Харькин 9 вариант

При построении видно, что фазовые траектории сходятся близко. Состыковываем по линиям переключения друг с другом фазовые траектории каждого из участков и получаем фазовый портрет.

В нашем случае фазовые траектории сходятся к замкнутому контуру. Здесь имеет место устойчивый предельный цикл. Это означает, что в системе имеют место автоколебания. Определим их параметры, т.е. амплитуду и частоту:

Амплитуда их определяется точкой пересечения предельного цикла с осью x: тогда A= 5

Частоту находим из точки пересечения предельного цикла с осью y: Это произведение Aw=0,5 => w=0,5/5=0,1

Метод гармонической линеаризации

(гармонического баланса)

Базируясь на свойстве фильтра линейной части системы, периодическое решение нелинейной системы ищется приближенно в виде x = A sinωt . После гармонической линеаризации нелинейности ее передаточная функция имеет вид ,

а амплитудно- фазовая характеристика W_н(A) = q(A) + jq’ (A).

Периодическое решение линеаризованной системы получается при наличии в характеристическом уравнении пары чисто мнимых корней. А это по критерию Найквиста соответствует прохождению АФХ разомкнутой системы через точку (– 1, 0j).

Следовательно, периодическое решение определяется равенством W_л(jω) W_н(A) = - 1, или W_л(jω) = - 1 / W_н(A).

Последнее уравнение определяет искомые амплитуду А и частоту ω периодического решения. Это уравнение графически можно решить следующим образом. На комплексной плоскости (U,V) строится амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части W_л(jω) , а также обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена с обратным знаком - 1/ W_н(A). Точка их пересечения и определяет величину А и ω, причем значение А отсчитывается по кривой - 1/ W_н(A), а значение ω – по кривой W_л(jω).

Для линейной части исследуемой системы передаточная функция и амплитудно -фазовая характеристика имеют вид:

Частота	Ulin(w)	Vlin(w)
0,01	-4,870738	-18,73361
0,02	-4,093199	-7,871537
0,03	-3,233027	-4,144906
0,04	-2,498078	-2,401998
0,05	-1,933086	-1,486989
0,06	-1,514445	-0,970798
0,07	-1,205825	-0,662541
0,08	-0,976269	-0,46936
0,09	-0,803014	-0,343169
0,1	-0,670103	-0,257732
0,11	-0,566473	-0,198068
0,12	-0,484424	-0,155264
0,13	-0,418531	-0,123826
0,14	-0,364923	-0,100253
0,15	-0,32079	-0,082254
0,16	-0,284066	-0,068285
0,17	-0,253209	-0,057287
0,18	-0,22705	-0,048515
0,19	-0,204695	-0,041436
0,2	-0,185449	-0,035663
0,21	-0,168768	-0,03091
0,22	-0,154218	-0,026961
0,23	-0,141457	-0,023655
0,24	-0,130203	-0,020866
0,25	-0,120231	-0,018497
0,26	-0,111355	-0,016473
0,27	-0,10342	-0,014732
0,28	-0,096299	-0,013228
0,29	-0,089885	-0,011921
0,3	-0,084088	-0,010781
0,31	-0,078831	-0,009781
0,32	-0,07405	-0,0089
0,33	-0,06969	-0,008122
0,34	-0,065702	-0,007432
0,35	-0,062045	-0,006818
0,36	-0,058684	-0,00627
0,37	-0,055589	-0,005778
0,38	-0,052731	-0,005337
0,39	-0,050087	-0,00494
0,4	-0,047636	-0,00458
0,41	-0,045361	-0,004255
0,42	-0,043245	-0,00396
0,43	-0,041272	-0,003692
0,44	-0,039432	-0,003447
0,45	-0,037711	-0,003223
0,46	-0,036101	-0,003018
0,47	-0,034591	-0,002831
0,48	-0,033174	-0,002658
0,49	-0,031842	-0,002499
0,5	-0,030588	-0,002353
0,51	-0,029407	-0,002218
0,52	-0,028293	-0,002093
0,53	-0,027241	-0,001977
0,54	-0,026247	-0,001869
0,55	-0,025305	-0,00177
0,56	-0,024414	-0,001677
0,57	-0,023569	-0,00159
0,58	-0,022766	-0,00151
0,59	-0,022004	-0,001434
0,6	-0,02128	-0,001364
0,61	-0,020591	-0,001298
0,62	-0,019934	-0,001237
0,63	-0,019309	-0,001179
0,64	-0,018712	-0,001125
0,65	-0,018143	-0,001074
0,66	-0,017599	-0,001026
0,67	-0,01708	-0,00098
0,68	-0,016583	-0,000938
0,69	-0,016107	-0,000898
0,7	-0,015651	-0,00086
0,71	-0,015215	-0,000824
0,72	-0,014796	-0,00079
0,73	-0,014395	-0,000758
0,74	-0,014009	-0,000728
0,75	-0,013639	-0,000699
0,76	-0,013284	-0,000672
0,77	-0,012942	-0,000646
0,78	-0,012613	-0,000622
0,79	-0,012296	-0,000599
0,8	-0,011992	-0,000577
0,81	-0,011698	-0,000555
0,82	-0,011415	-0,000535
0,83	-0,011142	-0,000516
0,84	-0,010879	-0,000498
0,85	-0,010625	-0,000481
0,86	-0,01038	-0,000464
0,87	-0,010143	-0,000448
0,88	-0,009914	-0,000433
0,89	-0,009693	-0,000419
0,9	-0,009479	-0,000405
0,91	-0,009273	-0,000392
0,92	-0,009072	-0,000379
0,93	-0,008879	-0,000367
0,94	-0,008691	-0,000356
0,95	-0,008509	-0,000345
0,96	-0,008333	-0,000334
0,97	-0,008163	-0,000324
0,98	-0,007997	-0,000314
0,99	-0,007837	-0,000304
1	-0,007681	-0,000295

