2 семестр ЭКТ / Всё подряд / Exam_EKT-1_12-13_MatAn_2sem_1

1. Программа экзамена по курсу "Математический анализ", ЭКТ-1

2-й семестр 2012/2013 уч. год

Неопределенный интеграл.

1. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл.

2. Таблица неопределенных интегралов.

3. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование рациональных дробей, иррациональностей, тригонометрических выражений (уметь вычислять интегралы).

Определенный интеграл.

1. Задача о площади. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

2. Необходимое условие интегрируемости. Пример ограниченной неинтегрируемой функции.

3. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, сохранение неравенства).

4. Свойства интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.

5. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

7. Теорема о среднем для определенного интеграла.

8. Понятие несобственного интеграла с единственной особенностью. Примеры.

9. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

10. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения.

11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры.

12. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

13. Длина дуги кривой.

14. Объем тела вращения.

15. Площадь поверхности тела вращения.

Функции многих переменных.

1. Пространство Rⁿ. Понятие сходимости последовательности в Rⁿ. Связь сходимости в Rⁿ с покоординатной сходимостью. Свойства сходящихся последовательностей. Фундаментальные последовательности. Полнота Rⁿ .

2. Понятия окрестности точки, открытого, связного множества и области в Rⁿ.

3. Предел и непрерывность функции многих переменных. Определения. Свойства (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции.

4. Частные производные. Теорема о смешанных производных (без док-ва).

5. Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Дифференциал. Необходимое условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.

6. Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях.

7. Дифференцирование сложной функции. Производная неявной функции.

8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности заданной явным или неявным уравнением.

9. Градиент и производная по направлению. Геометрический и физический смысл градиента.

10. Дифференциалы высших порядков функции многих переменных.

11. Формула Тейлора для функции многих переменных.

12. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия. Стационарные точки. Достаточные условия (представление приращения функции в стационарной точке через дифференциал 2-го порядка и достаточные условия на языке квадратичных форм и через угловые миноры матрицы Гессе).

Кратные интегралы.

1. Определение двойного и тройного интегралов: для случая прямоугольной области, для произвольной области. Геометрический и физический смысл двойного и тройного интегралов.

2. Вычисление кратных интегралов путем перехода к повторному интегралу: для случая прямоугольной области, для произвольной области.

3. Полярная, цилиндрическая и сферическая система координат и их якобианы.

4. Понятие якобиана и формулу замены переменных в кратных интегралах. Обоснование формулы для полярной системы координат.

5. Понятие площади поверхности, заданной явным уравнением. Формула для вычисления площади. Обоснование формулы.

Программа базового уровня по курсу

«Математический анализ», ЭКТ - I, 2 семестр, 2012-13 уч. год.

1. Неопределенный интеграл

Знать

1. определение первообразной

2. определение неопределенного интеграла

3. свойства первообразной

4. таблицу неопределенных интегралов

5. формулу интегрирования по частям

6. формулу замены переменной

Уметь

7. Находить первообразные для функций , если является табличным

8. Находить неопределенные интегралы от функций, равных сумме (разности) «табличных»

9. Вычислять с помощью подведения под знак дифференциала неопределенные интегралы вида , где - табличный, - основная элементарная функция (например, ).

10. Уметь интегрировать по частям интегралы типа .

11. Уметь интегрировать дроби вида

2. Определенный интеграл

Знать

1. понятие разбиения

2. понятие интегральной суммы

3. понятие мелкости (диаметра) разбиения

4. определение определенного интеграла

5. формулу Ньютона-Лейбница

6. формулу интегрирования по частям

7. формулу замены переменной

Уметь

8. Вычислять с помощью формулы Ньютона-Лейбница определенные интегралы аналогичные пунктам 1.7-1.11

3. Несобственный интеграл

Знать

1. определения несобственных интегралов от неограниченных функций и на неограниченном промежутке

2. понятие абсолютно сходящегося интеграла

3. признаки сравнения сходимости несобственных интегралов

4. условия сходимости несобственных интегралов вида

Уметь

5. Распознавать несобственные интегралы

6. Вычислять по определению несобственные интегралы вида

7. Применять признаки сравнения для исследования сходимости интегралов вида .

