Нач Геом ПРЗ
.pdfНАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
|
|
Принятые обозначения |
||
Плоскости проекций: |
π1 - горизонтальная; π2 - фронтальная; π3 - профильная. |
|||
Точки пространства: |
|
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O. |
||
Проекции точек: |
A1,B1,C1,… - |
горизонтальные; |
||
|
A2,B2,C2,… - |
фронтальные; |
||
|
A3,B3,C3,… - |
профильные. |
||
Плоскости обозначаются буквами: |
P, Q, R, S, T. |
|||
Следы плоскостей: |
S1,P1,Q1,… - |
горизонтальные; |
||
|
S2,P2,Q2,… - |
фронтальные; |
||
|
S3,P3,Q3,… - |
профильные. |
Раздел 1
1. Точка. Проецирование точки на две и три плоскости пространства
Проекции одной и той же точки лежат на общих перпендикулярах к осям проекций.
|
Если в пространстве, |
то на чертеже |
|
|
|
1. |
Точка находится в 1 четверти |
Горизонтальная ее проекция лежит ниже |
|
пространства |
оси 0x, а фронтальная – выше оси 0x. |
2. |
Точка находится во 2 четверти |
и горизонтальная и фронтальная ее |
|
пространства |
проекции лежат выше оси 0x. |
3. |
Точка находится в 3 четверти |
горизонтальная проекция лежит выше оси |
|
пространства |
0x, а фронтальная – ниже оси 0x. |
4. |
Точка находится в 4 четверти |
и горизонтальная, и фронтальная ее |
|
пространства |
проекции лежат ниже оси 0x |
5. |
Точка лежит в горизонтальной |
ее фронтальная проекция лежит на оси 0x, |
|
плоскости |
профильная – на оси 0y |
6. |
Точка принадлежит |
ее горизонтальная проекция лежит на оси |
|
фронтальной плоскости |
0x, профильная – на оси 0z |
7. |
Точка принадлежит профильной |
ее горизонтальная проекция лежит на оси |
|
плоскости |
0y, фронтальная – на оси 0z |
|
|
|
|
|
Задача 1. Определить координаты и построить чертеж на три плоскости |
|||||||||||||||||
проекции точки В, удаленной от плоскости π2 |
на l мм, от плоскости π1 |
- на m мм. И от |
|||||||||||||||||
плоскости π3 - на n мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
l |
15 |
25 |
20 |
30 |
25 |
15 |
20 |
30 |
25 |
15 |
20 |
30 |
25 |
15 |
5 |
10 |
10 |
30 |
B |
m |
30 |
10 |
30 |
25 |
15 |
30 |
25 |
30 |
20 |
10 |
25 |
15 |
30 |
20 |
40 |
35 |
15 |
10 |
|
n |
20 |
20 |
15 |
30 |
30 |
30 |
30 |
15 |
15 |
25 |
15 |
25 |
25 |
25 |
15 |
5 |
20 |
10 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
l |
20 |
30 |
25 |
15 |
20 |
30 |
15 |
25 |
20 |
30 |
15 |
25 |
20 |
30 |
5 |
50 |
10 |
50 |
B |
m |
15 |
10 |
30 |
25 |
15 |
15 |
25 |
25 |
30 |
20 |
25 |
20 |
10 |
25 |
10 |
20 |
35 |
50 |
|
n |
30 |
20 |
20 |
25 |
20 |
30 |
15 |
25 |
25 |
25 |
25 |
30 |
30 |
30 |
40 |
15 |
40 |
15 |
|
|
Задача 2. Определить координаты и построить чертеж точки В, симметричной |
|||||||||||||||||
точке А относительно плоскости π1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
25 |
10 |
25 |
20 |
10 |
20 |
25 |
25 |
10 |
20 |
15 |
10 |
15 |
10 |
20 |
30 |
5 |
15 |
А |
y |
30 |
20 |
25 |
30 |
30 |
25 |
30 |
20 |
25 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
25 |
40 |
25 |
|
z |
15 |
30 |
30 |
20 |
25 |
30 |
25 |
30 |
30 |
15 |
20 |
15 |
25 |
20 |
15 |
30 |
15 |
30 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
25 |
20 |
15 |
15 |
20 |
25 |
10 |
20 |
25 |
15 |
20 |
15 |
25 |
15 |
10 |
10 |
30 |
5 |
А |
y |
30 |
30 |
25 |
15 |
30 |
25 |
15 |
30 |
15 |
30 |
25 |
15 |
20 |
25 |
35 |
15 |
10 |
10 |
|
z |
20 |
15 |
30 |
30 |
20 |
30 |
30 |
25 |
30 |
15 |
25 |
20 |
30 |
15 |
5 |
20 |
40 |
25 |
|
|
Задача 3. Определить координаты и построить чертеж точки В, симметричной |
|||||||||||||||||
точке А относительно плоскости π2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
10 |
25 |
10 |
10 |
15 |
20 |
25 |
20 |
15 |
25 |
15 |
20 |
15 |
25 |
50 |
