На сортировку / 1 / ЭЭФ / Эа-14-1 / Elaman lab / Документ Microsoft Word
.docx2.4 Лабораторная работа № 4
Тема: задачи интегрального исчисления, операционного исчисления и
дифференциальных уравнений.
Содержание:
1) интегралы;
2) операционное исчисление;
3) решение дифференциальных уравнений с помощью операционного
исчисления и численных методов программы Mathcad.
Задание 1. Вычислите неопределённый интеграл f xdx . Постройте
три графика из семейства первообразных.
Варианты заданий
Индивидуальные задания
№ f (x) № f (x)
1.1
12
3
x 1
x
1.13
sin (1 cos )
1
2 x x
1.2 3 x 4 x 1.14 2 (1 sin )
cos sin
x
x x
1.3
x
x x
1
1
1.15
sin (1 sin )
1
x x
1.4 4 1
1
x 1.16
x
x
5 4cos
cos
1.5
1
ln 1
x
x
1.17
x x
x
1 sin cos
cos
1.6
1
1
2 x x
1.18
x
x
2 sin
cos
1.7
6
2 5 1
x
x
1.19 2 (1 cos )
cos
x
x
1.8 2
2 1
x
x
1.20
cos (1 cos )
1
x x
1.9 arctg(1x ) 1.21 2 (1 sin cos )
cos
x x
x
1.10
x 2 1 cos
1
1.22
x x
x
1 sin cos
1 sin
1.11 ln(1 ) 3 x x 1.23
1 15
4
x
x
1.12
1 2 x x
x
1.24
1 2
4
x
x
Задание 2. Вычислите определённый интеграл
b
a
f x dx .
Варианты заданий
Индивидуальные задания
№ f (x) [a,b] № f (x) [a,b]
2.1 2 2x 1 [1;2,5] 2.13 2 1 x
x
2
5
;
2
1
2.2 2
1
x [1;4] 2.14
3
4 x
[1;3]
2.3 x 3 [1;9] 2.15
7 6
5 6 x x
[0;1]
2.4
2
1
x
x [1;2] 2.16 2 256 x [0;5]
2.5 x 1x [4;9] 2.17 x 1x 2 [3;5]
2.6 3 x x [1;2] 2.18 2 2 (25 ) 25
1
x x
]
2
5
[0,
2.7
6x
1
[1;6] 2.19
6
2
x
x
]
2
2
[0,
2.8 4 1x [0;1] 1.20
2
3
2 (5 )
1
x
[0;4]
2.9 2
2
1 x
x
[2;3] 2.21
2
3
2
4
(1 x )
x
[0;2]
2.10
16 3 x
x
[0;10] 2.22
2 (4 ) 16
4
4
exp(
x x
x
x
[0;4]
2.11
1
2
x
x
[1,5;2,5] 2.23 2 4 x [0;5]
2.12
2
5
2
2
x
x
[0;2] 2.24 2 2 x 16 x [0;4]
2.25 2 2 x 25 x [0;5]
Задание 3. Найдите изображение функций (изображение Лапласа).
Варианты заданий
Индивидуальные задания
№ f (t) № f (t)
3.1 sin5t cos3t 3.14 te cht)t
3.2 t 2 sin 3.15 3 t sin t
3.3 t sint 3.16
t
e e t t
3.4 t cos8t 2 3.17 cos3t cos t
3.5 4 cos t 3.18 te t t cos
3.6 (t 1)sht 3.19 t t e2
3.7
t
t 2 sin
3.20 4 sin t
3.8 t 3 cos 3.21 2 4 4 t t e
3.9 ch 5t 3 3.22 4 t 8
3.10 ch2t cost 3.23 cos8 3 1 6 t t
3.11 e t t cos 7 2 2 3.24 t2 sht
3.12 6 2 sin3t t 3.25 t cos3t 2
3.13 6 t 1
Задание 4. Найдите оригиналы заданных функций (обратное преобра-
зование Лапласа).