Коэффициенты гармонической линеаризации имеют для рассматриваемой нелинейности следующие значения:

где A - амплитуда входного сигнала.

Задаваясь значениями А > a вычисляют значения вещественной и мнимой составляющей характеристики Z_н (А) = 1/ W_н(A). Данные вычислений заносятся в таблицу 3

Амплитуда	q(A)	q'(A)	Uz(A)	Vz(A)
8,01	3,25885	-0,476273	-0,30044	-0,043909
8,02	3,256329	-0,475086	-0,300694	-0,04387
8,03	3,253808	-0,473904	-0,300948	-0,043832
8,04	3,251287	-0,472726	-0,301203	-0,043794
8,05	3,248764	-0,471552	-0,301458	-0,043756
8,06	3,246242	-0,470383	-0,301714	-0,043719
8,07	3,243719	-0,469218	-0,301969	-0,043681
8,08	3,241196	-0,468057	-0,302225	-0,043644
8,09	3,238673	-0,4669	-0,302482	-0,043607
8,1	3,23615	-0,465748	-0,302739	-0,04357
8,2	3,210914	-0,454458	-0,305322	-0,043214
8,3	3,185701	-0,443573	-0,307933	-0,042876
8,4	3,160543	-0,433075	-0,31057	-0,042556
8,5	3,135468	-0,422945	-0,313232	-0,042252
8,6	3,110503	-0,413166	-0,315918	-0,041963
8,7	3,085668	-0,403722	-0,318625	-0,041688
8,8	3,060982	-0,394599	-0,321352	-0,041426
8,9	3,036464	-0,385781	-0,324099	-0,041177
9	3,012126	-0,377256	-0,326864	-0,040938
9,1	2,987981	-0,36901	-0,329646	-0,040711
9,2	2,96404	-0,361032	-0,332445	-0,040493
9,3	2,940313	-0,35331	-0,335259	-0,040285
9,4	2,916806	-0,345832	-0,338088	-0,040086
9,5	2,893527	-0,33859	-0,340931	-0,039894
9,6	2,870481	-0,331573	-0,343787	-0,039711
9,7	2,847672	-0,324771	-0,346655	-0,039535
9,8	2,825104	-0,318177	-0,349536	-0,039366
9,9	2,802779	-0,311782	-0,352428	-0,039204
10	2,780701	-0,305577	-0,35533	-0,039048
10,1	2,75887	-0,299556	-0,358244	-0,038898
10,2	2,737287	-0,293712	-0,361167	-0,038753
10,3	2,715953	-0,288036	-0,3641	-0,038614
10,4	2,694868	-0,282524	-0,367042	-0,03848
10,5	2,674032	-0,277168	-0,369992	-0,03835
10,6	2,653442	-0,271963	-0,372951	-0,038225
10,7	2,6331	-0,266903	-0,375918	-0,038105
10,8	2,613003	-0,261983	-0,378893	-0,037988
10,9	2,59315	-0,257198	-0,381875	-0,037876
11	2,573539	-0,252543	-0,384864	-0,037767
11,1	2,554168	-0,248014	-0,38786	-0,037662
11,2	2,535035	-0,243605	-0,390862	-0,03756
11,3	2,516138	-0,239312	-0,393871	-0,037461
11,4	2,497475	-0,235132	-0,396886	-0,037366
11,5	2,479043	-0,23106	-0,399907	-0,037274
11,6	2,46084	-0,227094	-0,402934	-0,037184
11,7	2,442862	-0,223228	-0,405966	-0,037097