30 |
10 |
30 |
А |
y |
30 |
25 |
15 |
30 |
15 |
30 |
30 |
15 |
25 |
20 |
30 |
30 |
20 |
30 |
10 |
5 |
20 |
20 |
|
z |
25 |
30 |
30 |
15 |
30 |
20 |
25 |
30 |
30 |
30 |
20 |
25 |
30 |
20 |
20 |
40 |
45 |
15 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
20 |
10 |
25 |
20 |
15 |
15 |
20 |
25 |
10 |
10 |
10 |
15 |
20 |
10 |
5 |
20 |
50 |
10 |
А |
y |
20 |
30 |
30 |
30 |
20 |
25 |
25 |
15 |
25 |
20 |
25 |
25 |
15 |
25 |
20 |
15 |
15 |
35 |
|
z |
30 |
15 |
15 |
15 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
25 |
30 |
35 |
40 |
40 |
15 |
|
|
Задача 4. Определить координаты и построить чертеж точки В, симметричной |
|||||||||||||||||
точке А относительно оси 0x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
15 |
25 |
20 |
10 |
25 |
20 |
15 |
15 |
20 |
25 |
10 |
15 |
10 |
15 |
30 |
50 |
30 |
10 |
А |
y |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
30 |
15 |
25 |
20 |
30 |
25 |
20 |
30 |
30 |
20 |
10 |
5 |
20 |
|
z |
15 |
25 |
25 |
30 |
15 |
15 |
30 |
30 |
30 |
20 |
30 |
30 |
15 |
20 |
15 |
20 |
40 |
45 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
20 |
10 |
25 |
15 |
20 |
10 |
20 |
25 |
5 |
25 |
10 |
10 |
30 |
5 |
30 |
15 |
50 |
10 |
А |
y |
15 |
20 |
30 |
30 |
25 |
30 |
15 |
25 |
50 |
15 |
15 |
35 |
10 |
10 |
5 |
15 |
15 |
15 |
|
z |
30 |
30 |
30 |
20 |
30 |
20 |
30 |
10 |
15 |
30 |
25 |
5 |
40 |
25 |
40 |
30 |
40 |
40 |
Задача 5. Построить комплексный чертеж треугольника ABC по координатам его вершин и определить местонахождение точек A, B и C.
№ |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
45 |
50 |
40 |
30 |
50 |
50 |
30 |
50 |
50 |
50 |
50 |
10 |
50 |
50 |
50 |
45 |
50 |
50 |
А |
y |
15 |
10 |
40 |
0 |
10 |
35 |
30 |
0 |
20 |
0 |
0 |
20 |
25 |
20 |
30 |
15 |
0 |
45 |
|
z |
40 |
40 |
0 |
40 |
0 |
20 |
0 |
20 |
40 |
40 |
40 |
0 |
0 |
0 |
20 |
40 |
30 |
40 |
|
x |
10 |
10 |
50 |
0 |
40 |
35 |
0 |
35 |
35 |
40 |
0 |
50 |
30 |
25 |
30 |
40 |
10 |
10 |
B |
y |
0 |
0 |
0 |
40 |
40 |
0 |
10 |
40 |
0 |
40 |
30 |
40 |
0 |
0 |
0 |
0 |
40 |
0 |
|
z |
25 |
20 |
40 |
10 |
40 |
0 |
40 |
40 |
0 |
0 |
10 |
10 |
40 |
40 |
0 |
20 |
0 |
20 |
|
x |
30 |
40 |
0 |
50 |
10 |
10 |
50 |
10 |
0 |
15 |
30 |
30 |
10 |
0 |
10 |
30 |
15 |
45 |
C |
y |
40 |
40 |
20 |
20 |
0 |
20 |
0 |
10 |
40 |
20 |
40 |
0 |
40 |
40 |
10 |
25 |
20 |
40 |
|
z |
0 |
0 |
20 |
0 |
10 |
40 |
25 |
0 |
20 |
40 |
0 |
40 |
20 |
20 |
40 |
0 |
35 |
0 |
№ |
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
50 |
50 |
30 |
50 |
0 |
50 |
50 |
45 |
50 |
20 |
50 |
50 |
45 |
50 |
50 |
40 |
50 |
40 |
А |
y |
0 |
30 |
0 |
40 |
30 |
0 |
45 |
40 |
40 |
40 |
0 |
20 |
20 |
10 |
45 |
0 |
40 |
40 |
|
z |
40 |
0 |
40 |
0 |
40 |
35 |
40 |
40 |
40 |
40 |
25 |
40 |
0 |
40 |
40 |
40 |
0 |
0 |
|
x |
0 |
0 |
0 |
0 |
35 |
35 |
10 |
10 |
35 |
0 |
30 |
35 |
30 |
35 |
10 |
0 |
0 |
50 |
B |
y |
40 |
40 |
40 |
0 |
0 |
40 |
0 |
0 |
0 |
10 |
40 |
40 |
0 |
40 |
0 |
50 |
0 |
0 |
|
z |
25 |
20 |
10 |
15 |
40 |
0 |
10 |
25 |
40 |
40 |
0 |
0 |
40 |
0 |
20 |
20 |
15 |
40 |
|
x |
40 |
30 |
45 |
40 |
50 |
0 |
45 |
50 |
0 |
50 |
0 |
10 |
0 |
0 |
45 |
40 |
40 |
0 |
C |
y |
30 |
0 |
25 |
40 |
40 |
40 |
40 |
10 |
10 |
0 |
20 |
0 |
35 |
10 |
40 |
30 |
40 |
20 |
|
z |
0 |
35 |
0 |
40 |
0 |
40 |
0 |
0 |
10 |
20 |
40 |
20 |
10 |
10 |
0 |
0 |
40 |
20 |
|
|
II. Прямая. Следы прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Если в пространстве |
|
|
|
|
то на чертеже |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
Прямая имеет общее положение |
все ее проекции наклонены к осям |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Прямая параллельна |
|
|
|
фронтальная проекция параллельна оси 0x, |
