v v x , y :

 

 

 

 

 

 

 

 

u

v

v

 

u

 

u

u

v

v

 

f

z

x i x y i y

 

x i y y i x

 

 

 

Вычисляем производную функции f

z , используя выражение производной функции w z через частные

производные функций u x , y и v x , y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e z e z

 

 

u

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

x

i

x

sh x cos y i ch x sin y

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

5

или непосредственно:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

z

 

z

1

 

 

 

z

 

z

 

e z e z

 

 

 

 

 

e

e

 

w

 

 

 

 

2

 

 

e

 

e

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

e x i y e x i y

 

1

e x

e i y e x e i y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 e x cos y i sin y e x cos y i sin y

21 e x cos y i sin y e x cos y i sin y

21 cos y e x e x i sin y e x e x

 

e x e x

cos y i

e x e x

sin y

2

2

 

 

 

sh x cos y i ch x sin y

6)Представить w e 1 2i z , где z x iy , в виде w u x , y i v x, y .

Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6 .

Выделим в данном числе в явном виде действительную u x , y и мнимую части v x , y :

w exp 1 2iz exp 1 2i x iy exp 1 i2x 2 y exp 1 2 y i2x e 1 2 y e i2x

e 1 2 y cos 2x i sin 2x e 1 2 y cos 2x i e 1 2 y sin 2x

- получено комплексное число в алгебраической форме записи.

Re w u x , y e 1 2 y cos 2x

Im w v x , y e 1 2 y sin 2x

 

 

 

Для всякой аналитической функции

f z u x , y i v x , y производная

f z выражается через

частные производные функций u u x , y и v v x , y :

 

 

 

 

u

v

v

u

 

u

u

v

v

 

f

z x

i x

y i y

 

x i y

y i x

 

 

 

Вычислим частные производные

u x , y e 1 2 y cos 2x v x , y e 1 2 y sin 2x

u e 1 2 y cos 2x x 2e 1 2 y sin 2xx

u e 1 2 y cos 2x y 2e 1 2 y cos 2x

y

v e 1 2 y sin 2x y 2e 1 2 y sin 2xy

v e 1 2 y sin 2x x 2e 1 2 y cos 2xx

Поскольку условия Коши-Римана выполняются ( u x v y , u y v x ) для всех точек плоскости xOy ,

исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная

6

w z

u

i

v

2e 1 2 y sin 2x i 2e 1 2 y cos 2x

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

В точке

z 0

 

 

i 0 :

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

2e sin

 

 

2e cos

e

3 i e

w

 

3

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Литература:

1) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 2002, стр. 59 (пример 9), стр. 20 (пример 2).

Вычислить значение функции.

 

7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z

в точке z 0 2 i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого z C :

cos z

e i z

e i z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

e i 2 i e i 2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w 2 i cos 2 i

 

 

e 1 2i e 1 2i

 

 

e 1 e 2i e 1 e 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

e 1 cos 2 i sin 2 e 1 cos 2 i sin 2

 

cos 2 e 1 e 1

i sin 2 e 1 e 1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 1 e 1

 

 

e 1 e 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 i

 

 

 

 

sin 2 ch 1 cos 2 i sh 1

sin 2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

cos 2 i ch 1 cos 2 i sh 1 sin 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1)Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 2009, том 10, изд. МГТУ, стр. 106;

2)Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 2002, стр. 40.

 

8) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0

ln 3

i

, ответ записать

 

в алгебраической форме.

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого z C :

th z

e z e z

 

 

 

 

 

 

e z e z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит

 

 

 

i

 

e

ln 3

i

e

ln 3 i

 

 

 

 

4

 

 

4

 

w z 0

th ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

ln 3

 

i

 

ln 3

 

i

 

 

 

 

 

e

4

e

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

1

 

 

i

 

3e 4

 

 

e

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

i

 

1

 

 

 

 

 

e

i

 

3e 4

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

i

 

 

 

 

i

9

 

 

 

i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9e 4

e

 

4

cos

 

4

 

 

 

cos

 

i sin

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

e

 

i

9

 

i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

9e 4

 

 

4

 

 

 

cos

 

4

 

 

 

cos

 

i sin

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

9 2

i

2

2 i

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

i

2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

2 i 9

2

2 i

2

8 2 i 10

2

4 5i

 

 

 

9

2 i 9

2

2 i

2

10 2 i 8

2

5 4i

 

 

 

4 5i 5 4i

 

20 25i 16i 20

 

40 9i

 

40

i

9

5 4i 5 4i

 

25 16

 

41

 

41

41

-результат вычисления в алгебраической форме.