Варианты заданий
№ Задания № Задания
4.1
( 16)
1
3 2 s s
4.14
( 1)( 4 5)
5
2 s s s
4.2
( 1)( 2) 2 2 s s
s
4.15
( 2)( 2 2)
5
2 s s s
s
4.3
1
1
3 s
4.16
( 2)( 2 3)
1
2 s s s
4.4
( 1)( 2) 2 2
2
s s
e
s
4.17 2 2 (s 4s 8)
s
4.5
( 1)( 2 3)
2 1
2
s s s
s
4.18
( 4 5)
1
2
s s s
s
4.6
( 2)( 4 5)
2
2
s s s
s
4.19
( 1)( 6 10)
2
2
s s s
s
4.7
s s s
s
2 5
2 3
3 2
4.20
( 1)
1
3 s s
4.8
( 1)( 2 2)
2
2
s s s
s
4.21
8
6
3 s
4.9 ( 1)( 2 2)
2
2 s s s
4.22
1
3
4 s
4.10
2 2
20
2 s s
4.23 4 3 2
1
s s s
4.11
( 5)( 2 4)
1
2 s s s
4.24 2 2 4 8
2
s s
s
4.12
( 1)( 3 2)
2
2
s s s
s
4.25 4
4
2 2 s s
4.13
( 1)( 2 2)
2
2 2 s s s
s
Задание 5. Решите дифференциальное уравнение с помощью операци-
онного исчисления (преобразования Лапласа).
Варианты заданий
№ Задания № Задания
5.1
y"2y'3y 2t ,
y(0) 1, y'(0) 1
5.14
y y y e t t " 2 ' 10 2 cos3 ,
y(0) 5, y'(0) 1
5.2
y"4y sin 2t ,
y(0) 0, y'(0) 1
5.15
y"4y 8sin 2t ,
y(0) 3, y'(0) 1
5.3
y"5y'29cost ,
y(0) 1, y'(0) 0
5.16
y"y'6y 2t ,
y(0) 1, y'(0) 0
5.4
y y y t t 2 " ' ,
y(0) 1, y'(0) 3
5.17
2 2 y" 4y 4e 4t t ,
y(0) 1, y'(0) 2
5.5
t y"y'2y e ,
y(0) 1, y'(0) 0
5.18
t y y y e3 "2 '10 12 ,
y(0) 2 , y'(0) 1
5.6
y"y 2cost ,
y(0) 0, y'(0) 1
5.19
y"y sht ,
y(0) 2 , y'(0) 1
5.7
y"2y'3y 2t ,
y(0) 2, y'(0) 1
5.20
t y y y e 2 " 4 ' 29 ,
y(0) 0, y'(0) 1
5.8 2
" 2 ' sin
t
y y ,
y(0) 2, y'(0) 4
5.21
t 2y"3y'y 3e ,
y(0) 0, y'(0) 1
5.9
y"y'4sint ,
y(0) 1, y'(0) 2
5.22
(0) 1, (0) 1
cos3 ,
y y
y y t
5.10
" 2 ' 3 2 y y y t t ,
y(0) 2, y'(0) 2
5.23
y"4y'4y sin 2t ,
y(0) 0 , y'(0) 1
5.11
y"3y'10y cos3t sin3t ,
y(0) 3, y'(0) 1
5.24
y"2y'2y 3t 1,
y(0) 1, y'(0) 4
5.12
2y"3y'y t sint ,
y(0) 0 , y'(0) 1
5.25
2 y"3y'2y 4t ,
y(0) 1, y'(0) 2
5.13
y"3y'2y t ,
y(0) 1, y'(0) 1
5.25
Задание 6. Решите систему дифференциальных уравнений с помощью
операционного исчисления.
Варианты заданий
№ Задания № Задания
6.1
3 2, 0 -1
- 1 0 2
x x y x
y x y y
6.14
3 1, 0 1
0 2
x x y x
y x y y
6.2
4 , 0 1
2 9 0 0
x x y x
y x y y
6.15
2 , 0 0
4 0 1
x x y x
y x y y
6.3
2 5 , 0 1
2 2 0 1
x x y x
y x y y
6.16
2 5 , 0 0
2 1 0 2
x x y x
y x y y
6.4
3 , 0 2
5 3 2 0 0
x x y x
y x y y
6.17
3 4 1, 0 0
2 3 0 2
x x y x
y x y y
6.5
2 6 1, 00
2 2 )0 1
x x y x
y x y y
6.18
2 3 1, 0 1
4 2 0 0
y x y x
y x y y
6.6
2 , 0 0
2 1 0 5
x x y x
y x y y
6.19
2 2 , 0 3
4 0 1
x x y x
y x y
6.7
2 1, 0 1
1.5 0 0
x x y x
y x y y
6.20
3 5 2, 0 0
3 1 0 2
x x y x
y x y y
6.8
3 2 , 0 0
2.5 2 0 1
x x y x
y x y y
6.21
2 1, 0 1
2 3 0 0
x y x
y x y
6.9
2 8 1, 0 2
3 4 0 1
y x y x
y x y y
6.22
2 2 2, 0 0
4 1 0 1
x x y x
y y y
6.10
, 0 1
4 1 0 0
x x y x
y x y y
6.23
2 1, 0 0
3 0 1
x x y x
y x y
6.11
3 2, 0 1
2 0 1
x y x
y x y y
6.24
4 1, 0 0
2 3 0 1
x x y x
y x y y
6.12
2 , 0 2
2 3 1 0 1
x y x
y x y y
6.25
2 2, 0 1
3 0 0
x x y x
y x y
6.13
4 3, 0 1
2 0 0
x x x
y x y y
Замечания
к заданиям 7-11 по численному решению дифференциальных уравнений.