|
|||||||||||||
|
горизонтальной плоскости |
|
горизонтальная |
образует |
с |
|
ней |
|
|||||||||||
|
проекций |
|
|
|
|
|
произвольный угол |
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Прямая параллельна |
|
|
|
горизонтальная проекция параллельна оси |
|
|||||||||||||
|
фронтальной плоскости |
|
|
0x, а фронтальная образует с ней |
|
||||||||||||||
|
проекций |
|
|
|
|
|
произвольный угол |
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Прямая параллельна |
|
|
|
горизонтальная проекция параллельна оси |
|
|||||||||||||
|
профильной плоскости |
|
|
0y, |
фронтальная – оси 0z, а профильная |
|
|||||||||||||
|
проекций |
|
|
|
|
|
образует с ними произвольный угол. |
|
|
||||||||||
5. |
Прямая перпендикулярна какой- |
проекция прямой на эту плоскость |
|
||||||||||||||||
|
либо плоскости проекций |
|
проекции – |
точка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6. Дана ломанная линия ABCDE. Определить ее общую длину и положение отрезков в пространстве.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
А |
y |
30 |
10 |
5 |
30 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
35 |
15 |
35 |
40 |
10 |
10 |
5 |
35 |
|
z |
35 |
10 |
10 |
10 |
10 |
35 |
35 |
40 |
35 |
15 |
30 |
10 |
10 |
10 |
10 |
15 |
10 |
10 |
|
x |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
B |
y |
30 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
35 |
10 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
40 |
20 |
40 |
10 |
|
z |
10 |
40 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
10 |
40 |
35 |
10 |
40 |
20 |
10 |
30 |
|
x |
55 |
50 |
55 |
65 |
60 |
35 |
45 |
50 |
45 |
35 |
40 |
65 |
45 |
50 |
50 |
30 |
55 |
45 |
C |
y |
10 |
40 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
|
z |
10 |
10 |
35 |
40 |
40 |
40 |
10 |
10 |
35 |
40 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
35 |
10 |
|
x |
15 |
15 |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
45 |
15 |
15 |
65 |
15 |
15 |
15 |
15 |
20 |
15 |
D |
y |
10 |
10 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
30 |
40 |
10 |
10 |
40 |
30 |
|
z |
35 |
10 |
10 |
40 |
10 |
40 |
30 |
40 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
|
x |
15 |
15 |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
20 |
15 |
E |
y |
40 |
10 |
10 |
10 |
35 |
15 |
35 |
10 |
5 |
30 |
10 |
10 |
30 |
10 |
10 |
30 |
10 |
30 |
|
z |
10 |
40 |
35 |
15 |
30 |
10 |
30 |
10 |
10 |
10 |
10 |
35 |
35 |
10 |
40 |
10 |
35 |
35 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
А |
y |
35 |
15 |
30 |
10 |
35 |
10 |
10 |
10 |
10 |
35 |
10 |
10 |
10 |
35 |
30 |
10 |
35 |
10 |
|
z |
10 |
10 |
35 |
15 |
30 |
10 |
5 |
30 |
10 |
10 |
5 |
30 |
10 |
10 |
35 |
5 |
10 |
10 |
|
x |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
85 |
B |
y |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
|
z |
40 |
40 |
10 |
40 |
30 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
40 |
10 |
40 |
|
x |
45 |
35 |
40 |
65 |
55 |
50 |
55 |
65 |
60 |
35 |
45 |
45 |
40 |
55 |
40 |
55 |
35 |
40 |
C |
y |
35 |
40 |
40 |
40 |
10 |
10 |
35 |
40 |
40 |
40 |
35 |
40 |
40 |
40 |
40 |
35 |
40 |
40 |
|
z |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
40 |
10 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
10 |
10 |
40 |
10 |
10 |
|
x |
45 |
15 |
15 |
65 |
15 |
15 |
20 |
15 |
15 |
15 |
45 |
15 |
15 |
45 |
15 |
20 |
15 |
15 |
D |
y |
10 |
10 |
40 |
10 |
3 |
10 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
|
z |
40 |
10 |
40 |
10 |
10 |
10 |
40 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
10 |
40 |
40 |
40 |
40 |
10 |
|
x |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
