Контрольная работа №3. Вариант 9
..docxВысшая математика.
Контрольная работа №3. Вариант 9.
Задание I.
Решить уравнение колебаний струны методом Фурье.
9. .
Решение.
Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны может быть представлено как сумма бесконечного ряда:
,
где , .
Находим :
.
Интеграл берем по частям. В результате получаем:
.
Отсюда следует:
.
Находим :
.
Интеграл берем по частям. В результате получаем:
.
Вычисляем:
.
Раскрывая скобки, получаем:
.
Окончательно:
, где
,
.
Задание II.
Для данной функции комплексной переменной :
1) найти действительную и мнимую части,
2) указать область дифференцируемости функции и найти ее производную,
3) вычислить интеграл по заданной кривой .
Решение.
1). Находим действительную и мнимую части функции .
Подставляем в функцию :
.
Для данной функции получили:
– действительная часть;
– мнимая часть.
2). Определяем область дифференцируемости функции и находим ее производную.
Для данной функции проверяем условия Коши-Римана , :
; ;
; .
Условия Коши-Римана выполняются при любых значениях , . Следовательно, функция дифференцируема в любой точке комплексной плоскости .
Находим производную функции:
.
3). Вычисляем интеграл функции по заданной кривой : отрезок прямой, , .
Функция является аналитической на всей комплексной плоскости , поэтому воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница .
Получаем:
.
Задание III.
Средствами операционного исчисления решить задачу Коши.
Решение.
Пусть . По теореме о дифференцировании оригинала имеем:
;
;
.
Получаем операторное уравнение:
;
;
;
.
Находим изображение:
.
Методом неопределенных коэффициентов находим разложение полученного операторного решения уравнения в сумму простейших дробей:
;
.
Получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов:
;
;
;
.
Решение системы можно получить по формулам Крамера:
; ; ; .
Получаем:
.
Отсюда имеем частное решение:
Задание IV.
Решение.
1). Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Минске, 8 – в Гомеле и 7 – в Витебске. Какова вероятность того, что 2 студента попадут на практику в один город?
Решение.
Два любых места практики можно выбрать из общего их числа, равного 30, количеством способов, вычисляемым как число сочетаний из тридцати элементов по два: .
Пусть событие A – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Минске. Так как мест в Минск предоставлено 15, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию A, вычисляется как число сочетаний из 15 элементов по 2: .
Пусть событие B – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Гомеле. Так как мест в Гомель предоставлено 8, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию B, вычисляется как число сочетаний из 8 элементов по 2: .
Пусть событие C – двум определенным студентам достались места для прохождения практики в Витебске. Так как мест в Витебск предоставлено 7, то количество исходов (комбинаций), благоприятствующих событию C, вычисляется как число сочетаний из 7 элементов по 2: .
Следовательно, искомая вероятность:
.
2). Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не менее 20 раз и не более 30 раз.
При решении задачи о вероятности того, что в n испытаниях события А появилось не менее m1 раз и не более m2 раза, используют интегральную функцию Лапласа , где .
Формулу Лапласа используют, если n – велико, а р – значительное, то есть .
Имеем:
; ; ; ; .
Условие применения формулы Лапласа выполняется.
Вычисляем:
;
;
.
3). Найти числовые характеристики дискретной случайной величины, заданной законом распределения вероятностей
xi |
30 |
42 |
50 |
61 |
65 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Расчетная таблица:
i |
xi |
pi |
xi·pi |
(xi)2 |
(xi)2·pi |
1 |
30 |
0,1 |
3,0 |
900 |
90 |
2 |
42 |
0,2 |
8,4 |
1764 |
352,8 |
3 |
50 |
0,3 |
15,0 |
2500 |
750 |
4 |
61 |
0,3 |
18,3 |
3721 |
1116,3 |
5 |
65 |
0,1 |
6,5 |
4225 |
422,5 |
|
|
M(X) = |
51,2 |
M(X2) = |
2731,6 |
Имеем:
количество значений дискретной случайной величины ;
математическое ожидание ;
дисперсия ;
; ;
среднее квадратическое отклонение .