Решить дифференциальное уравнение F(t,y,y´ ) = 0 – это значит найти
явную или неявную функцию y=y(t), удовлетворяющую исходному уравне-
нию. Ранее мы функцию находили и записывали в аналитическом (формуль-
ном) виде.
Кроме аналитических существуют численные методы решения диффе-
ренциальных уравнений, в которых искомую функцию получают в табличном
виде (методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др.). Однако эти методы требуют
трудоёмких и однообразных ручных вычислений. Программа Mathcad взяла
на себя эти вычисления. В результате получен простой и наглядный процесс
решения дифференциальных уравнений (впрочем, в полной мере оценить эту
простоту может лишь пользователь, применявший ручные вычисления).
В программе Mathcad более десятка способов решения ДУ и их систем.
Мы применим достаточно универсальные процедуры Odesolve и rkfixed, ос-
нованные на методе Рунге-Кутта (Ode – английская аббревиатура слов
«обыкновенные дифференциальные уравнения», solve - решить, rk - Рунге-
Кутта, fixed – фиксированный шаг на отрезке решения). Результат решения
легко выводится в числовой и графической формах.
Напоминаем, что комментарии к действиям записываются в текстовой
области документа Mathcad, которая вызывается клавишами Shift + “.
Задание 7.
1) Решите дифференциальное уравнение первого порядка численным мето-
дом с помощью процедур Given/Odesolve программы Mathcad.
2) Постройте график полученного решения.
3) Найдите значение полученного решения (функции) в точке x 2.8 .
Варианты заданий
№ Варианты заданий № Варианты заданий
7.1 , 00.5
1
x
x
e
y y
e
7.2
ln
, 1
y y
y y e
x
7.3
2
2
, 0 2
4
xy x
y y tg
x
7.4
2 3 cos
, 1 (2 )
2
x
x
e tg y x
y y arctg e
e
7.5
, 01
1
x
x
e
y y
e y
7.6
ln
,
sin 2
y y
y y e
x
7.7
1
, 1 1
1
x x
y y
y y
7.8
2 1
, 1
4
y
y y
x
7.9 y2 y, y 01
7.10
2 1
, 0
2 9
x
x
e
y y
e
7.11
2
2
2
, 0 1
4
xy x
y y
x
7.12 2 , 0 1
3
y
y y
x y
7.13
2 ln
, 1
y y
y y e
x
7.14
2
2
6 3
, 1 2
2 6
x xy
y y
x y y
7.15
2
2 , 1 1
x xy
y y
y x y
7.16
sin
,
sin 2 2
y
y y
x
7.17 2
1
, 1 1
3
y y
y
7.18
1
, 0 0
2 y y y
e x
7.19 2 , 0 0
y
y y
x y
7.20
2 2
, 1 0
y x
y y
x
7.21 , 01 x yy e y 7.22 3 2
2 , 1 0
y
y x y
x
7.23
1
, 0 0
cos
y y tg x y
x
7.24 2
2 3
, 1 1
y
y y
x x
7.25 2 y2x x y , y 0 0
Задание 8.
1) Решите дифференциальное уравнение второго порядка.
2) Постройте график полученного решения (функции).
3) Создайте таблицу аргументов и значений функции.