20 |
15 |
15 |
E |
y |
10 |
10 |
10 |
35 |
35 |
40 |
35 |
15 |
30 |
10 |
10 |
15 |
10 |
10 |
10 |
35 |
10 |
10 |
|
z |
5 |
30 |
10 |
10 |
35 |
10 |
10 |
10 |
35 |
15 |
35 |
10 |
35 |
15 |
10 |
10 |
15 |
35 |
Задача 7. Построить следы прямой AB и указать, через какие четверти пространства она проходит.
№ |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
60 |
55 |
55 |
60 |
60 |
55 |
40 |
60 |
60 |
30 |
30 |
40 |
40 |
35 |
55 |
40 |
50 |
60 |
А |
y |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
25 |
30 |
30 |
25 |
10 |
10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
10 |
35 |
25 |
|
z |
35 |
20 |
35 |
25 |
25 |
20 |
15 |
35 |
25 |
20 |
15 |
15 |
5 |
10 |
20 |
5 |
30 |
25 |
|
x |
40 |
40 |
35 |
40 |
40 |
30 |
25 |
35 |
35 |
10 |
15 |
20 |
15 |
10 |
40 |
15 |
30 |
30 |
B |
y |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
5 |
5 |
10 |
5 |
30 |
30 |
30 |
20 |
35 |
10 |
20 |
15 |
50 |
|
z |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
10 |
0 |
20 |
10 |
25 |
20 |
35 |
30 |
30 |
15 |
30 |
0 |
10 |
№ |
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
35 |
60 |
55 |
50 |
65 |
65 |
55 |
40 |
60 |
60 |
30 |
30 |
35 |
30 |
30 |
15 |
40 |
35 |
А |
y |
10 |
35 |
25 |
35 |
25 |
25 |
20 |
20 |
35 |
25 |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
20 |
15 |
0 |
|
z |
5 |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
25 |
30 |
30 |
25 |
20 |
15 |
15 |
15 |
25 |
30 |
5 |
15 |
|
x |
5 |
40 |
40 |
30 |
40 |
40 |
30 |
15 |
35 |
35 |
10 |
15 |
15 |
10 |
10 |
40 |
60 |
55 |
B |
y |
25 |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
10 |
0 |
20 |
10 |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
10 |
25 |
30 |
|
z |
25 |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
5 |
5 |
10 |
5 |
35 |
20 |
35 |
25 |
25 |
15 |
15 |
35 |
|
|
|
|
|
|
III. Взаимное положение прямой и точки. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Взаимное положение прямых |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Если в пространстве |
|
|
|
|
то на чертеже |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
Точка лежит на прямой |
|
|
проекции точки лежат на одномерных |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекциях прямой |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(Если прямая профильная, то обязателен чертеж на три плоскости) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Точка делит отрезок в |
|
|
проекции точки делят проекции отрезка в |
|
||||||||||||||
|
отношении m/n |
|
|
|
|
том же отношении |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Прямые параллельны |
|
|
одноименные |
проекции |
|
прямых |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельны |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Прямые пересекаются |
|
|
одноименные |
проекции |
|
прямых |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются и точка их пересечения |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежит на общем перпендикуляре к оси |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проекции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Прямые пересекаются под |
|
проекции этих прямых на эту плоскость |
|
|||||||||||||||
|
прямым углом, причем хотя бы |
будут также перпендикулярны |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
одна из сторон параллельна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
плоскости проекций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
Если прямые не пересекаются и не параллельны, то они скрещиваются |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. На прямой AB Построить следы прямой AB и проходит.
