Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 семестр ЭКТ / Понятие определенного интеграла.pptx
Скачиваний:
71
Добавлен:
23.01.2017
Размер:
2.13 Mб
Скачать

Бурятский филиал МЭСИ Преподаватель: Асалханова Л.И.

Понятие

определенного

интеграла

«Математика есть способ называть разные вещи одним именем»

Анри Пуанкаре

Актуализация опорных знаний

Вопросы

1) Что называется первообразной?

2) Что называется неопределённым интегралом?

3) Сформулировать свойства неопределённого интеграла

Актуализация опорных знаний

Ответы

1)Функция F (х) называется первообразной функцией для функции f (х) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x) = f(x ).

2) Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f (x ) и обозначается .

Актуализация опорных знаний

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. (

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции

равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. dF(x)= F(x) + С

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Kf x dx K f x dx

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx

Актуализация опорных знаний

Вопросы:

4)Назовите действие обратное интегрированию.

5)Назовите методы интегрирования.

5)Правильность интегрирования можно проверить…

6)Дописать продолжение формул

Содержание

Задача о площади криволинейной трапеции

Понятие интегральной суммы

Геометрический смысл интегральной суммы

Понятие определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Экономический смысл интеграла

Условие существования определенного интеграла

Пример нахождения определенного интеграла на основании определения

Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем

Интеграл с переменным верхним пределом

Формула Ньютона - Лейбница

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция у=f(х). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми х = а, х =b и осью абсцисс у =0

S ~ Sл

За искомую площадь S возьмем предел площади Sл под ломаной в

предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Понятие интегральной суммы

Пусть на отрезке [a, b] задана функция у =f(х). Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных отрезков точками х0, х1,… хn :а = х01<… <хn = b.

На каждом отрезке [ хi, хi-1] разбиения выберем некоторую точку ξi, и положим Δхi ii-1, где

i= 1, 2,… п. Сумму вида

Δхi

будем называть интегральной суммой для функции

у =f(х) на [a, b].

Геометрический смысл интегральной суммы

Пусть функция у=f(х) неотрицательна на [a, b]. Отдельное слагаемое интегральной суммы в этом случае равно площади Si,прямоугольника со сторонами, где i = 1, 2, п

Sл= S1 + S2 +...+ Sn

Понятие определенного интеграла

max -максимальная из длина отрезков [ хi , хi-1] , где

i = 1,2,..п.

Определение. Пусть предел интегральной суммы Δхi при

стремлении max , к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х0, х1,... и точек ξ12,….Тогда этот предел

называется определенным интегралом от функции у =f(х) на [a, b], обозначается , а сама функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b], т.е.