4) Найдите значение полученного решения в точке t 2,1 или выберите точку
самостоятельно
Варианты заданий
№ Варианты заданий
8.1 y2y3y 2t, y(0) 1, y(0) 1
8.2 y4y sin 2t, y(0) 0, y(0) 1
8.3 y5y29cos t, y(0) 1, y(0) 0
8.4 , (0) 1, (0) 3 2 yyy t t y y
8.5 yy2y e , y(0) 1, y(0) 0 t
8.6 yy 2cos t, y(0) 0, y(0) 1
8.7 2yysin3t, y(0) 2, y(0) 1
8.8 , (0) 2, (0) 4
2
2 sin y y
t
y y
8.9 y4y 8sin 2t, y(0) 3, y(0) 1
8.10 yy6y 2, y(0) 1, y(0) 0
8.11 4 4 4 , (0) 1, (0) 2 2 2 yy e t y yt
8.12 2 10 12 (0) 2, (0) 6 3 yyy e y yt
8.13 yy sht, y(0) 2, y(0) 1
8.14 4 29 , (0) 0, (0) 1 2 y y y e y y t
8.15 2y3yy 3e , y(0) 0, y(0) 1 t
8.16 yy cos3t, y(0) 1, y(0) 1
8.17 2 8 , (0) 2, (0) 1
t
yyy e y y
8.18 , (0) 0, (0) 1 2 yy e y yt
8.19 y4y e , y(0) 0, y(0) 1 t
8.20 7 , (0) 2, (0) 0 2 yyy t y y
8.21 3y2yy 5e , y(0) 0, y(0) 3 t
8.22 y4y8y e t, y(0) 2, y(0) 2 t
8.23 7 , (0) 0, (0) 1 3 yyy t y y
8.24 y8yy e 1, y(0) 0.5, y(0) 1 t
8.25 y6y sint, y(0) 1.2, y(0) 1
Задание 9.
1) Решите систему 1 1 1 1 2 1 1
1 2 1 2 2 2 2
t
t
x a x b x c d e
y a x b x c d e
дифференциальных уравнений
с помощью процедур Given/Odesolve . Начальные условия одинаковы для
всех вариантов заданий: 1 2 x 0 2, x 0 1.
2) Создайте таблицу аргументов и значений функций.
3) Найдите значение полученных функций в точке t 3,4 или выберите точ-
ку самостоятельно.
4) Постройте графики полученных функций.
5) Постройте фазовый портрет системы.
Варианты заданий
N a1 b1 с1 d1 a2 b2 с2 d2
9.1 4 2 3 -1 -7 -5 -3 2
9.2 4 2 3 -1 -9 -5 -3 2
9.3 4 2 3 -1 -6 -5 -3 2
9.4 4 2 3 -1 -6 -4 -3 2
9.5 4 2 3 -1 -6 -3 -3 2
9.6 4 2 3 -1 -6 -5 -3 2
9.7 4 2 3 -1 -6 -6 -3 2
9.8 4 2 3 -1 -4 -6 -3 2
9.9 4 2 3 -1 -5 -5 -3 2
9.10 4 2 3 -1 -7 -4 -3 2
9.11 3 2 3 -2 -9 -4 -3 1
9.12 3 3 3 -2 -9 -4 -3 1
9.13 -9 3 3 -2 -9 -4 -3 1
9.14 -4 2 3 -2 -9 -4 -3 1
9.15 -5 2 3 -2 -9 -4 -3 1
9.16 -6 -2 3 -2 -9 -4 -3 1
9.17 5 3 3 -2 -9 -4 -3 1
9.18 5 4 3 -2 -9 -4 -3 1
9.19 5 5 3 -2 -9 -4 -3 1
9.20 6 5 3 -2 -9 -4 -3 1
Задание 10.
1) Решите систему
1 2 1
1 1 2
x a bx x
y c dx x
дифференциальных уравнений (авто-
номную) с помощью функции программы Mathcad. Начальные усло-
вия одинаковы для всех вариантов заданий: 1 2 x 0 3, x 0 1.
2) Создайте таблицу аргументов и значений функций.
3) Найдите значение полученных функций в точке t 4,2.
4) Постройте графики полученных функций.
5) Постройте фазовый портрет системы.
Варианты заданий
N a b с d N a b с d
10.1 4 3 2 1 10.11 5 4 2 1
10.2 4 3 2 2 10.12 5 4 3 1
10.3 4 3,5 2 1 10.13 5 4 2 2
10.4 4 3,5 2 2 10.14 5 4 2 3
10.5 4 3,5 3 1 10.15 5 4,5 2 1
10.6 4 3,5 3 2 10.16 4 3 2 3
10.7 4 3,5 4 4 10.17 4 3 2 4
10.8 4 3,5 4 3 10.18 4 3,5 2 3
10.9 5 3 2 1 10.19 4 3,5 2 4
10.10 5 3 3 1 10.20 4 3,5 3 3__