9)Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0 1 . Указать главное значение функции.

Логарифмическая функция

 

 

Ln z ln

 

z

 

i arg z 2 k

k Z

 

 

 

 

Главным значением логарифма числа z

называют значение, соответствующее главному значению

аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0 :

ln z ln

z

i arg z

 

 

Модуль и аргумент числа z 0 1 1 0i :

 

 

z 0

 

1

 

 

 

 

 

 

arg z 0

 

 

Следовательно

 

 

1 Ln 1 ln 1 i 2 k 0 2k 1 i

k Z

- значения функции комплексного переменного в точке z 0 1 , записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной)

Главное значение логарифма числа z

ln 1 0 i

8

 

10) Вычислить значение функции комплексного переменного 1 i z

в точке z 0

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При любых w, z C :

 

w z e z Ln w .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i

i

e

i Ln 1 i

e

i ln

 

1 i

 

i arg 1 i 2 k i

,

k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль и аргумент числа w 1 i :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i

 

12 12 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arg 1 i arctg 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

i 1 i

i

 

 

i ln

 

1 i

 

i arg 1 i 2 k i

 

i ln 2

i

4

2 k i

 

i ln 2

 

2 k

 

i

 

 

 

 

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

4

 

e

 

 

2

 

4

 

 

 

e

 

2 k

e

i

ln 2

e

2 k

 

 

ln 2

 

ln 2

, k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

cos

i sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- значения функции комплексного переменного z в точке z 0

i , записанные в тригонометрической

 

форме (функция многозначная).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z

в точке z 0 1 2i , ответ

 

записать в алгебраической форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arcctg z

 

i

 

Ln

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln z ln

 

 

z

 

i arg z 2 k ,

k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(при k 0

получаем главное значение логарифма ln z ln

 

z

 

i arg z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0 i

 

 

1 2i i

 

 

 

 

1 i

 

 

1 i 1 3i

 

 

 

1 i 3i 3

 

4 2i

2

1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2i i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 9

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0 i

 

 

1 3i

1 3i 1 3i

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

z 0 i

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln

 

 

 

 

 

 

 

i

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

i

arctg

 

 

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

z

0

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

i arctg

2

2 k

 

2

 

ln 5 i

arctg

2

2 k

,

k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

0

i

 

 

 

1

ln 5 i arctg

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

0

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg z

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5 i

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

i

1

ln 5

0,

232 i 0, 402

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ln

arctg

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

2

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(главное значение Arcctg 1 2i )

9

 

12) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z

в точке z 0 1 i , ответ записать

 

в алгебраической форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arccos z i Ln z

 

z 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln z ln

 

z

 

i arg z 2 k ,

k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k 0 получаем главное значение логарифма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln z ln

 

z

i arg z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и главное значение арккосинуса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos z arg z

z 2 1 i ln

 

z

 

z 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем

 

 

одно, аргумент которого попадает в промежуток 0; .

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i ln 1 i

 

 

 

 

 

arccos 1 i i ln 1 i

1 i 2

1 2i 1 1

 

i ln 1 i

 

2i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корень из числа 1 2i

принимает два значения. Найдём их:

 

 

 

 

 

 

1 2i

 

 

1 2

2 2

cos arctg 2 i sin arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 2

2 k

 

 

arctg 2 2 k

 

 

 

1 2i

 

 

5

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

arctg 2

 

 

 

arctg

2

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 cos

 

 

2

 

i sin

2

 

,

 

 

 

 

1 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 2

 

 

 

 

 

arctg 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

i

 

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 cos

 

 

2

 

 

 

sin

 

2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулы cos 2 x

 

1 cos 2x и sin

2 x 1 cos 2x , и принимая во внимание, что

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

cos arctg 2

 

, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 2

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 2

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и тогда

 

4

 

5

5

i

5 5

 

 

k 0

 

5

10

 

10

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2i

 

 

5

 

5

 

5

5

 

 

 

4

 

i

k 1

 

5

10

 

10

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

,

 

k 0

2

 

2

 

 

 

 

 

5 1

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

,

k 1

2

 

 

2

 

 

10