10 Неусталена фільтрація газу в пористому пласті

10.1 Виведення диференціальних рівнянь неусталеної фільтрації газу за законом Дарсі

Диференціальне рівняння ізотермічної фільтрації стисливого флюїду в деформівному пласті має вигляд (див. підрозд. 3.5):

, (10.1)

а рівняння стану реального газу –

. (10.2)

Припустимо, що пласт недеформівний , а.

У результаті підстановки рівняння (10.2) в рівняння (10.1) отримуємо диференціальне рівняння неусталеної фільтрації реального газу в недеформівному пласті

. (10.3)

Ще додатково спростимо умови, припустивши газ ідеальним (), а також. Тоді маємодиференціальне рівняння неусталеної фільтрації ідеального газу в недеформівному пласті у вигляді:

, (10.4)

а оскільки

;;, (10.5)

то

(10.6)

або

. (10.7)

Оскільки

, (10.8)

то маємо також рівняння (10.7) ще й у такому вигляді:

. (10.9)

Одержане диференціальне рівняння неусталеної фільтрації ідеального газу у вигляді (10.7) або (10.9) називають рівнянням Лейбензона.

Рівняння Лейбензона (10.9), а також складніше рівняння неусталеної фільтрації реального газу (10.3) є нелінійними рівняннями у частинних похідних параболічного типу, які не мають точних аналітичних розв’язків навіть для найпростіших випадків. Тому його доводиться інтегрувати числовими методами.

10.2 Лінеаризація рівняння Лейбензона. Аналогія між неусталеною фільтрацією пружної рідини й газу

Лінеаризація рівняння означає зведення нелінійного рівняння до лінійного типу.

Раніше було показано, що у випадку усталеної фільтрації газу до свердловини лійка депресії тиску є дуже крутою і середній тиск у пласті практично дорівнює контурному тиску p_к. Виходячи з цього, Л.С. Лейбензон запропонував замінити змінний тиск p в коефіцієнті рівняння (10.9) на постійний контурний тиск p_к (метод лінеаризації за Лейбензоном). Тоді рівняння Лейбензона (10.9) стає лінійним відносно функції p²:

, (10.10)

або

, (10.11)

де –коефіцієнт п’єзопровідності пласта для газу.

І.А. Чарний для лінеаризації рівняння Лейбензона (10.9) запропонував змінний тиск p у коефіцієнті замінити середнім тиском, припускаючи для прямолінійно-паралельної фільтрації

, (10.12)

а для плоско-радіальної (як і Л.С. Лейбензон)

,

де p_max, p_min – максимальний і мінімальний тиски в пласті за розрахунковий період.

Таким чином, ми прийшли до рівняння типу основного диференціального рівняння пружного режиму стосовно фільтрації пружної рідини (9.10). Це дає змогу використати його розв’язки, записавши формально замість тиску квадрат тиску. Що стосується дебіту, то для рідини можна записати граничну умову так:

(10.13)

або

. (10.14)

Аналогічно для газу, пам’ятаючи аналогію між рідиною та газом у разі усталеної фільтрації (див. підрозд. 8.1), масову витрату записуємо так:

(10.15)

або

, (10.16)

де Q_м, Q₀ – масова витрата газу та об’ємна витрата, зведена до атмосферного тиску p₀.

Отже, на основі аналогії між фільтрацією пружної рідини та газу в розв’язках для пружної рідини треба тиски формально замінити на квадрати тисків, коефіцієнт п’єзопровідності  – на ,на. Тоді дістанемо розв’язки для неусталеної фільтрації газу.

Наприклад, стосовно відбирання пружної рідини із свердловини з постійним об’ємним дебітом Q₀ у безмежному пласті зміна тиску в пласті (див. підрозд. 9.4)

, (10.17)

а стосовно фільтрації газу записуємо аналогічно

(10.18)

або

. (10.19)

Для малих значин аргументу інтегральну показникову функцію можна наближено замінити логарифмічною (див. розділ 9), а тоді маємо:

(10.20)

або

. (10.21)

Подібним чином записуються й інші формули, одержані точними та наближеними методами в гл. 9, у тому числі стосовно гідродинамічного дослідження свердловин.

Зауважимо, що рівняння (10.18) – (10.21) є наближеними, так як вони отримані в результаті інтегрування лінеаризованого (наближеного) диференціального рівняння (10.11), а не точного рівняння Лейбензона (10.7) або (10.9).

Задача 10.1.Визначити депресію тиску на вибої газової свердловини після пуску її в роботу з постійним об’ємним дебітом 500 тис. м³/доб (за нормальних умов) через 280 діб її роботи. Відомо: коефіцієнти проникності і пористості пласта 2510^‑15м²і 10%; початковий пластовий тиск 23 МПа; товщина пласта 9 м; динамічний коефіцієнт в’язкості газу 0,022 мПас; радіус свердловини 0,1 м.

Розв’язування. Визначаємо коефіцієнт п’єзопровідності пласта для газу:

м²/с;

Визначаємо тиск на вибої свердловини після 280 діб її роботи:

18,35·10⁶ Па;

Визначаємо депресію тиску на вибої газової свердловини:

Δp = p_к–p_с = 23·10⁶–18,35·10⁶ = 4,65·10⁶ Па.

Відповідь: депресія тиску на вибої свердловини становить 4,65·10⁶ Па.

Для оцінки точності методу лінеаризації необхідно проінтегрувати рівняння Лейбензона в точній постановці числовим методом. Наприклад, стосовно плоско-радіальної фільтрації ідеального газу, коли задано постійний дебіт Q₀, треба проінтегрувати рівняння

(10.22)

за умов:

(10.23)

За методом аналізу розмірностей шуканий тиск p залежить від п’яти визначальних параметрів, r, t, p_к, ,, три із яких мають незалежні розмірності (r, t, p_к). Тоді безрозмірний тиск залежить на основіp - теореми від двох безрозмірних комплексів:

; , (10.24)

тобто , (10.25)

де ;

А тоді рівняння (10.22) записуємо так:

(10.26)

Диференціюючи по r і t як складну функцію, використовуючи вирази (10.24) і підставляючи у вираз (10.25), отримуємо замість рівняння (10.26) звичайне диференціальне рівняння

, (10.27)

яке можна розв’язати чисельним методом за таких умов, що випливають із умов (10.23):

. (10.28)

Числовий аналіз показує, що відносна похибка через лінеаризацію рівняння Лейбензона становить частки процента.