ИДЗ 11.4 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 11.4 – Вариант 0.
1. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения.
1.0 y΄΄΄+ 4y΄ = 0, y(0) = 0, y΄(0) = 4, y΄΄(0) = −8
Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k 3 4k 0
k k 2 4 0 k 0
k 2 4 0 k 2 4
k 2i
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y C1 C2 cos 2x C3 sin 2x
Находим
y 2C2 sin 2x 2C3 cos 2x y 4C2 cos 2x 4C3 sin 2x
Используя начальные условия y(0) = 0, y΄(0) = 4, y΄΄(0) = −8, составляем систему для определения
C1 , C2 , C3 и решаем ее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C C |
|
cos 2 0 C |
|
|
sin 2 0 0 |
C C |
|
0 |
C |
|
2 0 |
C |
|
2 |
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|||
2C |
2 sin 2 0 2C3 cos 2 0 4 |
2C3 4 |
|
C3 |
C3 |
||||||||||||||
|
|
cos 2 0 4C |
|
|
sin 2 0 8 |
|
4C |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
4C |
2 |
3 |
|
2 |
C |
2 |
C |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение исходного уравнения имеет вид y 2 2cos 2x 2sin 2x
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка; б) с помощью характеристического уравнения.
x 2x 9y
2.0
y x 2y
а) Дифференцируем первое уравнение данной системы.
Получаем: x 2x 9y . Затем заменяем в последнем уравнении y его выражением из второго уравнения данной системы: x 2x 9 x 2y 2x 9x 18y
В последнем уравнении y заменяем выражением y x 2x , найденным из первого уравнения системы.
9
В итоге приходим к дифференциальному уравнению второго порядка относительно неизвестной функции x(t):
x 2x 9x 18 |
x 2x |
|
2x 9x 2x 4x 4x 5x |
|
|
||
|
|
||
9 |
|
|
|
x 4x 5x 0 |
|
|
Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k 2 4k 5 0
D b |
2 4ac 16 4 1 5 16 20 36 |
|
(D 0) |
|||||||
|
|
b |
|
|
4 6 |
|
|
4 6 |
|
|
k1,2 |
|
D ; k1 |
5; |
k 2 |
1 |
|||||
2a |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение однородного уравнения запишется в виде:
x C1ek1t C2ek2t
Следовательно x C1e5t C2e t
Отсюда находим x 5C1e5t C2e t
Подставляя полученные выражения для x и x’ в y |
x 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5C e5t |
C |
2 |
e t |
2C e5t |
2C |
2 |
e t |
|
3C e5t |
3C |
2 |
e t |
1 |
|
C e5t |
|
1 |
|
|
|
e t |
||||||
y |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, искомым решением являются функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x C e5t |
C e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
C1e5t |
1 |
C2e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
|
2 k |
9 |
|
2 |
k 2 k 9 |
4 2k 2k k 2 |
9 k 2 |
4k 5 0 |
|
|
|||||||
|
1 |
2 k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Корни уравнения k1 5; k 2 1
Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
x t C1 1ek1t C2 2 ek2t
y(t) C1 1ek1t C2 2 ek2t
Коэффициенты в показателях экспонент k1 ; k 2 нам уже известны, осталось найти коэффициенты
1 , 1 , 2 , 2
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
Корню k1 5 соответствует система для вычисления
|
2 5 |
9 |
|
0 |
|
|
3 9 |
|
0 или |
3 1 9 1 0 |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 5 |
|
|
1 |
3 |
|
|
1 3 1 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: 1 13 1
Теперь нужно подобрать наименьшее значение 1 .
При 1 1; |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
Корню k 2 |
1 соответствует система для вычисления |
|||||||||||||
|
2 1 9 |
|
|
0 |
|
|
3 |
9 |
|
0 |
3 2 9 2 0 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|||||
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 3 2 0 |
Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: 2 13 2
При 2 |
|
1; 2 |
|
1 |
|
||||||
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В итоге получаем: |
|
|
|
|
|
||||||
x t |
C e5t |
C |
|
e t |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y(t) |
|
1 |
C e5t |
|
1 |
C |
|
e t |
|||
|
|
|
2 |
||||||||
|
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных.
3.0 y′′ + 3y′ + 2y = e−x· 1
ex 2
Решаем соответствующее однородное уравнение:
k 2 3k 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D b2 4ac 9 4 1 2 9 8 1 |
(D 0) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1,2 b D |
; |
k1 |
3 1 |
1; |
k1 |
3 1 |
2 |
|
2a |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Общее решение однородного уравнения запишется в виде:
~
y C1ek1x C2ek2x
Следовательно
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C e x C |
2 |
e 2x |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Считаем, что С1 |
|
и С2 - функции от x, т.е. |
|||||||
y C x e x C |
2 |
x e 2x |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем C1 x |
|
и C2 x из системы |
|||||||
|
x y1 |
|
|
x |
y2 |
0 |
|||
C1 |
C2 |
||||||||
C |
x y |
C |
|
x |
y |
f x |
|||
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Которая, для данного уравнения имеет вид
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
C |
x e x C x e 2x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C x e x |
2C |
x e 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
x C x e x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C x 2C |
x e x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2e x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
e |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
2e x |
( e x ) e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ex 2 |
|
e |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Находим C |
x |
, |
C |
x , а затем C |
2 |
x |
, |
C |
|
x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|||||||||||
C |
x |
|
e |
x |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
x |
2 |
|
|
e |
x |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x ex 2 |
ex 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
x |
n |
ex 2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
ex 2 t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nt C |
2 |
n |
ex 2 |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
2 |
|
|
|
dt ex dx |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
Следовательно, согласно формуле y y y *, общее решение исходного уравнения имеет вид:
|
|
1 |
|
1 |
|
|
e x n |
|
ex 2 |
|
C |
|
e 2x |
||
y |
x |
n |
ex 2 |
C |
|
|
2 |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
или y C1e x C2e 2x 12 xe x 12 n ex 2 e x n ex 2 e 2x
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
4. Решить следующие задачи.
4.0 Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(3, 8) и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.
Решение:
По условию: OA 3x Найдем ОА: OA y y x
Тогда y y x 3x y x y 3x y |
y |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
y u u , |
y u |
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u u |
|
u |
3 |
|
|
A |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M x; y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|||||||||||||
u u |
|
|
|
3 |
|
y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
Находим функцию x |
из условия x 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
dx |
|
|
|
0 |
x |
B |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляем полученное выражение для x в уравнение (1) |
|
|
|||||||||||||||||||||
u x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
du |
|
|
3 du 3 dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
du 3 dx x
Тогда
u 3 nx C
Общее решение: y x 3 nx C
Учитываем, что кривая проходит через точку А(3, 8)
8 3 3 n3 C 8 9 n3 3С С |
|
8 9 n3 |
С |
8 |
|
3 n3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||
В итоге |
y x |
3 nx |
|
|
3 n3 или |
y |
3x nx |
|
|
3 n3 x |
||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|