Системы линейных уравнений
Лекция 3
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
а11 х1 а12 х2 а13х3 ... |
а1n хn b1, |
||||
|
а х а х а х ... |
а х b , |
|||
|
21 1 |
22 2 |
23 3 |
2n n |
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
.................... |
|
.......... .......... |
.................. |
|
|
а х а х ...а х |
а х b . |
|||
|
n1 1 |
n2 2 |
n 3 3 |
nn n |
n |
Совокупность значений неизвестных
xi i
где i =1, 2, …, n, при подстановке
которых уравнения системы
обращаются в равенства, назовем
решением системы.
Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Система, имеющая единственное решение, называется определенной.
Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
а11 х1 |
а12 х2 |
а13 х3 b1 , |
||||||||||
|
а21 х1 а22 |
х2 |
а23 х3 |
b2 , |
||||||||
|
||||||||||||
|
а |
31 |
х а |
32 |
х |
2 |
а |
33 |
х |
3 |
b . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|||||
Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера,
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|||
|
а21 |
а22 |
а23 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
Назовем его определителем системы. Если Δ≠0, то система совместна
Далее составим три вспомогательных определителя:
|
b |
а |
12 |
а |
13 |
|
а11 |
b1 |
а13 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
x2 |
а21 |
b2 |
а23 |
|
||
х |
b |
2 |
а |
22 |
а |
23 |
|
||||
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|||
|
b3 |
а32 |
а33 |
а31 |
b3 |
а33 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
b1 |
|
|
|||
x3 |
|
а21 |
а22 |
b2 |
|
|
а31 |
а32 |
b3 |
Решение системы (10) находим по формулам:
х1 |
|
х1 |
, |
х2 |
|
х |
2 , |
х3 |
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которые называют формулами Крамера
Замечание.
Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.