11,8	2,425108	-0,219461	-0,409003	-0,037013
11,9	2,407575	-0,215788	-0,412046	-0,036931
12	2,390259	-0,212207	-0,415093	-0,036852
12,1	2,373159	-0,208714	-0,418145	-0,036775
12,2	2,35627	-0,205306	-0,421202	-0,0367
12,3	2,339592	-0,201981	-0,424263	-0,036627
12,4	2,323119	-0,198737	-0,427328	-0,036557
12,5	2,306851	-0,19557	-0,430398	-0,036488
12,6	2,290783	-0,192478	-0,433472	-0,036421
12,7	2,274914	-0,189458	-0,436549	-0,036357
12,8	2,25924	-0,18651	-0,439631	-0,036293
12,9	2,243758	-0,183629	-0,442716	-0,036232
13	2,228465	-0,180815	-0,445804	-0,036172
13,1	2,21336	-0,178065	-0,448896	-0,036114
13,2	2,198439	-0,175377	-0,451992	-0,036057
13,3	2,183699	-0,17275	-0,455091	-0,036002
13,4	2,169137	-0,170181	-0,458192	-0,035948
13,5	2,154752	-0,167669	-0,461297	-0,035895
13,6	2,140539	-0,165213	-0,464405	-0,035844
13,7	2,126498	-0,16281	-0,467516	-0,035794
13,8	2,112624	-0,160459	-0,47063	-0,035745
13,9	2,098916	-0,158158	-0,473746	-0,035698
14	2,085371	-0,155907	-0,476866	-0,035652
14,1	2,071986	-0,153703	-0,479987	-0,035606
14,2	2,058759	-0,151546	-0,483112	-0,035562
14,3	2,045688	-0,149434	-0,486238	-0,035519
14,4	2,03277	-0,147366	-0,489368	-0,035477
14,5	2,020003	-0,14534	-0,492499	-0,035436
14,6	2,007384	-0,143356	-0,495633	-0,035395
14,7	1,994912	-0,141412	-0,498769	-0,035356
14,8	1,982583	-0,139508	-0,501907	-0,035318
14,9	1,970397	-0,137641	-0,505048	-0,03528
15	1,958349	-0,135812	-0,50819	-0,035243
15,1	1,94644	-0,134019	-0,511334	-0,035207
15,2	1,934665	-0,132262	-0,514481	-0,035172
15,3	1,923024	-0,130538	-0,517629	-0,035138
15,4	1,911514	-0,128849	-0,520779	-0,035104
15,5	1,900133	-0,127191	-0,523931	-0,035071
15,6	1,888879	-0,125566	-0,527085	-0,035039
15,7	1,877751	-0,123972	-0,530241	-0,035007
15,8	1,866746	-0,122407	-0,533398	-0,034976
15,9	1,855862	-0,120872	-0,536557	-0,034946
16	1,845098	-0,119366	-0,539718	-0,034916
17	1,743657	-0,105736	-0,571406	-0,03465
18	1,652375	-0,094314	-0,603224	-0,034431
19	1,569871	-0,084648	-0,635148	-0,034247
20	1,494986	-0,076394	-0,667161	-0,034092
21	1,426745	-0,069292	-0,699247	-0,03396
22	1,364327	-0,063136	-0,731396	-0,033846
23	1,307036	-0,057765	-0,763599	-0,033748
24	1,254278	-0,053052	-0,795848	-0,033662
25	1,205546	-0,048892	-0,828138	-0,033586
26	1,160404	-0,045204	-0,860463	-0,033519
27	1,118477	-0,041917	-0,892819	-0,03346