17 Особливості фільтрації рідин та газів до горизонтальних і похилих свердловин

Кожна свердловина від гирла до вибою в тій чи іншій мірі викривлена. Розрізняють невимушено викривлені свердловини, які характеризуються викривленням внаслідок впливу природних і технологічних причин під час їх буріння, і штучно викривлені, які пробурено за заданим профілем. При цьому, в межах продуктивного пласта стовбур свердловини може бути або вертикальним, або похилим, або горизонтальним, а, звідси, в підземній гідрогазомеханіці такі свердловини називаємо відповідно вертикальними, похилими і горизонтальними. Горизонтальною називають свердловину, коли її похило скеровують під кутами, близькими до 90° від вертикалі (зенітний кут), і вона проходить значну частину продуктивної зони паралельно покрівлі і підошві продуктивного пласта. Горизонтальне і похиле буріння свердловин здійснюють з метою рівномірнішого охоплення розробкою покладів, збільшення поточних дебітів та підвищення нафто- і газовилучення, а також з метою обійти чи зберегти поверхневі об’єкти (промислові споруди і будівлі, водоймища й акваторії морів, санітарні і заповідні зони, гори) і т.д. Приплив рідин і газів до похилих і, особливо, горизонтальних свердловин має різко виражений просторовий характер на відміну від плоско-радіального потоку до вертикальної гідродинамічно досконалої свердловини.

17.1 Рух рідини між конфокальними еліпсами

Оскільки переріз похилої свердловини горизонтальною площиною є еліпсом, то попередньо розглядаємо рух між двома еліпсами (рис. 17.1, а). Така задача легко розв’язується методом конформних відображень (див. § 6.5).

Функція М.Є.Жуковського

(17.1)

переводить контур еліпса площини z у коло радіуса площини, а розріз, який з’єднує фокуси еліпса, – в коло одиничного радіуса, де – фокусна відстань,a,b– півосі еліпса.

Тоді приплив рідини до тріщини (розрізу, який з’єднує фокуси еліпса з одиничним радіусом) в еліпсоподібному пласті описуємо формулою Дюпюї:

(17.2)

де q – дебіт, що припадає на одиницю товщини пласта; Ф_к, Ф_с – потенціали відповідно на контурах еліпса і тріщини; – радіус колового контура пласта.

Якщо маємо два конфокальні еліпси з півосями а_к, b_к, а_с, b_с, то дебіт

(17.3)

де індекси к і с позначають контури відповідно пласта і свердловини з радіусами і.

При цьому півосі обох еліпсів пов’язані співвідношенням: . Тоді

(17.4)

або

(17.5)

де

Таким чином, рух рідини між двома конфокальними еліпсами можна описати формулою Дюпюї для кругового пласта радіусом з центральною свердловиною радіусом, причому величини цих радіусів дорівнюють півсумі півосей відповідних еліпсів.

17.2 Приплив рідини до хрестоподібної, зіркоподібної і лінійної тріщин

Розглянемо усталену фільтрацію рідини до тріщин, коли вони мають форму хреста, трикутної зірки і лінії (рис. 17.2). Такі тріщини в певній мірі можна розглядати як схематичне наближення до горизонтальних або похилих свердловин у тонкому однорідному пласті. Нехай довжини окремих променів тріщин однакові і рівні l, на коловому контурі живлення пласта радіусом R_к задано постійний середній тиск р_к, а в тріщинах – постійний середній тиск р_с.

Фільтрація рідини до хрестоподібної тріщини (чотири тріщини з різницею азимутів у 90) в будь-якій горизонтальній площині кругового пласта (див. рис. 17.2, а) описується комплексним потенціалом (див. § 6.5):

(17.6)

де – потенціал швидкості фільтрації (див. § 6.1); – функція течії (див. § 6.5); А, В – деякі коефіцієнти.

Після інтегрування "по частинах" отримуємо:

(17.7)

Приплив рідини q до тріщини, що припадає на одиницю товщини пласта, визначається за допомогою контурного інтегралу (інтегралу по контуру Г)

(17.8)

а тиск р_к на контурі живлення пласта радіусом R_к – із залежності

(17.9)

де Im, Re – символи уявної і дійсної частин комплексної змінної; z₀ – задана комплексна координата.

Середній тиск р_с на окремому промені визначається за формулою:

(17.10)

Виконаємо інтегрування рівнянь (17.8) – (17.10).

Після розкладання логарифму і арктангенсу, які входять у F (z), в ряд та деяких спрощень із рівняння (17.8) отримуємо:

(17.11)

Для тиску на контурі пласта відповідно до рівняння (17.9) маємо:

(17.12)

Вибійний тиск визначаємо за рівнянням (17.10) так:

(17.13)

де інтегрування здійснюємо віддо, щоб уникнути невизначеності;– половина розкриття тріщини або радіус свердловини.

Так як то сумарний дебіт хрестоподібної тріщини з усієї товщини пластаh отримується у вигляді:

(17.14)

Приплив до тризіркоподібної тріщини (три тріщини з різницею азимутів у 120; див. рис. 17.2, б) описується комплексним потенціалом

_(17.15)

а формула дебіту тоді аналогічно набуває вигляду:

(17.16)

Формула дебіту двох прямолінійних тріщин загальною довжиною 2l (дві тріщини з різницею азимутів у 180; див. рис. 17.2, в) отримується шляхом граничного переходу в задачі припливу рідини до еліптичної свердловини з півосями а_с і b_с (див. вище), коли піввісь b_с прямує до нуля, а піввісь а_с = l, тобто

(17.17)

Для одної прямолінійної тріщини довжиною l дебіт свердловини відповідно виражається формулою:

(17.18)

Отримані формули дебітів тріщин заданих форм можна розглядати як наближення до дебітів Q_б горизонтальних багатовибійних свердловин в однорідному тонкому пласті, коли із основного стовбура проведено один або декілька додаткових стовбурів. Для зіставлення дебітів таких свердловин з дебітом Q_в вертикальної свердловини запишемо відношення (коефіцієнти ефективності)

(17.19)

тобто

(17.20)

де Q_б, Q_в – дебіти відповідно багатовибійної горизонтальної і вертикальної свердловин, причому дебіт вертикальної свердловини описується формулою Дюпюї (див. § 4.3).

Якщо r_с = 0,1 м; R_к = 1000 м; l = 100 м, то коефіцієнти ефективності горизонтальних свердловин ₁ = 2,5; ₂ = 3,05; ₃ = 3,15; ₄ = 3,21. Наприклад, якщо Q_в = 40 т/доб, то відповідні дебіти горизонтальних свердловин будуть: Q₁ = 100 т/доб; Q₂ = 122 т/доб; Q₃ = 126 т/доб; Q₄ = 128 т/доб, тобто із збільшенням кількості стовбурів з двох до трьох дебіт підвищується всього на 4 т/доб, а кожний стовбур зіркоподібної свердловини (три стовбури) дає стільки ж рідини, що й вертикальна свердловина.

Аналізуючи залежності _і або Q_і від кількості стовбурів і, виснуємо, що в однорідному пласті немає потреби бурити більше 2-3 стовбурів. Дані вирази є верхньою межею дебіту рідини, отриманої із горизонтальної, похилої, три- і чотиривибійної свердловин в ізотропному однорідному пласті.