найти точку C, делящую ее в отношении 1:3. указать, через какие четверти пространства она
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
60 |
55 |
55 |
60 |
60 |
55 |
40 |
60 |
60 |
30 |
30 |
40 |
40 |
35 |
55 |
40 |
50 |
60 |
А |
y |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
25 |
30 |
30 |
25 |
10 |
10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
10 |
35 |
25 |
|
z |
35 |
20 |
35 |
25 |
25 |
20 |
15 |
35 |
25 |
20 |
15 |
15 |
5 |
10 |
20 |
5 |
30 |
25 |
|
x |
40 |
40 |
35 |
40 |
40 |
30 |
25 |
35 |
35 |
10 |
15 |
20 |
15 |
10 |
40 |
15 |
30 |
30 |
B |
y |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
5 |
5 |
10 |
5 |
30 |
30 |
30 |
20 |
35 |
10 |
20 |
15 |
50 |
|
z |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
10 |
0 |
20 |
10 |
25 |
20 |
35 |
30 |
30 |
15 |
30 |
0 |
10 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
35 |
60 |
55 |
50 |
65 |
65 |
55 |
40 |
60 |
60 |
30 |
30 |
35 |
30 |
30 |
15 |
40 |
35 |
А |
y |
10 |
35 |
25 |
35 |
25 |
25 |
20 |
20 |
35 |
25 |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
20 |
15 |
0 |
|
z |
5 |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
25 |
30 |
30 |
25 |
20 |
15 |
15 |
15 |
25 |
30 |
5 |
15 |
|
x |
5 |
40 |
40 |
30 |
40 |
40 |
30 |
15 |
35 |
35 |
10 |
15 |
15 |
10 |
10 |
40 |
60 |
55 |
B |
y |
25 |
20 |
15 |
15 |
15 |
15 |
10 |
0 |
20 |
10 |
30 |
30 |
30 |
15 |
30 |
10 |
25 |
30 |
|
z |
25 |
10 |
10 |
0 |
5 |
10 |
5 |
5 |
10 |
5 |
35 |
20 |
35 |
25 |
25 |
15 |
15 |
35 |
Задача 9. На прямой AB Построить следы прямой AB и проходит.
найти точку C, делящую ее в отношении 2:3. указать, через какие четверти пространства она
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
x |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
А |
y |
-35 |
30 |
30 |
30 |
30 |
20 |
20 |
30 |
15 |
30 |
0 |
30 |
|
z |
-10 |
10 |
15 |
-30 |
30 |
30 |
-35 |
35 |
-30 |
30 |
25 |
-15 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
B |
y |
35 |
-20 |
-30 |
10 |
0 |
-30 |
10 |
-10 |
15 |
-10 |
-30 |
-20 |
|
z |
30 |
35 |
15 |
30 |
-25 |
15 |
30 |
-35 |
30 |
-30 |
-30 |
-30 |
|
№ |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
x |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
А |
y |
10 |
-1 |
0 |
-30 |
30 |
-30 |
15 |
-30 |
-30 |
-20 |
-20 |
35 |
|
z |
30 |
35 |
25 |
15 |
15 |
35 |
30 |
-10 |
-30 |
-30 |
35 |
30 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
B |
y |
20 |
30 |
-30 |
30 |
-30 |
30 |
15 |
30 |
0 |
30 |
30 |
-35 |
|
z |
-35 |
35 |
-30 |
15 |
15 |
15 |
-30 |
30 |
25 |
-15 |
10 |
-10 |
|
№ |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
55 |
А |
y |
-30 |
10 |
0 |
-30 |
35 |
-20 |
-30 |
10 |
-35 |
-30 |
15 |
-10 |
|
z |
15 |
30 |
-25 |
15 |
30 |
35 |
15 |
30 |
-10 |
15 |
-30 |
35 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
B |
y |
30 |
-30 |
-30 |
20 |
-35 |
30 |
30 |
30 |
35 |
20 |
15 |
30 |
|
z |
15 |
-30 |
-30 |
30 |
-10 |
10 |
15 |
30 |
30 |
15 |
30 |
35 |
Задача 10. Дана прямая AB и точка C. Провести через точку C прямую пересекающую заданную прямую в точку, делящей ее отрезок между следами в соотношении 1:2 и указать, через какие четверти пространства она проходит.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
10 |
10 |
15 |
50 |
А |
y |
5 |
25 |
5 |
35 |
