3 Диференціальні рівняння ізотермічної фільтрації флюїдів у пористому середовищі

Розв’язуючи задачі фільтрації, в першу чергу слід дати математичну постановку задачі, а саме:

1) написати рівняння (чи систему рівнянь), якому задовольняє шукана функція, що описує досліджуваний процес;

2) написати додаткові умови, яким має відповідати шукана функція на межах області її визначення та в початковий момент часу.

Повну характеристику ізотермічної фільтрації дає система диференціальних рівнянь, що охоплює рівняння нерозривності потоку, руху, стану флюїдів і пористого середовища, а також додаткові (початкові та граничні ) умови.

3.1 Виведення рівняння нерозривності фільтраційного потоку

Рівняння нерозривності (неперервності, суцільності) фільтраційного потоку являє собою рівняння балансу (порівнювального підсумку) маси флюїду в елементарному об’ємі пористого средовища. Під елементарним об’ємом розуміємо нескінченно малий об’єм, але який ще зберігає загальні характеристики середовища.

Виділимо в пористому середовищі елементарний об’єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz (рис. 3.1). Об’єм паралелепіпеда

, (3.1)

об’єм порового простору в ньому

, (3.2)

де m – кофіцієнт пористості, який у загальному випадку розглядається як змінна величина, що залежить від просторових координат x, y, z і від тиску p, тобто m = m (x, y, z, р).

Знайдемо зміну маси рідини всередині паралелепіпеда за проміжок часу dt, здійснюючи розрахунок двома різними методами.

З одного боку, маса рідини в порах

, (3.3)

звідки, диференціюючи вираз (3.3), можна знайти зміну маси M за проміжок часу dt:

, (3.4)

де α – коефіцієнт насичності пор рідиною; ρ – густина рідини.

З другого боку, приймемо, що через грань abcd паралелепіпеда вливається рідина. Масова швидкість фільтрації є добутком ρv, а ρv_х – проекція вектора масової швидкості фільтрації на вісь x, де v – об’ємна швидкість фільтрації. За проміжок часу dt через площу цієї грані (dy dz) протікає маса

. (3.5)

Через протилежну грань abcd, що віддалена від першої на відстані dx, витікає за такий же час маса

, (3.6)

де – зміна масової швидкості фільтрації на відстаніdx.

Нагромаджена в паралелепіпеді за час dt маса складає різницю між масою, що вливається, і масою, що витікає:

,

або з урахуванням виразу (3.1)

. (3.7)

Аналогічні вирази для нагромадженої маси в порах за час dt дістанемо і в разі фільтрації вздовж осей y і z:

, (3.8)

де ρv_у, ρv_z – проекції вектора масової швидкості фільтрації на осі y і z.

Загальну зміну маси dM рідини (або нагромадження маси в паралелепіпеді) за час dt вздовж усіх осей одержуємо додаванням виразів (3.7) і (3.8):

. (3.9)

Прирівнюючи знайдені за двома незалежними методами зміни маси, дістаємо рівняння нерозривності фільтраційного потоку в координатній формі:

(3.10)

або у векторній формі

, (3.11)

де –дівергенція (від лат. divergentia – розходження), зміна вектора масової швидкості фільтрації в точці векторного поля або символічний запис цього тричлена (частинних похідних від по просторових координатах). Можна також записатиде символ(читається набла) називаютьоператором Гамільтона.

Якщо припустити, що в елементарному об’ємі пористого середовища знаходяться розподілені джерела, які продукують рідину (чи газ) з інтенсивністю λ, то відповідне збільшення маси рідини від дії розподілених джерел в елементарному об’ємі рівне λVdt.

Тоді прирівнюючи усі зміни маси рідини, аналогічно рівнянню (3.11) отримуємо рівняння збереження маси:

(3.12)

Якщо розподілені джерела відсутні, то задаємо λ = 0, причому λ може бути додатньою (продукується рідина) і від’ємною величиною (поглинається рідина).

Якщо процес фільтрації не змінюється з часом (стаціонарний потік, усталений потік), то похідна по t дорівнює нулю і маємо у випадку усталеної фільтрації рівняння нерозривності фільтраційного потоку для стисливих флюїдів (ρ ≠ const):

(3.13)

або для нестисливих флюїдів (ρ = const)

. (3.14)