ИПР_3 вариант 5
.docxМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 1
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-3
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Вариант : 5
Минск 2017
Задача 1
Найдите производную функции.
1.05 y = sin((2x - 3)) + ch 2 +
Решение
Задача 2
Найдите дифференциал заданной функции y = .
Проверьте, удовлетворяет ли функция y = заданному уравнению.
2.05 y = x(cos2x – 1); x(y - 2sin 2x)dx - dy = 0
Решение
По определению дифференциал функции равен
Задача 3
Найдите производную функции.
3.05 = ( cos5
Решение
Прологарифмируем обе части:
Задача 4
Найдите вторую производную функции, заданной параметрически.
4.05
Решение
Функция задана в параметрическом виде.
Задача 5
Заданы функция y = и точка . Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной в точке . к графику функции y = .
5.05 = ; = -1
Решение
Задача 6
Найдите предел по правилу Лопиталя.
6.06
Решение
Правило Лопиталя позволяет раскрыть неопределенность вида или
Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных:
Задача 7
Разложите функцию по формуле Тейлора по степеням x -
до члена (x - включительно. Остаточный член запишите в форме Пеано.
7.05 y = ; = 1
Решение
Найдем значения функции и ее производных
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Задача 8
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
8.05 y = 12 - 8 – 2
Решение
-
Область допустимых значений:
-
Проверим функцию на четность, нечетность. Функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
Область определения симметрична относительно начала координат
Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Функция не является периодической
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
c осью ОY:
c осью ОX:
-
Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности
Составим таблицу
0 |
1 |
||||
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
-2 |
2 |
||||
|
убывает |
min |
возрастает |
max |
убывает |
-
Найдем наклонные асимптоты где
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
-
Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Составим таблицу
0,5 |
|||
+ |
0 |
- |
|
вогнута |
0 |
выпукла |
Точка - точка перегиба.
Задача 9
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
9.05 y
Решение
-
Область допустимых значений:
Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа
Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.
Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.
-
Проверим функцию на четность, нечетность. Функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
Область определения симметрична относительно начала координат
Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Функция не является периодической
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
c осью ОY:
c осью ОX:
-
Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности
Составим таблицу
-4 |
-1 |
0 |
|||||
+ |
0 |
+ |
не сущ |
- |
0 |
+ |
|
-9,5 |
не сущ |
0 |
|||||
|
возрастает |
max |
убывает |
|
убывает |
min |
возрастает |
-
Найдем наклонные асимптоты где
-
Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Составим таблицу
-1 |
0 |
||||
- |
не существует |
+ |
0 |
+ |
|
выпукла |
не существует |
вогнута |
0 |
вогнута |
Точка - точка перегиба.
-
Построим график функции, используя результаты исследования.