15 |
10 |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
35 |
10 |
10 |
20 |
5 |
35 |
0 |
|
z |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
10 |
10 |
30 |
0 |
30 |
10 |
30 |
5 |
0 |
30 |
20 |
30 |
20 |
|
x |
10 |
10 |
15 |
10 |
15 |
5 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
10 |
10 |
5 |
50 |
45 |
50 |
10 |
B |
y |
20 |
20 |
20 |
5 |
35 |
35 |
15 |
10 |
35 |
35 |
35 |
10 |
30 |
30 |
35 |
15 |
35 |
10 |
|
z |
30 |
10 |
30 |
20 |
15 |
30 |
30 |
0 |
30 |
15 |
30 |
10 |
20 |
30 |
25 |
30 |
20 |
10 |
|
x |
50 |
60 |
50 |
45 |
45 |
60 |
55 |
10 |
50 |
55 |
50 |
50 |
50 |
55 |
60 |
60 |
60 |
60 |
С |
y |
35 |
0 |
35 |
15 |
30 |
35 |
30 |
10 |
35 |
20 |
15 |
0 |
25 |
20 |
5 |
35 |
0 |
35 |
|
z |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
30 |
20 |
20 |
20 |
5 |
30 |
20 |
30 |
25 |
10 |
0 |
0 |
30 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
50 |
60 |
65 |
60 |
60 |
10 |
15 |
20 |
15 |
А |
y |
20 |
0 |
15 |
35 |
10 |
35 |
0 |
35 |
10 |
20 |
25 |
40 |
35 |
5 |
20 |
35 |
15 |
10 |
|
z |
5 |
30 |
15 |
30 |
5 |
35 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
25 |
10 |
25 |
5 |
25 |
30 |
35 |
|
x |
15 |
10 |
15 |
15 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
5 |
10 |
15 |
10 |
10 |
45 |
55 |
55 |
60 |
B |
y |
35 |
20 |
15 |
0 |
35 |
0 |
35 |
15 |
30 |
35 |
10 |
10 |
5 |
35 |
35 |
20 |
5 |
10 |
|
z |
20 |
5 |
30 |
20 |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
30 |
35 |
35 |
25 |
10 |
15 |
30 |
20 |
35 |
|
x |
50 |
45 |
45 |
55 |
55 |
55 |
50 |
55 |
50 |
60 |
55 |
60 |
65 |
55 |
60 |
60 |
60 |
65 |
С |
y |
35 |
35 |
35 |
10 |
20 |
20 |
20 |
5 |
35 |
35 |
10 |
10 |
25 |
35 |
0 |
10 |
35 |
40 |
|
z |
30 |
45 |
30 |
10 |
30 |
10 |
30 |
20 |
15 |
30 |
35 |
35 |
40 |
10 |
30 |
5 |
0 |
25 |
Задача 11. Установить взаимное положение прямых AB и CD.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
30 |
30 |
30 |
35 |
30 |
30 |
30 |
25 |
30 |
30 |
30 |
25 |
30 |
35 |
25 |
15 |
15 |
30 |
А |
y |
30 |
5 |
10 |
20 |
15 |
5 |
5 |
5 |
20 |
25 |
10 |
30 |
30 |
20 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
z |
30 |
0 |
15 |
25 |
10 |
5 |
15 |
5 |
30 |
30 |
5 |
30 |
25 |
30 |
35 |
35 |
35 |
25 |
|
x |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
5 |
10 |
10 |
15 |
15 |
30 |
B |
y |
10 |
25 |
10 |
5 |
20 |
15 |
30 |
20 |
0 |
25 |
25 |
5 |
5 |
5 |
30 |
30 |
35 |
35 |
|
z |
5 |
25 |
15 |
5 |
30 |
30 |
25 |
30 |
10 |
5 |
30 |
10 |
15 |
5 |
5 |
10 |
0 |
0 |
|
x |
25 |
15 |
25 |
15 |
20 |
15 |
20 |
5 |
15 |
20 |
15 |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
20 |
35 |
С |
y |
0 |
10 |
0 |
5 |
35 |
0 |
10 |
5 |
0 |
10 |
5 |
5 |
35 |
5 |
10 |
5 |
20 |
20 |
|
z |
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
30 |
25 |
35 |
35 |
25 |
30 |
30 |
25 |
15 |
5 |
30 |
30 |
|
x |
25 |
15 |
10 |
15 |
20 |
15 |
25 |
5 |
15 |
20 |
15 |
25 |
10 |
30 |
5 |
0 |
5 |
10 |
D |
y |
35 |
35 |
30 |
35 |
10 |
30 |
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
30 |
10 |
35 |
10 |
15 |
0 |
5 |
|
z |
10 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
0 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
0 |
15 |
30 |
10 |
5 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
30 |
35 |
35 |
35 |
30 |
35 |
30 |
35 |
30 |
35 |
