ИДЗ 1.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 1.1 – Вариант 0
1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai2, a3j. Вычислить определитель Δ: а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.0 |
|
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
i 2, |
j 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Aij 1 i j Mij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
3 2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
4 |
3 3 4 1 2 4 4 4 6 |
|
|||||||||||
22 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
2 1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 2 8 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M |
|
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 1 3 |
4 |
||||||||||
34 |
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
3 4 3 4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 16 7 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Алгебраические дополнения элементов а22, и а34 |
соответственно равны: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
A22 1 2 2 M22 1 13 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A34 1 3 4 M34 1 26 26
Вычислим определитель Δ: а) разложив его по элементам 2-й строки
a 21A21 a 22A22 a 23A23 a 24A24
Вычислим миноры по правилу треугольника:
|
a |
11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11 |
Mij |
a |
21 |
a 22 |
a 23 |
|
a11a 22a 33 |
a12a 23a 31 a 21a 32a13 |
|
|
|
|
a 32 |
a 33 |
|
|
|
|
|
a 31 |
|
|
|
|
Тогда определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 1 |
4 |
|
3 |
1 |
4 |
|
3 |
4 4 |
|
3 |
4 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 12 6 8 36 16 1 |
|
3 |
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
2 |
3 1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
2 9 4 16 24 12 2 1 3 16 24 8 18 8 37 26 9 72 |
||||||||||||||||
Вычислим определитель Δ: б) разложив его по элементам 4-го столбца |
||||||||||||||||
a14A14 a 24A24 a34A34 a 44A44 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
3 |
4 |
|
1 |
|
3 |
4 |
1 |
||
4 2 |
1 |
3 0 2 |
1 |
3 2 1 |
2 |
|
1 1 1 |
2 |
1 4 2 12 6 2 9 8 |
|||||||
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
2 12 8 3 4 9 8 1 18 8 1 4 3 12 60 52 40 72
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
Вычислим определитель Δ: в) получив предварительно нули в 2-й строке. Умножим третий столбец на -1 и сложим с первым
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
2 |
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
1 |
0 |
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
5 |
|
1 |
3 2 |
|
|
|
||||
|
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
3 |
2 1 |
|
|
|
||||
умножим третий столбец на -2 и сложим со вторым |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
6 |
1 |
4 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
5 |
1 |
3 |
2 |
|
|
5 |
|
5 3 2 |
|
|
|
|
||||
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
4 |
|
1 2 1 |
|
|
|
|
||||
|
6 |
1 |
4 |
|
|
|
|
2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
5 |
5 |
2 |
1 10 48 20 80 4 30 1 ( 72) 72 |
|||||||||||
|
5 |
5 |
3 |
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Даны две матрицы А и В. Найти: а) AB; б) BA; в) A-1; г) AA-1; д) A-1A |
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|||||
2.0 |
A 4 |
1 |
|
|
2 |
, |
|
B |
2 |
3 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)
Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Находим матрицу С=AB, элементы которой cij ai1b1j ai2 b2 j ai3b3 j .... ain bnj |
|||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
1 |
3 |
2 |
|
|
C AB 4 1 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( 1) ( 4) 2 1 1 |
3 ( 3) ( 4) ( 3) 1 4 |
3 2 ( 4) ( 2) 1 2 |
10 |
7 |
16 |
|||||||||
|
|
4 ( 1) 1 2 2 1 |
|
|
4 ( 3) 1 ( 3) 2 4 |
4 2 1 ( 2) 2 2 |
|
|
0 |
7 |
10 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1) 0 2 2 1 |
|
|
1 ( 3) 0 ( 3) 2 4 |
1 2 0 ( 2) 2 2 |
|
|
1 |
5 |
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
D BA |
2 |
3 2 |
4 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 ( 3) 4 2 1 |
1 ( 4) ( 3) 1 2 0 |
1 1 ( 3) 2 2 2 |
13 |
1 |
3 |
||||
2 3 ( 3) 4 ( 2) 1 |
2 ( 4) ( 3) 1 ( 2) 0 |
2 1 ( 3) 2 ( 2) 2 |
|
8 |
11 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 4 4 2 1 |
1 ( 4) 4 1 2 0 |
1 1 4 2 2 2 |
|
|
21 |
0 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно что AB BA
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
в) Найти: A-1
Обратная матрица A-1 матрицы А имеет вид:
|
1 |
A11 |
A 21 |
A31 |
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
A12 |
A22 |
A32 |
|
|
|
|||||
|
A |
A23 |
|
|
|
|
|
A13 |
A33 |
По правилу треугольника, вычислим определитель:
a |
11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11 |
A a |
21 |
a 22 |
a 23 |
|
a11a 22a 33 |
a12a 23a 31 a 21a 32a13 |
|
|
|
a 32 |
a 33 |
|
|
|
|
a 31 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
3 |
4 1 |
|
3 |
4 |
|
|||
|
3 |
|
|
|
||||||||
A |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
|
6 8 0 1 0 32 29 0 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. матрица А – невырожденная, и, значит, существует матрица A-1.
Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:
A11 |
1 2 |
1 |
2 |
|
2 0 2 |
||||
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||
A12 |
1 3 |
|
|
|
2 |
|
(8 2) 6 |
||
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
A13 |
1 4 |
|
|
|
1 |
|
0 1 1 |
||
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
A31 |
1 4 |
|
|
4 |
|
1 |
|
8 1 9 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
A33 |
1 6 |
|
4 |
|
3 16 19 |
||||
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
4 |
1 |
|
|
Таким образом получаем матрицу:
A 21 |
1 3 |
|
4 |
|
1 |
|
( 8 0) 8 |
||
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||
A 22 |
1 4 |
|
|
1 |
|
6 1 5 |
|||
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
A 23 |
1 5 |
|
|
|
4 |
|
(0 4) 4 |
||
3 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|||
A32 |
1 5 |
|
1 |
|
(6 4) 2 |
||||
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
2 |
6 |
1 |
|
|
|
8 |
5 |
4 |
|
|
|
|||
|
9 |
2 |
19 |
|
|
|
Полученную матрицу транспонируем:
2 |
6 |
1 T |
2 |
8 |
9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
5 4 |
|
|
6 |
5 |
2 |
|
|
|
9 |
2 |
19 |
|
|
1 |
4 |
19 |
|
|
|
|
|
Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
8 |
|
29 |
|
29 |
|
29 |
|
||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
A |
|
|
6 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
29 |
|
29 |
|
29 |
|
29 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
4 |
19 |
|
|
|
1 |
|
4 |
19 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
29 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
Найти: г) AA-1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
4 |
1 |
|
|
2 |
8 |
9 |
|
|||||
AA 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
2 |
|
|
|
|
6 |
5 |
2 |
|
|
|||
29 |
||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
1 |
4 |
19 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 ( 4) ( 6) 1 ( 1) |
|
3 8 ( 4) 5 1 ( 4) |
|||||||||
|
1 |
|
4 2 |
1 |
( 6) 2 ( 1) |
|
|
4 8 1 5 2 ( 4) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
29 |
|
|
|||||||||||
|
|
1 2 |
0 |
( 6) 2 ( 1) |
|
|
1 8 0 5 2 ( 4) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
29 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 29 |
0 |
|
|
0 1 0 |
|
E |
||||
29 |
|||||||||||||
|
|
0 |
0 |
29 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: д) A-1A
|
|
2 |
8 |
9 |
|
3 |
4 |
1 |
||||
A 1A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
2 |
|
|
|
4 |
1 |
2 |
||
|
||||||||||||
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
4 |
19 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 8 4 ( 9) 1 |
2 ( 4) 8 1 ( 9) 0 |
||
|
1 |
|
6 3 5 4 ( 2) 1 |
6 ( 4) 5 1 ( 2) 0 |
|
|
|
||||
29 |
|||||
|
|
1 3 ( 4) 4 19 1 |
1 ( 4) ( 4) 1 19 0 |
||
|
|
|
т.е. обратная матрица найдена верно.
3 ( 9) ( 4) ( 2) 1 19 |
|
|
4 ( 9) 1 ( 2) 2 19 |
|
|
|
||
1 ( 9) 0 ( 2) 2 19 |
|
|
|
|
2 1 8 2 ( 9) 2 |
|
|
|
29 |
||
6 1 5 2 ( 2) 2 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
29 |
||||||
1 1 ( 4) 2 19 2 |
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 0 |
|
|
0 1 |
0 |
|
E |
||
0 |
29 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|