- •8 Усталена фільтрація газу в пористому пласті
- •8.1 Аналогія усталеної фільтрації стисливих флюїдів з фільтрацією нестисливої рідини в пористому пласті
- •8.2 Прямолінійно-паралельна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі
- •8.3 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі
- •8.4 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за двочленним законом
- •8.5 Плоско-радіальна фільтрація реального газу за законом Дарсі
- •8.6 Фільтрація реального газу за нелінійним законом до досконалих і недосконалих свердловин
- •Контрольні питання
8 Усталена фільтрація газу в пористому пласті
8.1 Аналогія усталеної фільтрації стисливих флюїдів з фільтрацією нестисливої рідини в пористому пласті
Раніше ми записали стосовно до усталеної фільтрації нестисливої рідини рівняння нерозривності потоку, руху (закону Дарсі) та фільтрації у вигляді (див. підрозд. 3.1, 3.2, 4.1):
; (8.1)
; (8.2)
. (8.3)
Для стисливих флюїдів (нафти, води, газу) густина ρ є функцією тиску p, тобто . Оскільки вздовж шляху фільтрації (лінії течії) тиск зменшується (рух відбувається в бік меншого тиску), то густина стисливого флюїду при цьому змінюється (точніше зменшується). Такі ж рівняння для стисливого флюїду ми записували у вигляді (див. підрозд. 3.1, 3.2, 3.5):
; (8.4)
; (8.5)
. (8.6)
Помноживши рівняння руху (8.2) і (8.5) на площу фільтрації як функцію довжини шляху фільтрації , дістанемо вирази закону Дарсі через витрати відповідно для нестисливого й стисливого флюїдів:
; (8.7)
, (8.8)
де – масова витрата стисливого флюїду (добуток масової швидкості фільтрації на площу фільтрації), причому відомо, що
. (8.9)
Зіставляючи відповідні рівняння для нестисливої рідини і стисливого флюїду, бачимо таку аналогію (відповідність):
Нестислива рідина |
|
Стисливий флюїд |
|
Швидкість фільтрації Тиск Об’ємна витрата |
р Q |
Масова швидкість фільтрації Функція Лейбензона Масова витрата |
Р Qм |
Отже, всі одержані раніше формули для усталеної фільтрації нестисливої рідини можна використати і для усталеної фільтрації стисливого флюїду (рідини чи газу), тільки в них за аналогією треба формально замінити v, p і Q на ,Р і Qм.
8.2 Прямолінійно-паралельна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі
Використовуючи рівняння (3.38) стану ідеального газу Бойля-Маріотта
знайдемо функцію Лейбензона (3.55):
. (8.10)
Згідно з рівнянням (8.9) запишемо об’ємну витрату газу, зведену до атмосферного тиску р0 і до тиску р відповідно:
;. (8.11)
Далі на основі встановленої аналогії запишемо відповідні фільтраційні параметри потоку ідеального газу.
Розподіл тиску вздовж пласта в разі фільтрації нестисливої рідини до галереї, що знаходиться на відстані L від початку координат, описується формулою:
, (8.12)
а для газу маємо розподіл функції Лейбензона за аналогічною формулою:
(8.13)
або з урахуванням виразу (8.10)
, (8.14)
звідки розподіл тиску газу отримуємо у вигляді:
, (8.15)
тобто тиск газу вздовж пласта змінюється за параболічним законом.
Градієнт функції Лейбензона із рівняння (8.13)
(8.16)
або після переходу до тиску з використанням виразу (8.10)
, (8.17)
звідки градієнт тиску
. (8.18)
Оскільки в рівнянні (8.18) тиск р є функцією координати х згідно з рівнянням (8.15), то градієнт тиску зростає з наближенням до галереї.
Масова швидкість фільтрації газу згідно з рівнянням (8.5) за
(8.19)
або після переходу до тиску з використанням виразу (8.10)
, (8.20)
звідки об’ємна швидкість фільтрації газу
, (8.21)
де – динамічний коефіцієнт в’язкості газу.
Зміна об’ємної швидкості фільтрації аналогічна зміні градієнта тиску.
Масова витрата ідеального газу за аналогією:
(8.22)
або після переходу до тиску з використанням виразу (8.10)
. (8.23)
Об’ємні витрати газу, зведені до атмосферного тиску р0 і біжучого тиску в пласті р, відповідно будуть:
; (8.24)
. (8.25)
Масова витрата газу Qм є постійною вздовж пласта, а об’ємна витрата Q зростає з наближенням до галереї (фізично це пояснюється розширенням газу через зменшення тиску).
Середній тиск газу в пласті
. (8.26)
Оскільки об’єм пор пласта ,, то
(8.27)
а після інтегрування отримуємо формулу середнього тиску ідеального газу в пласті:
. (8.28)
Для тиску маємо, що середній тиск.