30 |
35 |
30 |
35 |
20 |
25 |
25 |
20 |
А |
y |
0 |
25 |
25 |
5 |
10 |
25 |
15 |
5 |
20 |
15 |
25 |
5 |
30 |
25 |
30 |
5 |
35 |
35 |
|
z |
10 |
0 |
30 |
10 |
5 |
25 |
10 |
5 |
30 |
30 |
30 |
35 |
5 |
30 |
30 |
5 |
35 |
35 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
0 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
10 |
20 |
25 |
25 |
20 |
B |
y |
20 |
25 |
10 |
30 |
30 |
5 |
15 |
20 |
15 |
5 |
5 |
10 |
10 |
5 |
30 |
0 |
35 |
10 |
|
z |
30 |
30 |
5 |
30 |
30 |
0 |
10 |
25 |
10 |
5 |
10 |
10 |
30 |
5 |
5 |
35 |
5 |
5 |
|
x |
20 |
15 |
25 |
15 |
15 |
20 |
25 |
25 |
20 |
20 |
15 |
15 |
20 |
25 |
35 |
30 |
35 |
30 |
С |
y |
35 |
10 |
25 |
30 |
35 |
30 |
5 |
35 |
35 |
35 |
10 |
30 |
30 |
35 |
25 |
15 |
5 |
20 |
|
z |
35 |
10 |
25 |
30 |
35 |
30 |
5 |
35 |
35 |
35 |
35 |
5 |
30 |
5 |
25 |
10 |
5 |
30 |
|
x |
20 |
15 |
25 |
10 |
10 |
20 |
25 |
25 |
20 |
20 |
15 |
15 |
20 |
25 |
5 |
5 |
0 |
5 |
D |
y |
0 |
35 |
5 |
5 |
35 |
30 |
0 |
35 |
10 |
0 |
35 |
5 |
5 |
5 |
5 |
15 |
20 |
15 |
|
z |
5 |
35 |
5 |
5 |
10 |
5 |
35 |
5 |
5 |
10 |
5 |
35 |
10 |
35 |
0 |
10 |
25 |
10 |
Задача 12. Дана прямая AB и точка C. Через точку C провести: a) прямую, пересекающую AB, b) прямую, параллельную AB.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
10 |
10 |
15 |
55 |
А |
y |
5 |
25 |
5 |
35 |
15 |
10 |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
35 |
10 |
10 |
20 |
5 |
35 |
0 |
|
z |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
10 |
10 |
30 |
0 |
30 |
10 |
30 |
5 |
0 |
30 |
20 |
30 |
20 |
|
x |
10 |
10 |
15 |
10 |
15 |
5 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
10 |
10 |
5 |
50 |
45 |
50 |
10 |
B |
y |
20 |
20 |
20 |
5 |
35 |
35 |
15 |
10 |
35 |
35 |
35 |
10 |
30 |
30 |
35 |
15 |
35 |
10 |
|
z |
30 |
10 |
30 |
20 |
15 |
30 |
30 |
0 |
30 |
15 |
30 |
10 |
20 |
30 |
25 |
30 |
20 |
10 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
15 |
5 |
55 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
5 |
C |
y |
10 |
35 |
0 |
35 |
10 |
20 |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
35 |
5 |
10 |
10 |
35 |
20 |
35 |
|
z |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
25 |
5 |
30 |
15 |
30 |
10 |
20 |
5 |
0 |
5 |
30 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
50 |
60 |
65 |
60 |
60 |
10 |
15 |
20 |
15 |
А |
y |
20 |
0 |
15 |
5 |
10 |
35 |
0 |
35 |
10 |
20 |
25 |
40 |
35 |
5 |
20 |
35 |
15 |
10 |
|
z |
5 |
30 |
15 |
35 |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
25 |
10 |
25 |
5 |
25 |
30 |
35 |
|
x |
15 |
10 |
15 |
15 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
5 |
10 |
15 |
10 |
10 |
45 |
55 |
55 |
60 |
B |
y |
35 |
20 |
15 |
0 |
35 |
0 |
35 |
15 |
30 |
35 |
10 |
10 |
5 |
35 |
35 |
20 |
5 |
10 |
|
z |
20 |
5 |
30 |
20 |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
30 |
35 |
35 |
25 |
10 |
15 |
30 |
20 |
35 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
10 |
15 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
C |
y |
0 |
0 |
0 |
35 |
5 |
25 |
5 |
35 |
15 |
10 |
40 |
25 |
35 |
25 |
0 |
5 |
35 |
25 |
|
z |
0 |
30 |
10 |
30 |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
10 |
25 |
5 |
10 |
40 |
30 |
10 |
0 |
5 |
Задача 13. Даны скрещивающиеся прямые AB и CD. Найти конкурирующие точки и определить их видимость.