4. Приложения определенного интеграла

Знать

1. формулу для вычисления площади криволинейной трапеции в декартовых и полярных координатах

2. формулу для вычисления объема тела вращения

3. формулы для вычисления длины дуги плоской кривой заданной параметрически или в явном виде

4. формулу для вычисления площади поверхности вращения

Уметь

5. Вычислять площадь фигуры, ограниченной двумя параболами или параболой и прямой.

6. Вычислять объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

7. Вычислять площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси .

8. Вычислять длину дуги кривой типа , ,

5. Функции многих переменных

Знать

1. определение частной производной

2. определение дифференцируемости функции двух переменных

3. определение дифференциала

4. определение производной по направлению и формулу для её вычисления

5. определение градиента

6. формы для дифференциалов 1-го и 2-го порядков функций 2-х и 3-х переменных

7. уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

8. определение локального экстремума

9. необходимые условия экстремума

10. достаточные условия экстремума (для функций 2-х и 3-х переменных)

Уметь

11. находить область определения функции двух переменных и изображать её на плоскости (область определения может ограничиваться окружностями, параболами, прямыми, гиперболами)

12. Находить частные производные первого и второго порядков

13. Записывать дифференциал первого и второго порядков для функции 2-х и 3-х переменных

14. находить градиент, модуль градиента

15. находить производную по направлению

16. записывать уравнения касательной плоскости и нормали для поверхности, заданной уравнением

17. Исследовать на экстремум функции вида ,

Кратные интегралы

Знать

6.1. определение двойного интеграла для прямоугольной области и для произвольной области

6.2. формулы, связывающие декартовые координаты точки с полярными, цилиндрическими, сферическими координатами точки

6.3. формулы замены переменной в кратных интегралах для случаев полярной, цилиндрической, сферической систем координат

6.4. формулу для вычисления площади поверхности

Уметь

6.5. Вычислять двойные интегралы для прямоугольной области.

6.6. Расставлять пределы интегрирования в повторном интеграле для несложных плоских областей.

6.7. Вычислять несложные двойные интегралы с помощью переходя к полярной системе координат

Примечание.

Для получения оценки 4 необходимо уметь доказывать указанные в программе базового уровня свойства, условия и формулы (кроме достаточных условий экстремума и длины дуги, заданной параметрически).

ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА (ЭКТ-1, 2 семестр, 2012-13 учебный год)

1. Дать определение мелкости (диаметра) разбиения

2. Сформулировать определение интегральной суммы.

3. Дать определение определенного интеграла.

4. Дать определение локального экстремума (для функции двух переменных) (или дать определение двойного интеграла)

5. Доказать необходимые условия экстремума (для функций двух переменных) (или записать и обосновать формулу перехода к полярным координатам в двойном интеграле).

6. Сформулировать достаточные условия экстремума (для функций двух переменных).

Вычислить:

7. . 8. . 9. .

10. (или , где область ограничена линиями ).

11. Найти длину дуги кривой .

12. Изобразить область определения функции .

13. Найти для функции .

14. Найти модуль (длину) градиента функции в точке (1, -1) (или вычислите с помощью замены переменных , где область задана на рисунке).

15. Найти точки экстремума функции .

Критерии оценок (за ответ на экзамене):

20 баллов – зачтено не менее 10 заданий.

30 баллов – зачтено не менее 13 заданий, причем зачтено хотя бы одно из заданий, в котором нужно было дать доказательство утверждения или сделать вывод формулы.

Для получения 40 баллов на экзамене необходимо получить 30 баллов по варианту и пройти собеседование с лектором

Окончательная оценка в ведомость и зачетную книжку ставится на основании набранной суммы баллов в семестре и баллов за ответ на экзамене