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
x |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
55 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
10 |
10 |
15 |
50 |
А |
y |
5 |
25 |
5 |
35 |
15 |
10 |
5 |
35 |
0 |
0 |
0 |
35 |
10 |
10 |
20 |
5 |
35 |
0 |
|
z |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
10 |
10 |
30 |
0 |
30 |
10 |
30 |
5 |
0 |
30 |
20 |
30 |
20 |
|
x |
10 |
10 |
15 |
10 |
15 |
5 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
10 |
10 |
5 |
50 |
45 |
50 |
10 |
B |
y |
20 |
20 |
20 |
5 |
35 |
35 |
15 |
10 |
35 |
35 |
35 |
10 |
30 |
30 |
35 |
15 |
35 |
10 |
|
z |
30 |
10 |
30 |
20 |
15 |
30 |
30 |
0 |
30 |
15 |
30 |
10 |
20 |
30 |
25 |
30 |
20 |
10 |
|
x |
50 |
60 |
50 |
45 |
45 |
60 |
55 |
10 |
50 |
55 |
50 |
50 |
50 |
55 |
60 |
60 |
60 |
60 |
С |
y |
35 |
0 |
35 |
15 |
30 |
35 |
30 |
10 |
35 |
20 |
15 |
0 |
25 |
20 |
5 |
35 |
0 |
35 |
|
z |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
30 |
20 |
20 |
20 |
5 |
30 |
20 |
30 |
25 |
10 |
0 |
0 |
30 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
15 |
5 |
55 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
5 |
D |
y |
10 |
35 |
0 |
35 |
10 |
20 |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
35 |
5 |
10 |
10 |
35 |
20 |
35 |
|
z |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
25 |
5 |
30 |
15 |
30 |
10 |
20 |
5 |
0 |
5 |
30 |
|
№ |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
|
x |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
60 |
50 |
60 |
65 |
60 |
60 |
10 |
15 |
20 |
15 |
А |
y |
20 |
0 |
15 |
35 |
10 |
35 |
0 |
35 |
10 |
20 |
25 |
40 |
35 |
5 |
20 |
35 |
15 |
10 |
|
z |
5 |
30 |
15 |
30 |
5 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
25 |
10 |
25 |
5 |
25 |
30 |
35 |
|
x |
15 |
10 |
15 |
15 |
15 |
5 |
15 |
20 |
20 |
5 |
10 |
15 |
10 |
10 |
45 |
55 |
55 |
60 |
B |
y |
35 |
20 |
15 |
0 |
35 |
0 |
35 |
15 |
30 |
35 |
10 |
10 |
5 |
35 |
35 |
20 |
5 |
10 |
|
z |
20 |
5 |
30 |
20 |
25 |
10 |
30 |
30 |
30 |
30 |
35 |
35 |
25 |
10 |
15 |
30 |
20 |
35 |
|
x |
50 |
45 |
45 |
55 |
55 |
55 |
50 |
55 |
50 |
60 |
55 |
60 |
65 |
55 |
60 |
60 |
60 |
65 |
С |
y |
35 |
35 |
35 |
10 |
20 |
20 |
20 |
5 |
35 |
35 |
10 |
10 |
25 |
35 |
0 |
10 |
35 |
40 |
|
z |
30 |
15 |
30 |
10 |
30 |
10 |
30 |
20 |
15 |
30 |
35 |
35 |
40 |
10 |
30 |
5 |
0 |
25 |
|
x |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
5 |
5 |
10 |
5 |
10 |
15 |
5 |
5 |
5 |
5 |
10 |
D |
y |
0 |
0 |
0 |
35 |
5 |
25 |
5 |
35 |
15 |
10 |
40 |
25 |
35 |
25 |
0 |
5 |
35 |
25 |
|
z |
0 |
30 |
10 |
30 |
10 |
20 |
20 |
0 |
15 |
10 |
25 |
5 |
10 |
40 |
30 |
10 |
0 |
5 |